2.3.2两点间的距离公式同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习以两点间距离公式为核心，通过基础巩固、中档转化、提升拓展三层设计，实现从公式直接应用到综合几何问题解决的递进，培养数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|两点间距离公式直接应用|单选1-5、填空12-13，如三角形形状判断、中点距离计算，强化概念理解| |中档|公式与几何转化结合|单选6-9、填空14-15，如函数最值转化为距离问题，体现数形结合思想| |提升|跨知识点综合与新定义应用|多选10-11、填空16-17、解答题18-21，如切比雪夫距离、欧拉线，培养创新意识与模型观念|

2.3.2 两点间的距离公式 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 3．函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 5．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 6．已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为（     ） A． B． C．或1 D．不存在 8．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 9．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 10．已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 11．已知的三个顶点分别为，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．的面积是10 D．边上的高所在直线方程为 三、填空题 12．已知点和点，且，则实数______． 13．已知，，，是的中点，则________ ． 14．已知函数，则的最小值为______． 15．已知的三个顶点，，，则的形状为______． 16．已知实数满足，则的最小值为________ 17．数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为__________． 四、解答题 18．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求点M到原点的距离． 19．在平面直角坐标系中，已知． (1)求平行四边形对角线的长； (2)若存在轴上一点满足，求． 20．已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 21．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，. (1)求的面积； (2)求中边上的高所在的直线方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.3.2� �两点间的距离公式� �同步练习� �（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A C B C C C BD 题号 11 答案 ACD 1．D 【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】分析可得直线恒过定点，记点为点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式，计算可得结果. 【详解】由得， 令，则，解得， 故直线恒过定点， 记点为点，当与直线垂直时， 点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D 2．D 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】由光的反射原理可知，点关于轴的对称点到点的距离即为光线从到所经过的路程. 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. 3．B 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 4．A 【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、求平面两点间的距离 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 5．C 【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状 【分析】计算出，由此确定三角形的形状. 【详解】， ， ， ， 所以三角形是直角三角形. 故选：C 6．B 【知识点】线段的定比分点、求平面两点间的距离 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 7．C 【知识点】基本（均值）不等式的应用、求二次函数的值域或最值、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】设出，表达出，结合和基本不等式得到，接着分与求解最小值，得到方程，求出满足条件的实数的所有值. 【详解】设，则； 由，则， 当且仅当，即时等号成立， 接下来分两种情况： （1）当时，，则； （2）当时，，则； 满足条件的实数的所有值为；或 故选：C 8．C 【知识点】求平面两点间的距离、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 9．C 【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程、距离新定义 【分析】根据条件，求出点，再利用切比雪夫距离的定义，即可求解. 【详解】过点作垂直于已知直线，垂足为，此时线段最短. 又直线的斜率为，则， 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，所以点的坐标是， 又，所以点的切比雪夫距离， 故选：C. 10．BD 【知识点】由距离求点的坐标 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 11．ACD 【知识点】已知两点求斜率、由两条直线垂直求方程、求平面两点间的距离 【分析】求出，即可判断A，利用锐角三角函数判断B，由面积公式判断C，求出，再由点斜式求出边上的高所在直线方程，即可判断D. 【详解】对于A：因为，，，所以，， 则，所以，即，故A正确； 对于B：因为，， 又为直角三角形，所以，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以边上的高所在直线方程为，即，故D正确. 故选：ACD 12．8或． 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 13．5 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】先求得中点的坐标，再根据两点之间距离公式计算即可. 【详解】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． 14．5 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 15．等腰直角 【知识点】向量垂直的坐标表示、由顶点坐标判断三角形的形状、向量模的坐标表示、求平面两点间的距离 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 16． 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，即可求解． 【详解】， ， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值， 如图所示： 设点关于直线的对称点为， 得，解得， 得， 则 ， 等号成立时，三点共线， 故答案为： 17． 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由距离求点的坐标 【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后由点斜式即可求得欧拉线的方程. 【详解】因的顶点，则其重心为,即； 显然的外心在线段的中垂线上，故可设， 由，可得，解得, 则外心坐标为，于是, 故欧拉线方程为：，即. 故答案为：. 18． 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】根据抛物线的定义得到抛物线方程，再求出点的坐标，进一步求点M到原点的距离. 【详解】根据题意，设抛物线方程为 因为点在抛物线上，且到焦点的距离为3， 根据抛物线的定义可以得到，解得， 所以抛物线的方程为， 把点代入上式中，可以解出， 所以M的坐标为， 所以M到原点的距离． 19．(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、求平面两点间的距离 【分析】（1）利用平行四边形对角线向量等于两邻边向量之和，计算向量模长即得的长； （2）先设轴上点的坐标，通过向量点积为0求出的坐标，再用向量夹角公式计算. 【详解】（1）由已知点坐标可得：， 因为四边形为平行四边形，所以对角线， 因此； （2） 设，则， 由得：，解得，即， 进而得，根据向量夹角公式： . 20．(1)AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； (2)直线的方程为 或 。 【知识点】直线截距式方程及辨析、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离 【详解】（1）由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 21．(1)14； (2). 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、三角形面积公式及其应用、已知直线垂直求参数、求平面两点间的距离 【分析】（1）先由两点间距离公式和余弦定理依次求出三角形的三边和夹角即可由正弦定理面积公式计算求解； （2）由和两垂直直线的斜率关系得到所求直线斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】（1）由题可得， 所以， 因为，所以， 所以的面积为. （2）因为，所以中边上的高所在的直线斜率为， 所以中边上的高所在的直线方程为，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $