13.2.2三角形中线、角平分线、高 讲义 2026-2027学年初中数学人教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦三角形的中线、角平分线、高三类重要线段，系统梳理其定义、关键特征及性质，作为后续学习重心、内心、垂心及几何证明的基础工具，构建从概念认知到性质应用的学习支架。 资料通过对比表格、图形示意强化几何直观，结合严格证明培养推理意识，设置经典例题与易错点警示提升应用能力。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生通过思维导图和练习查漏补缺，深化理解。

人教版数学八年级上册 · 13.2.2 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 讲义 一、知识导航（一图总览） 本节学习三角形的三条重要线段，它们是后续学习三角形重心、内心、垂心以及解决几何证明题的基础工具。 概念 定义 关键特征 中线 连接三角形顶点与对边中点的线段 ① 每个三角形有3条中线 ② 三条中线交于重心G ③ 中线平分三角形面积 角平分线 三角形内角的平分线与对边相交，顶点到交点的线段 ① 每个三角形有3条角平分线 ② 三条角平分线交于内心I ③ 内心到三边距离相等 高 从三角形顶点向对边所在直线作垂线，顶点到垂足的线段 ① 每个三角形有3条高 ② 三条高交于垂心H ③ 锐角△三高在内部 ④ 直角△两高为直角边 ⑤ 钝角△两高在外部 图8 中线、角平分线、高 对比示意 二、第一部分：三角形的中线 【定义】 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线（median）。 中线定义：若 D 为 BC 中点，则 AD 为 △ABC 的中线 【图形特征】 图1 三角形的三条中线 【核心性质】 1. 数量：每个三角形有 3 条中线。 1. 交点：三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心（记为 G）。 1. 面积平分：中线将三角形分成两个面积相等的三角形。 1. 重心分中线比：重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍（AG : GD = 2 : 1）。 【面积平分的严格证明】 已知：AD 是 △ABC 的中线，D 为 BC 中点。 求证：S△ABD = S△ADC 证明：△ABD 和 △ADC 等底（BD = DC）同高（A 到 BC 的距离）。 根据 S = ½ × 底 × 高，得 S△ABD = S△ADC = ½ S△ABC。 图7 中线AD将三角形面积平分 【经典例题】 例题1：在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，已知 S△ABC = 24 cm²，求 S△ABD。 解：∵ AD 是中线，∴ BD = DC ∴ S△ABD = ½ S△ABC = ½ × 24 = 12 cm² 三、 第二部分：三角形的角平分线 【定义】 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 角平分线定义：若 AD 平分 ∠BAC，则 AD 为 △ABC 的角平分线 【图形特征】 图2 三角形的三条角平分线 【核心性质】 1. 数量：每个三角形有 3 条角平分线。 1. 交点：三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心（记为 I），即内切圆的圆心。 1. 角平分：AD 平分 ∠BAC ⇔ ∠BAD = ∠DAC = ½∠BAC。 1. 角平分线定理：AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D，则 BD/DC = AB/AC（分对边成两段之比等于邻边之比）。 1. 内心性质：内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径 r）。 【角平分线定理（选学拓展）】 定理：三角形角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。 即：若 AD 平分 ∠BAC，则 BD/DC = AB/AC。 证明思路：过 C 作 CE ∥ AD 交 BA 延长线于 E，利用平行线分线段成比例和等腰三角形性质可证。 【经典例题】 例题：在 △ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 7cm。求 BD 和 DC 的长度。 解：根据角平分线定理：BD/DC = AB/AC = 6/8 = 3/4 又 ∵ BD + DC = BC = 7 ∴ BD = 3cm，DC = 4cm 四、 第三部分：三角形的高（重点 · 难点） 【定义】 从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude）。 高定义：若 AD ⊥ BC（垂足为D），则 AD 为 △ABC 的 BC 边上的高 【图形特征】 图3 三角形的三条高（钝角三角形示例） 【核心性质】 1. 数量：每个三角形有 3 条高。 1. 交点：三条高所在直线交于一点，该点叫做三角形的垂心（记为 H）。 1. 垂直关系：高与底边互相垂直（AD ⊥ BC）。 1. 位置因三角形类型而异（重点！） 【三角形的高与三角形形状的关系】（高频考点） 三角形类型 三条高的位置 垂心位置 锐角三角形 三条高都在三角形内部 在三角形内部 直角三角形 两条高为直角边，一条在内部 在直角顶点处 钝角三角形 一条在内部，两条在外部（需延长边） 在三角形外部 锐角三角形（三高在内部） 直角三角形（两高为直角边） 钝角三角形（两高在外部） 【经典例题】 例题1：判断下列说法是否正确： (1) 三角形的高一定在三角形内部。（✖ 错误，钝角三角形有两条高在外部） (2) 直角三角形有两条高就是它的两条直角边。（✔ 正确） (3) 钝角三角形的垂心在三角形外部。（✔ 正确） 例题2：在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的高，∠B = 55°，∠C = 65°，求 ∠BAD 和 ∠CAD 的度数。 解：在 △ABD 中，∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 55° = 35° 在 △ACD 中，∠CAD = 90° - ∠C = 90° - 65° = 25° ∴ ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 35° + 25° = 60° 五、 第四部分：等腰三角形中的特殊性质 【三线合一定理】（重要考点） 等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合，简称“三线合一”。 等腰三角形 △ABC 中，若 AB = AC，则：∠BAD = ∠CAD ⇔ AD ⊥ BC ⇔ BD = DC 【图形示意】 图9 等腰三角形：中线 = 高 = 角平分线 【定理详解】 在 △ABC 中，AB = AC，AD 是底边 BC 上的线段。以下三个条件中任意两个可以推出第三个： 1. AD 平分 ∠BAC（即 ∠BAD = ∠CAD） 1. AD ⊥ BC（即 ∠ADB = ∠ADC = 90°） 1. D 是 BC 中点（即 BD = DC） 【等边三角形（特例）】 等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边都相等，三个角都是 60°。此时中线、高、角平分线全部重合，且“四心合一”（重心 = 内心 = 垂心 = 外心）。 图10 等边三角形：三线重合，四心合一 【经典例题】 例题：如图，在 △ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点，∠BAD = 30°。 (1) 求 ∠B 和 ∠C 的度数。 (2) 求证：AD ⊥ BC。 解：(1) ∵ AB = AC，D 是 BC 中点 ∴ AD 平分 ∠BAC（三线合一） ∴ ∠BAC = 2 × ∠BAD = 60° ∴ ∠B = ∠C = (180° - 60°) ÷ 2 = 60° (2) ∵ AB = AC，D 是 BC 中点 ∴ AD ⊥ BC（三线合一） 或直接：∵ ∠B = 60°，∠BAD = 30°，∴ ∠ADB = 90°，即 AD ⊥ BC。 六、第五部分：三种重要线段对比总结 对比项 中线 角平分线 高 定义 顶点→对边中点 顶点→角平分线与对边交点 顶点→对边垂足 数量 3条 3条 3条 交点 重心G 内心I 垂心H 位置 全在内部 全在内部 锐:全在内/直:两为直角边/钝:两在外 核心公式 BD=DC ∠BAD=∠DAC AD⊥BC 面积关系 平分面积 无直接平分 无直接平分 特殊性质 AG:GD=2:1 BD/DC=AB/AC ∠ADB=∠ADC=90° 【记忆口诀】 中线连中点，平分面积一半半； 角平分线分角，比例定理要记牢； 高线垂直底，位置形状相关照； 等腰三线合，等边四心聚一角。 七、 第六部分：易错点警示 1. 混淆“角平分线”与“三角形的角平分线”：前者是射线，后者是线段（顶点到对边的部分）。 1. 认为三角形的高一定在内部：钝角三角形有两条高在外部（在三角形外）。 1. 中线平分面积但角平分线不一定：只有中线保证平分面积，角平分线一般不能。 1. 三线合一仅适用于等腰三角形：一般三角形中，中线、高、角平分线是三条不同的线段。 1. 垂心、重心、内心不是同一个点：除非是等边三角形，否则三心不重合。 1. 画高时忘记“延长边”：钝角三角形中，从钝角顶点出发的高需要向对边的延长线作垂线。 第七部分：课堂练习（含答案） 1. 在 △ABC 中，AD 是中线，BE 是中线，CF 是中线，三条中线交于 G。若 GD = 2cm，求 AG 的长度。 1. 在 △ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，∠B = 50°，∠C = 70°，求 ∠BAD 的度数。 1. 钝角三角形的三条高所在直线交于三角形______（内部/外部）。 1. 直角三角形的两条直角边分别是 3cm 和 4cm，求斜边上的高。（提示：面积法） 1. 在 △ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的中线，若 ∠B = 65°，求 ∠BAD 的度数。 【参考答案】 1. ∵ G 为重心，AG : GD = 2 : 1，GD = 2cm ∴ AG = 4cm 2. ∠A = 180° - 50° - 70° = 60°，AD 平分 ∠A ∴ ∠BAD = 30° 3. 外部 4. S = ½×3×4 = 6cm²，斜边 = 5cm，设高为 h，½×5×h = 6 ∴ h = 2.4cm 5. ∵ AB = AC ∴ ∠B = ∠C = 65°，∠A = 50° AD 是中线 ∴ AD 平分 ∠A（三线合一）∴ ∠BAD = 25° 八、 第九部分：知识思维导图 📊 中线 📋 角平分线 ⬆️ 高 ⚡ 三线合一 ● 连接顶点与对边中点 ● 重心G（AG:GD=2:1） ● 平分面积 ● 全在内部 ● 平分内角 ● 内心I（到三边等距） ● 角平分线定理 ● 全在内部 ● 垂直于对边 ● 垂心H ● 锐:内/直:直角边/钝:外 ● 面积法求高 ● 仅限等腰三角形 ● 中线=高=角平分线 ● 等边→四心合一 ● 知二推一 - - 学科网（北京）股份有限公司 $