13.1三角形的概念 专项讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦三角形的概念这一核心知识点，系统梳理三角形的定义（不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接）、三要素（边、顶点、内角）、表示方法及按边长和内角的分类，构建从基础概念到分类应用的学习支架。 资料以六大题型为主线，结合各地期中期末真题设计例题与变式，通过澄清概念误区培养学生几何直观与抽象能力，有序列举法提升推理意识，坐标系中存在性问题强化模型意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

13.1 三角形的概念 【新人教版】 【题型1 三角形的识别】........................................................................................................................................2 【题型2 三角形的有关概念】................................................................................................................................3 【题型3 三角形个数问题】....................................................................................................................................4 【题型4 三角形的分类】.........................................................................................................................................4 【题型5 等腰三角形】.............................................................................................................................................5 【题型6 等腰三角形的存在性问题】.....................................................................................................................5 1. 三角形定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做三角形。 三要素：3条边、3个顶点、3个内角。 2. 表示方法 符号：△；顶点为 A、B、C 的三角形记作△ABC，字母顺序无强制先后。 边角对应习惯：∠A对边记为a，∠B对边记为b，∠C对边记为c。 3. 三角形分类 （1）按边长划分 ①不等边三角形：三边长度全都不相等； ②等腰三角形：至少两边相等； · 普通等腰三角形：腰≠底边； · 等边三角形：三边全部相等，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）按内角大小划分 ①锐角三角形：三个内角均＜90°； ②直角三角形：有且仅有1个内角= 90°，记作Rt△，两锐角互余； ③钝角三角形：有且仅有1个内角＞90°。 1. 三条线段在同一直线上，无法构成三角形； 2. 概念误区：认为等边三角形不属于等腰三角形； 3. 判定锐角三角形：必须三个内角全为锐角，仅有1~2个锐角不是锐角三角形； 4. 数三角形无序枚举，出现重复、漏数。 1. 数三角形：固定顶点，从小到大有序列举； 2. 概念判断题：紧扣“不共线、线段、首尾顺次相接”三点核对。 题型一 三角形的识别 【例1】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是______． 【变式1-3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 题型二 三角形的有关概念 【例2】（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C． D． 题型三 三角形个数问题 【例3】（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-2】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【变式3-3】（25-26八年级上·广东阳江·阶段检测）如图，图中包含的直角三角形的个数是_______． 题型四 三角形的分类 【例4】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式4-1】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式4-2】（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 【变式4-3】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 题型五 等腰三角形 【例5】（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 【变式5-1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【变式5-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【变式5-3】（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为________． 题型六 等腰三角形的存在性问题 【例6】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-2】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【变式6-3】（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1 三角形的概念 【新人教版】 【题型1 三角形的识别】........................................................................................................................................2 【题型2 三角形的有关概念】................................................................................................................................4 【题型3 三角形个数问题】....................................................................................................................................5 【题型4 三角形的分类】.........................................................................................................................................7 【题型5 等腰三角形】.............................................................................................................................................9 【题型6 等腰三角形的存在性问题】...................................................................................................................11 1. 三角形定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做三角形。 三要素：3条边、3个顶点、3个内角。 2. 表示方法 符号：△；顶点为 A、B、C 的三角形记作△ABC，字母顺序无强制先后。 边角对应习惯：∠A对边记为a，∠B对边记为b，∠C对边记为c。 3. 三角形分类 （1）按边长划分 ①不等边三角形：三边长度全都不相等； ②等腰三角形：至少两边相等； · 普通等腰三角形：腰≠底边； · 等边三角形：三边全部相等，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）按内角大小划分 ①锐角三角形：三个内角均＜90°； ②直角三角形：有且仅有1个内角= 90°，记作Rt△，两锐角互余； ③钝角三角形：有且仅有1个内角＞90°。 1. 三条线段在同一直线上，无法构成三角形； 2. 概念误区：认为等边三角形不属于等腰三角形； 3. 判定锐角三角形：必须三个内角全为锐角，仅有1~2个锐角不是锐角三角形； 4. 数三角形无序枚举，出现重复、漏数。 1. 数三角形：固定顶点，从小到大有序列举； 2. 概念判断题：紧扣“不共线、线段、首尾顺次相接”三点核对。 题型一 三角形的识别 【例1】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，掌握三角形的相关定义是解题的关键． 由的三边分别为，其中与顶点F相邻，与顶点F相对，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 题型二 三角形的有关概念 【例2】（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 【变式2-1】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．据此求解即可 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是 ， 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形， 故选：B． 【变式2-3】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，依据三角形的定义，判断所给图形是否为三角形，三角形的定义为在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形． 【详解】解：A项：选项中是一个角，且只有两条线段没有闭合，所以不是三角形，不符合题意； B项：选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，不符合题意； C项：3条线段的端点首尾相接，且为闭合图形，满足三角形的定义，符合题意； D项：有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，不符合题意． 故选：C． 题型三 三角形个数问题 【例3】（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 【变式3-1】（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】解：以为公共角的三角形有，，共个， 故选：． 【变式3-2】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东阳江·阶段检测）如图，图中包含的直角三角形的个数是_______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，有一个内角度数为90度的三角形是直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，直角三角形有，共5个， 故答案为：5． 题型四 三角形的分类 【例4】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【变式4-1】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形形状判定，由于三角形三边长度比为，即三边相等，因此该三角形是等边三角形． 【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是，即三边长度相等， ∴此三角形为等边三角形． 故选：C． 【变式4-2】（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到，进而得到是等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 【变式4-3】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 【答案】(1)6；4 (2) (3) 【分析】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到锐角三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形，然后可以找到边所对的角； 【详解】（1）解：由图可知， 图中三角形有，，，，，， ∴图中有6个三角形， ∵，， ∴， ∴图中直角三角形有，，，，共4个， 故答案为：6；4； （2）解：观察图形可得：为钝角三角形，，，，为直角三角形， ∴锐角三角形是， 故答案为：； （3）解：由图可知，线段所在的三角形是， ∴边所对的角是； 故答案为：． 题型五 等腰三角形 【例5】（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分两种情况讨论：腰为5或腰为9，验证每种情况是否满足三角形三边关系，然后计算周长即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形两边长分别为5和9， ∴ 可能情况为：腰为5、底为9或腰为9、底为5， 当腰为5、底为9时，三边为5，5，9，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 当腰为9、底为5时，三边为9，9，5，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长为19或23． 故选：D 【变式5-1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 【变式5-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 【变式5-3】（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，等腰三角形的腰长为， ∴， ∵、分别与两边垂直 ∴， ∵面积为， ∴， ∴， 故答案为5． 题型六 等腰三角形的存在性问题 【例6】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，的长为半径画圆，以B为圆心，的长为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与x轴的交点即为C点的位置． 【详解】解：∵， ∴； 如图所示，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 以点B为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 作线段的垂直平分线与x轴交于点（与原点重合），可构成等腰， 综上所述，一共有4个点C满足题意， 故选：C． 【变式6-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键。 当以作为腰时，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个；当以作为底时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个；据此即可解答． 【详解】解：如图：当以作为腰时，有两种情况， 当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个， 当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个； （2）若是底边时，P是的中垂线与x轴的交点，有1个． 以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个． 故选B． 【变式6-2】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得t即可； 【详解】解：设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． ∵， ∴当第一次能形成等腰三角形时，． 由题意，，； ∴， 当时，，解得秒． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) 如图的直角坐标系即为所求； (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握坐标系的特点，等腰三角形的判定，科学分类求解是解题的关键． （1）根据点，判断轴经过点，且右侧的点就是原点，建立坐标系即可； （2）先求出，分三种情况：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2），， ， 当时， 点的坐标为，即； 当时，， 点的坐标为，即； 当时，取格点，则，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 点的坐标为，即； 综上所述，点的坐标为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $