13.2.2三角形中线、角平分线、高 讲义 2026-2027学年初中数学人教版八年级上册

13.2.2  三角形的中线、角平分线、高 讲义

一、知识导航（一图总览）

本节学习三角形的三条重要线段，它们是后续学习三角形重心、内心、垂心以及解决几何证明题的基础工具。

 

概念	定义	关键特征
中线	连接三角形顶点与对边中点的线段	① 每个三角形有3条中线 ② 三条中线交于重心G ③ 中线平分三角形面积
角平分线	三角形内角的平分线与对边相交，顶点到交点的线段	① 每个三角形有3条角平分线 ② 三条角平分线交于内心I ③ 内心到三边距离相等
高	从三角形顶点向对边所在直线作垂线，顶点到垂足的线段	① 每个三角形有3条高 ② 三条高交于垂心H ③ 锐角△三高在内部 ④ 直角△两高为直角边 ⑤ 钝角△两高在外部

 

图8  中线、角平分线、高 对比示意

 

二、第一部分：三角形的中线

【定义】

在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线（median）。

中线定义：若 D 为 BC 中点，则 AD 为 △ABC 的中线

【图形特征】

图1  三角形的三条中线

 

【核心性质】

1. 数量：每个三角形有 3 条中线。
2. 交点：三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心（记为 G）。
3. 面积平分：中线将三角形分成两个面积相等的三角形。
4. 重心分中线比：重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍（AG : GD = 2 : 1）。

 

【面积平分的严格证明】

已知：AD 是 △ABC 的中线，D 为 BC 中点。 求证：S△ABD = S△ADC 证明：△ABD 和 △ADC 等底（BD = DC）同高（A 到 BC 的距离）。 根据 S = ½ × 底 × 高，得 S△ABD = S△ADC = ½ S△ABC。

图7  中线AD将三角形面积平分

 

【经典例题】

例题1：在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，已知 S△ABC = 24 cm²，求 S△ABD。 解：∵ AD 是中线，∴ BD = DC ∴ S△ABD = ½ S△ABC = ½ × 24 = 12 cm²

 

三、 第二部分：三角形的角平分线

【定义】

三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

角平分线定义：若 AD 平分 ∠BAC，则 AD 为 △ABC 的角平分线

 

【图形特征】