2.3.2 两点间的距离公式同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学两点间的距离公式同步练，通过基础-中档-提升三层设计，实现从单一公式应用到综合几何问题解决的递进，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|距离公式直接应用|如第1题求中线长、第3题已知距离求参数，强化公式记忆与基本运算| |中档|公式与几何性质结合|如第2题判断直角三角形求面积、第5题用余弦定理求夹角，培养推理意识| |提升|综合应用与数学建模|如第6题光线反射对称转化、第14题三角形周长最小值，发展应用意识与创新思维|

　2.3.2　两点间的距离公式 1.(2026天津民族中学月考)已知三角形的三个顶点分别为A(2,-1),B(3,2),C(-5,4),则△ABC的中线AD的长为(　　) A.3　　B.5　　 C.9　　 D.25 2.(2026河南新乡监测)若△ABC的三个顶点分别为A(4,3),B(1,2),C(3,-4),则△ABC的面积是(　　) A.5　　B.10　　C.10　　D.20 3.已知点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,则实数m等于(　　) A.1 B.3 C.1或3 D.-1或3 4.已知点A(-1,2),B(2,),P为x轴上一点,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为(　　) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 5.(2026广东高三开学考试)平面直角坐标系Oxy中,已知点A(3,2),B(3,1),C(1,4),则cos∠ABC=(　　) A. B. C. D. 6.(2026重庆高二期中)一条光线从点A(-1,-2)出发,与x轴相交于点P,经过x轴反射后,反射光线经过点B(0,-3),则|AP|+|BP|=(　　) A.4 B.5 C. D. 7.(2026北京高二期中)已知△ABC,A(0,4),C(3,3),|AC|=|BC|,∠C=90°,则点B的坐标是(　　) A.(2,0) B.(4,6) C.(2,0)或(4,6) D.(2,0)或(6,4) 8.(2026北京西城期中)已知过原点且倾斜角为θ的直线与直线x+y-4=0交于点P,则当θ在区间[]上变化时,点P的轨迹长度为(　　) A. B.2 C.3 D.2 9.(2026山西晋中部分学校阶段考试)函数y=+的最小值为　(　　) A.4　　B.5　　C.6　　D.7 10.(2026福建福州期中)已知P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1)三点,且|PQ|=|PM|,则a的值为　　　. 11.(2026天津滨海新区月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(0,-2),点B(1,0),P为直线2x-4y+3=0上一动点,则|PA|+|PB|的最小值是　　　　,对应的点P的坐标是　　　　.  12.设m∈R,过定点A的动直线x+my-2=0与过定点B的动直线mx-y+4=0交于点P(x,y),则|PA||PB|的最大值是　　　　　.  13.(北师大版教材习题)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=kx+1上的两点,若|x2-x1|=3,且|AB|=6,求直线l的方程. 14.(2026湖北武汉武昌实验中学月考)已知O为坐标原点,过点P(3,-1)的直线l分别交射线y=x(x≥0)与y=-2x(x≥0)于点A,B,其中A,B均不重合于原点. (1)当直线l的斜率为时,求△AOB的面积; (2)设A点的坐标为(2a,a),用实数a表示B点的坐标,并写出实数a的取值范围; (3)在(2)的条件下,求△AOB的周长的最小值. 答案 2.3.2　两点间的距离公式 1.B　因为B(3,2),C(-5,4),所以BC的中点为D(-1,3),又因为A(2,-1),所以|AD|==5. 2.B　因为A(4,3),B(1,2),C(3,-4), 所以直线AB的斜率kAB==,直线BC的斜率kBC==-3, 因为kAB×kBC=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC是直角三角形. 因为|AB|==,|BC|==2, 所以△ABC的面积S=|AB||BC|=××2=10. 3.C　因为点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2, 所以|MN|==2, 即m2-4m+3=0, 解得m=1或m=3.故选C. 4.B　由题意设P(a,0),由|PA|=|PB|, 可得, 解得a=1,所以点P的坐标为(1,0).故选B. 5.D　因为A(3,2),B(3,1),C(1,4)三点不共线, 则|AB|==1, |AC|==2, |BC|=. 由余弦定理,可得cos∠ABC=.故选D. 6.D　由题意得A(-1,-2)关于x轴的对称点为A1(-1,2),所以|AP|+|BP|=|A1P|+|BP|=|A1B|=.故选D. 7.C　设B(x,y),由题意可得 解得 所以点B的坐标为(2,0)或(4,6). 故选C. 8.D　当θ=时,直线的斜率为tan,则直线为y=x, 联立解得故P1(1,); 当θ=时,直线的斜率为tan=-,则直线为y=-x, 联立解得故P2(-2,2). 所以点P的轨迹长度为|P1P2|==2.故选D. 9.B　y=+=+, 设A(1,1),B(4,3),P(x,0),则y的几何意义为|AP|+|BP|的值. 易知点A(1,1)关于x轴的对称点为(1,-1),记C(1,-1), 所以ymin=|CB|==5. 10.-　因为|PQ|=|PM|,则,则a=-. 11.答案　4; 解析　设点A(0,-2)关于直线2x-4y+3=0的对称点为A'(x,y), 则解得所以A', 所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|==4, 当且仅当点P为线段A'B与直线2x-4y+3=0的交点时等号成立,故|PA|+|PB|的最小值为4. 因为kA'B==-,所以直线A'B的方程为y=-(x-1), 联立解得 所以此时对应的点P的坐标为. 12.10　由x+my-2=0,得x-2+my=0,故A(2,0). 由mx-y+4=0,得B(0,4). 由于直线x+my-2=0与直线mx-y+4=0互相垂直, 所以PA⊥PB,故|PA|2+|PB|2=|AB|2=4+16=20, 所以|PA|2+|PB|2≥2|PA||PB|, 则|PA||PB|≤10,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立, 故|PA||PB|的最大值是10. 13.解 因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+1上, 所以y1=kx1+1,y2=kx2+1, 所以y2-y1=k(x2-x1). 所以|AB|= = =×3=6, 所以k=±, 所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1. 14.解析　(1)因为直线l的斜率为,且过点P(3,-1), 所以l的方程为y+1=(x-3),即y=x-5. 联立解得 所以A(6,3),|OA|==3, 联立解得 所以B, |OB|==, 因为kOA·kOB=×(-2)=-1,所以OA⊥OB,故S△AOB=|OA|·|OB|=×3×=. (2)设B(m,n),因为B在射线y=-2x(x≥0)上,所以n=-2m. 易得=(3-m,-1-n),=(2a-3,a+1), 由于A,P,B三点共线,所以=λ(λ∈R),则(3-m)·(a+1)=(-1-n)·(2a-3),结合n=-2m,可得a=(a-1)m,当a=1时,显然该式不成立,故a≠1,则m=,n=, 所以B点的坐标为. 由于A在第一象限内,B在第四象限内,所以解得a>1. (3)第一步:分别求得|OA|,|OB|,|AB|. 由(2)可知A(2a,a),B,a>1, 则|OA|==a,|OB|==, 因为kOA·kOB=×(-2)=-1,所以OA⊥OB, 所以|AB|==, 第二步:将△AOB的周长用含有a的式子表示. 所以△AOB的周长C△AOB=|OA|+|OB|+|AB|=·, 第三步:换元,利用基本不等式求最小值. 令t=a-1,则t>0,C△AOB=·≥·=·=4+2,当且仅当t=1,即a=2时取等号, 故△AOB周长的最小值为4+2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $