第01讲 三角形的概念与有关的线段（核心知识+7易错辨析+14典例精讲+课后作业） 2026-2027学年人教版八年级数学上册秋期复习 + 期考讲义专项

本初中数学讲义聚焦三角形的概念与有关线段，系统梳理三角形的定义、按边分类、三边关系，以及角平分线、中线、高的性质，涵盖重心特性与稳定性，构建从基础概念到性质应用的完整学习支架。 资料通过7大易错辨析（如钝角三角形高的位置）、14类典例精讲（如等腰三角形周长计算）及避坑口诀，培养学生几何直观与推理意识，课中助力教师针对性教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识理解与应用能力。

第01讲 三角形的概念与有关的线段 （核心知识+7易错辨析+14典例精讲+课后作业） 【知识点01】三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 【知识点02】三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【知识点03】三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【知识点04】三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 【知识点05】三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． （一）三角形概念易错 易错1：忽略“不在同一直线上”核心条件 错误说法：三条线段首尾相连就是三角形。 反例：三条线段在同一直线上，首尾相接只能组成一条长线段，无法构成封闭三角形。 正确判定三要素：①三条线段 ②不共线 ③首尾顺次封闭相接，三者缺一不可。 易错2：混淆三角形与三边线段 错误认知：△ABC就是线段AB、BC、AC的统称。 正确辨析：△ABC指代完整的封闭平面图形，AB、BC、AC仅为三角形的三条边，二者概念不同。 （二）三角形三边关系高频易错 易错1：仅验证一组两边之和，盲目判定可构成三角形 例题：判断三边长2，3，6能否组成三角形 易错2：求第三边取值范围不完整 例题：三角形两边长为4、7，求第三边x的取值范围 易错3：等腰三角形周长计算，分类讨论后不验证三边关系 例题：等腰三角形两边长为3、7，求周长 易错4：整数边长计数易重复、遗漏 例题：三角形两边长为2、5，第三边为整数，求符合条件的三角形个数。 （三）三角形的高（最易丢分模块） 易错1：混淆高、垂线、高线的概念 错误认知：三角形的高是直线或射线。 正确辨析：三角形的高是线段，两端分别为三角形顶点、对边（或延长线）上的垂足；垂线是直线，二者不能等同。 典型错句：过点A作BC的垂线就是△ABC的高。 纠正：只有顶点到垂足的垂线段，才是三角形的高。 易错2：直角、钝角三角形漏画外部高 三类三角形高线位置总结： 1. 锐角三角形：三条高全部在三角形内部； 2. 直角三角形：两条直角边互为对方的高，第三条高在三角形内部，三条高的交点为直角顶点； 3. 钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在内部，垂足落在对边的延长线上。 高频错题：绘制钝角三角形钝角边上的高时，未延长底边，无法作出正确垂线。 （四）三角形中线与重心易错 易错1：混淆中线与角平分线 误区：三角形的中线可以平分内角。 纠正：普通三角形的中线仅平分对边、平分三角形面积，不平分内角；仅等边三角形、等腰三角形底边上的中线与角平分线重合。 易错2：重心比例记反 核心定理：三角形重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离:重心到对边中点的距离=2:1。 易错3：误认为中线平分三角形周长 必考结论：任意一条三角形中线，可将三角形分成面积相等的两个小三角形。 误区：中线可平分三角形周长（错误）。 辨析：仅等腰三角形底边上的中线能平分周长，普通三角形中线只能平分面积，无法平分周长。 （五）三角形角平分线易错 易错1：混淆角的平分线与三角形的角平分线 区别：普通角的平分线是射线，无限延伸；三角形的角平分线是线段，一端为三角形顶点，另一端交对边于一点。 易错2：误认为角平分线交点可在三角形外部 正确结论：任意三角形的三条角平分线交点（内心），永远在三角形内部，与三角形形状无关。 （六）三角形稳定性易错 易错1：认为所有多边形都具有稳定性 辨析：只有三角形具备稳定性，三边长度固定，图形形状、大小完全固定；四边形、五边形等多边形边长固定，形状可随意改变，无稳定性。 易错2：应用原理混淆 稳定应用：自行车支架、屋顶三角支架、桥梁三角结构； 不稳定应用：伸缩门、折叠衣架（利用四边形可变形特性）。 易错3：概念表述错误 错：三角形具有不稳定性，四边形具有稳定性； 正：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。 （七）避坑总口诀（考前必背） 1. 三边判断不用慌，短边相加比长边； 2. 等腰分类必检验，不合三边直接删； 3. 高线分三种三角，钝角两条在外边； 4. 中线只平分面积，角分只平分内角； 5. 重心比例二比一，三心位置要分清； 6. 三角稳定四边晃，线段射线莫混淆。 【题型一】三角形的识别与有关概念 【例1】．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 【变式2】．（25-26八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，写出一个以为角的三角形是____________． 【变式3】．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 【题型二】三角形的个数问题 【例2】．（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【变式2】．（25-26八年级上·广东阳江·阶段检测）如图，图中包含的直角三角形的个数是_______． 【变式3】．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，过五个点中任意三点画三角形． (1)以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； (2)以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 【题型三】三角形的分类 【例3】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式2】．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【题型四】等腰三角形的定义 【例4】．（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【变式2】．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为________． 【变式3】．（24-25八年级上·贵州·阶段检测）等腰三角形的周长为20厘米． (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长． 【题型五】构成三角形的条件 【例5】．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 【变式3】．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 【题型六】确定第三边的取值范围 【例6】．（24-25八年级上·云南德宏·期末）已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·甘肃临夏·阶段检测）已知三角形两条边的长度分别是5和7，那么第三边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·山东滨州·期末）若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______． 【变式3】．（2025八年级上·北京·专题练习）若三角形的两边长分别为和，求第三边的取值范围． 【题型七】三角形三边关系的应用 【例7】．（2023八年级上·四川绵阳·专题练习）长为，，，的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式1】．（25-26八年级上·四川泸州·期末）以下几组长度的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（   ） A．5米，7米，2米 B．5米，9米，3米 C．5米，7米，3米 D．5米，9米，4米 【变式2】．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒应是________．（填“甲”或“乙”） 【变式3】．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）已知的三边长分别为a、b、c，其中，，且c为偶数．求周长． 【题型八】三角形的稳定性及应用 【例8】．（22-23八年级上·新疆博尔塔拉·期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【变式1】．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【变式2】．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．请说明这样做的道理 【题型九】根据三角形中线求长度 【例9】．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式1】．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 【题型十】根据三角形中线求面积 【例10】．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，已知点分别为的中点，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 【题型十一】重心的概念 【例11】．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式1】．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【变式2】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点______； 【变式3】．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【题型十二】画三角形的高 【例12】．（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式2】．（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，，，，在中，边上的高是________． 【变式3】．在图中，画出的一条高并用文字指出你所画的高． 【题型十三】与三角形的高有关的计算问题 【例13】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式1】．（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【题型十四】三角形三条重要线段辨析 【例14】．（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【变式1】．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【变式3】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 一、课堂易错小结 1. 忽略三角形定义前提：三条线段不能在同一直线上，否则无法构成三角形； 2. 混淆高的位置：直角、钝角三角形的高不全部在图形内部； 3. 三边关系误用：不能仅验证一组两边之和大于第三边，需遵循快速判断规则。 二、本节课核心总结 本节课重点掌握三角形的定义与分类，熟练区分高、中线、角平分线三种线段的定义和性质，重中之重是利用三边关系判定三角形能否构成，是后续三角形计算、证明的基础。 一、单选题 1．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若一个三角形的两边长为3和4，则这个三角形的第三边长不可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 3．（24-25八年级上·河南开封·阶段检测）下列说法正确的是（   ） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点； ③三角形的三条高都在角形的内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分 A．①②④ B．②③④ C．②④ D．①②③④ 4．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 6．如图，点，分别在，上，，垂足为点，，若，，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B． C． D．2 7．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 9．如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 10．（25-26八年级上·河北邢台·期末）把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26八年级上·天津红桥·阶段检测）如图，共有_______个三角形． 12．如果三角形的三边长分别是2，7，，那么的取值范围是___________． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 14．已知一个等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长为___________． 15．如图，点是边的三等分点，点、分别是，的中点，若的面积为12，则______________________． 16．（22-23八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，是的中线，是的中线，若，则_____．    17．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有__________个． 18．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，在中，中线，相交于点，连接，若的面积是，则的面积是________． 三、解答题 19．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）已知的三边分别为，且． (1)请求出的取值范围； (2)若的周长是偶数，请求出的周长． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． (1)求的面积； (2)求的长． 21．（23-24八年级上·山东日照·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c是奇数，试判断的形状； (3)化简：． 22．（25-26八年级上·河南许昌·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 三角形的概念与有关的线段 （核心知识+7易错辨析+14典例精讲+课后作业） 【知识点01】三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 【知识点02】三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【知识点03】三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【知识点04】三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 【知识点05】三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． （一）三角形概念易错 易错1：忽略“不在同一直线上”核心条件 错误说法：三条线段首尾相连就是三角形。 反例：三条线段在同一直线上，首尾相接只能组成一条长线段，无法构成封闭三角形。 正确判定三要素：①三条线段 ②不共线 ③首尾顺次封闭相接，三者缺一不可。 易错2：混淆三角形与三边线段 错误认知：△ABC就是线段AB、BC、AC的统称。 正确辨析：△ABC指代完整的封闭平面图形，AB、BC、AC仅为三角形的三条边，二者概念不同。 （二）三角形三边关系高频易错 易错1：仅验证一组两边之和，盲目判定可构成三角形 例题：判断三边长2，3，6能否组成三角形 错解：2+6＞3，因此可以组成三角形。 正解：无需验证三组不等式，只需验证最短两边之和＞最长边即可。2+3=5＜6，不满足条件，无法构成三角形。 万能判断法：将三边长度从小到大排序，仅检验最小两数之和大于最大数，其余不等式自动成立。 易错2：求第三边取值范围不完整 例题：三角形两边长为4、7，求第三边x的取值范围 错解：x＜11（只写上限，遗漏下限） 正解：根据三边关系可得 7−4 ＜ x ＜ 7+4，即3＜x＜11。 避坑公式：两边之差＜第三边＜两边之和，差值统一用大数减小数。 易错3：等腰三角形周长计算，分类讨论后不验证三边关系 例题：等腰三角形两边长为3、7，求周长 错解1：腰长为3，底边长为7，周长=3+3+7=13。 验证：3+3＜7，不满足三边关系，无法构成三角形，直接舍去。 错解2：只计算一种情况，出现漏解。 正解：腰长为7，底边长为3，周长=7+7+3=17。 核心要点：等腰三角形边长分类讨论后，必须用三边关系取舍，不符合条件的情况直接排除。 易错4：整数边长计数易重复、遗漏 例题：三角形两边长为2、5，第三边为整数，求符合条件的三角形个数。 解析：先确定取值范围：5−2＜x＜5+2，即3＜x＜7。 整数解：x=4、5、6，共3个。 （三）三角形的高（最易丢分模块） 易错1：混淆高、垂线、高线的概念 错误认知：三角形的高是直线或射线。 正确辨析：三角形的高是线段，两端分别为三角形顶点、对边（或延长线）上的垂足；垂线是直线，二者不能等同。 典型错句：过点A作BC的垂线就是△ABC的高。 纠正：只有顶点到垂足的垂线段，才是三角形的高。 易错2：直角、钝角三角形漏画外部高 三类三角形高线位置总结： 1. 锐角三角形：三条高全部在三角形内部； 2. 直角三角形：两条直角边互为对方的高，第三条高在三角形内部，三条高的交点为直角顶点； 3. 钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在内部，垂足落在对边的延长线上。 高频错题：绘制钝角三角形钝角边上的高时，未延长底边，无法作出正确垂线。 （四）三角形中线与重心易错 易错1：混淆中线与角平分线 误区：三角形的中线可以平分内角。 纠正：普通三角形的中线仅平分对边、平分三角形面积，不平分内角；仅等边三角形、等腰三角形底边上的中线与角平分线重合。 易错2：重心比例记反 核心定理：三角形重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离:重心到对边中点的距离=2:1。 错例：认为重心到中点的距离更长，比例记为1:2。 示例：AD为△ABC中线，G为重心，则AG=2GD。 易错3：误认为中线平分三角形周长 必考结论：任意一条三角形中线，可将三角形分成面积相等的两个小三角形。 误区：中线可平分三角形周长（错误）。 辨析：仅等腰三角形底边上的中线能平分周长，普通三角形中线只能平分面积，无法平分周长。 （五）三角形角平分线易错 易错1：混淆角的平分线与三角形的角平分线 区别：普通角的平分线是射线，无限延伸；三角形的角平分线是线段，一端为三角形顶点，另一端交对边于一点。 易错2：误认为角平分线交点可在三角形外部 正确结论：任意三角形的三条角平分线交点（内心），永远在三角形内部，与三角形形状无关。 （六）三角形稳定性易错 易错1：认为所有多边形都具有稳定性 辨析：只有三角形具备稳定性，三边长度固定，图形形状、大小完全固定；四边形、五边形等多边形边长固定，形状可随意改变，无稳定性。 易错2：应用原理混淆 稳定应用：自行车支架、屋顶三角支架、桥梁三角结构； 不稳定应用：伸缩门、折叠衣架（利用四边形可变形特性）。 易错3：概念表述错误 错：三角形具有不稳定性，四边形具有稳定性； 正：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。 （七）避坑总口诀（考前必背） 1. 三边判断不用慌，短边相加比长边； 2. 等腰分类必检验，不合三边直接删； 3. 高线分三种三角，钝角两条在外边； 4. 中线只平分面积，角分只平分内角； 5. 重心比例二比一，三心位置要分清； 6. 三角稳定四边晃，线段射线莫混淆。 【题型一】三角形的识别与有关概念 【例1】．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 【答案】A 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查三角形的概念，熟练掌握三角形的概念是解题的关键；根据题意及三角形的表示可进行求解． 【详解】解：表示的是①； 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，写出一个以为角的三角形是____________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的定义． 根据三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：以为角的三角形是， 故答案为：． 【变式3】．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 【答案】20 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了构造等腰直角三角形求不规则图形的面积，先把图形补全成为等腰直角三角形，求解即可，补充图形是解题的关键． 【详解】解：延长交于点E ∵A是，角D是， ∴角E是，如图所示： ， ∴是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形， 则四边形的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差， 即， 答：四边形的面积20． 【题型二】三角形的个数问题 【例2】．（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·广东阳江·阶段检测）如图，图中包含的直角三角形的个数是_______． 【答案】5 【知识点】三角形的分类、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，有一个内角度数为90度的三角形是直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，直角三角形有，共5个， 故答案为：5． 【变式3】．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，过五个点中任意三点画三角形． (1)以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； (2)以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的定义； （1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据三角形的定义，再、、、中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形． 【详解】（1）解：其中以为一边可以画出3个三角形为： 故答案为：． （2）其中以为顶点可以画出6个三角形为：， 故答案为：． 【题型三】三角形的分类 【例3】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角三角形的定义分析即可． 【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角． 对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形． 对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形． 对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形． 因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【答案】直角三角形 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类． 根据三角形的分类进行解答即可． 【详解】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形， 则图中“？”处是：直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】等边三角形有，等腰三角形． 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，根据等边三角形和等腰三角形的定义，对各个三角形逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴等边三角形有，等腰三角形． 【题型四】等腰三角形的定义 【例4】．（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为，底边为， ∴周长． 故选A． 【变式2】．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，等腰三角形的腰长为， ∴， ∵、分别与两边垂直 ∴， ∵面积为， ∴， ∴， 故答案为5． 【变式3】．（24-25八年级上·贵州·阶段检测）等腰三角形的周长为20厘米． (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长． 【答案】(1)4厘米，8厘米，8厘米 (2)7厘米，7厘米或6厘米，8厘米 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用和三角形的三边关系． （1）设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米，根据周长为20厘米，列关于x的一元一次方程，解方程即可； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【详解】（1）解：设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米， 由题意得，， 解得， 所以三边长分别为4厘米，8厘米，8厘米； （2）解：分以下两种情况： 如果6厘米长的边为底边，设腰长为a厘米， 则， 解得， 则三角形三边长为6厘米，7厘米，7厘米，可以构成三角形； 如果6厘米长的边为腰，设底边长为b厘米， 则，解得， 则三角形三边长为6厘米，6厘米，8厘米，可以构成三角形． 由以上讨论可知，其他两边的长分别为7厘米，7厘米或6厘米，8厘米． 【题型五】构成三角形的条件 【例5】．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，且， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，不符合题意． 【变式1】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边的关系，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，通过验证较短两边之和是否大于最长边来判断能否组成三角形即可． 【详解】解：A：∵，不满足三角形三边关系， ∴不能组成三角形． B：∵，不满足三角形三边关系， ∴不能组成三角形． C：∵，不满足三角形三边关系， ∴不能组成三角形． D：∵，满足三角形三边关系， ∴能组成三角形． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 【答案】2 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 故答案为：2． 【变式3】．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 【答案】 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分第三边的长为和第三边的长为两种情况，结合三角形中，任意两边之和大于第三边进行讨论求解即可． 【详解】解：当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，故此种情形不符合题意； 当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，故此种情形符合题意； 综上所述，第三边的长为． 【题型六】确定第三边的取值范围 【例6】．（24-25八年级上·云南德宏·期末）已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【详解】解：∵在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， 即． 【变式1】．（25-26八年级上·甘肃临夏·阶段检测）已知三角形两条边的长度分别是5和7，那么第三边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】利用三角形三边的不等关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求出第三边的取值范围． 【详解】解：∵两边长分别为5和7，第三边为a， ∴，即． 【变式2】．（25-26八年级上·山东滨州·期末）若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，得，即； 故答案为： 【变式3】．（2025八年级上·北京·专题练习）若三角形的两边长分别为和，求第三边的取值范围． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系即可得． 【详解】解：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得， ∴第三边的取值范围是． 故答案为：． 【题型七】三角形三边关系的应用 【例7】．（2023八年级上·四川绵阳·专题练习）长为，，，的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【详解】解：四根木条的所有组合：，，和，，和，，和，，； ∵；；；； ∴能组成三角形的有，，和，，和，，，共3种． 【变式1】．（25-26八年级上·四川泸州·期末）以下几组长度的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（   ） A．5米，7米，2米 B．5米，9米，3米 C．5米，7米，3米 D．5米，9米，4米 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．判定能否围成三角形，只需验证两条较短边的和大于最长边即可，满足条件即可围成，不满足则不能围成. 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，只需判断两条较短边的和是否大于最长边即可. 选项A中，较短边为2米，5米，最长边为7米，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形； 选项B中，较短边为3米，5米，最长边为9米，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形； 选项C中，较短边为3米，5米，最长边为7米，，满足三角形三边关系，故能围成三角形； 选项D中，较短边为4米，5米，最长边为9米，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形； 故选C． 【变式2】．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒应是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案即可． 【详解】解：设甲小棒长度为，乙小棒长度为，根据图形可得甲小棒的长度大于乙小棒的长度，即， 设剪开甲小棒，剪成两段长度分别为、， ∵， ∴， ∴剪开甲小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开乙小棒， ∵乙小棒的长度小于甲小棒， ∴同理可得，乙小棒剪成的两根小棒的和小于甲小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是甲． 故答案为：甲． 【变式3】．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）已知的三边长分别为a、b、c，其中，，且c为偶数．求周长． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵的三条边长分别为a、b、c，其中，， ∴，即． ∵c是偶数， ∴， ∴△ABC的周长． 【题型八】三角形的稳定性及应用 【例8】．（22-23八年级上·新疆博尔塔拉·期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【详解】解：由题意得，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 【变式1】．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．请说明这样做的道理 【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．这样做的道理是三角形具有稳定性． 【题型九】根据三角形中线求长度 【例9】．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的中线，掌握三角形的中线是三角形一边的中点与对角的顶点的连线段是解题的关键． 由于是边上中线，所以，所以的周长比的周长多的部分等于，再根据即可得出的长． 【详解】解：∵是边上中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大，且． ∴，即． 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由是的中线可得是的中点，得；由是的中线得． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∴， ∵, ∴； 又是的中线， ∴． 故答案为：2． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形中线的性质及周长的计算，解题的关键是利用中线得出，再结合周长差得到与的关系． 根据三角形中线的定义，，所以和的周长之差也就是与的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：由三角形中线可知，， ∴， 即①， ∵的周长L为长为， ∴，即②， ①②得， 解得， ②①得， 解得． 【题型十】根据三角形中线求面积 【例10】．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，设，，根据三角形面积之间的关系可得：，，根据，可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，， 点是边的中点，点在边上，， ，， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， 点在边上，， ， ， 整理得：， ， ． 【变式1】．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，已知点分别为的中点，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解即可. 【详解】解：连接， ∵为的中点，的面积为， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴. 【变式2】．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键． 由是的中线，得，由，得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 【答案】9 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，根据中线的意义可得，，，再根据阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：连接， ∵是边的中线，的面积等于36， ∴， ∴等底同高， ∴， 同理，， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【题型十一】重心的概念 【例11】．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【知识点】重心的概念 【分析】本题主要考查了重心的概念．根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵三角形的重心是三角形中线的交点， ∴它的重心在线段上． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【答案】A 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点______； 【答案】D 【知识点】重心的概念 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故答案为：D． 【变式3】．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】(1) (2)6 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 【题型十二】画三角形的高 【例12】．（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高． 根据图示，线段的所对顶点为，结合高的画法“从三角形的一个顶点到它的对边所在直线作一条垂线段，”即可求解． 【详解】解：线段的所对顶点为， ∴线段是边上的高， 故选：C ． 【变式2】．（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，，，，在中，边上的高是________． 【答案】 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角形的高，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的高是指，从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答即可． 【详解】解：在中，边上的高应该是从向引垂线， ， 边上的高是． 故答案为：． 【变式3】．在图中，画出的一条高并用文字指出你所画的高． 【答案】见详解 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高的基本画图方法．根据题意画出即可． 【详解】解：如图，为中边上的高． 【题型十三】与三角形的高有关的计算问题 【例13】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高； 利用等面积法列式求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式2】．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【详解】解：根据三角形面积公式可得：， ∵， ∴， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 【题型十四】三角形三条重要线段辨析 【例14】．（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题 【详解】解：∵G为的中点， ∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可． 【详解】解：∵是高线， ∴，故选项A正确； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确； ∵是中线， ∴，故选项C正确； 无法证明，故选项D错误． 【变式2】．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义、画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 【变式3】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 一、课堂易错小结 1. 忽略三角形定义前提：三条线段不能在同一直线上，否则无法构成三角形； 2. 混淆高的位置：直角、钝角三角形的高不全部在图形内部； 3. 三边关系误用：不能仅验证一组两边之和大于第三边，需遵循快速判断规则。 二、本节课核心总结 本节课重点掌握三角形的定义与分类，熟练区分高、中线、角平分线三种线段的定义和性质，重中之重是利用三边关系判定三角形能否构成，是后续三角形计算、证明的基础。 一、单选题 1．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了判断三条线段能否构成三角形，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，能构成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故此选项符合题意； C、，能构成三角形，故此选项不符合题意； D、，能构成三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．若一个三角形的两边长为3和4，则这个三角形的第三边长不可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系定理，第三边必须满足两边之和大于第三边且两边之差小于第三边． 【详解】解：已知三角形的两边长分别为3和4， 设第三边长为． 两边之和大于第三边：，即； 两边之差小于第三边：，即； 因此，第三边的取值范围为． 选项中只有7不在此范围内，故第三边长不可能是7． 故选：A． 3．（24-25八年级上·河南开封·阶段检测）下列说法正确的是（   ） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点； ③三角形的三条高都在角形的内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分 A．①②④ B．②③④ C．②④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可． 【详解】①三角形的角平分线是线段，说法错误； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确； ③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确． 故选C． 4．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比． 【详解】解：当为腰时，则底边； 此时，优美比； 当为底边时，则腰为； 此时，优美比； 故选：C． 5．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线，根据三角形角平分线的定义逐一排除即可，正确理解三角形角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 6．如图，点，分别在，上，，垂足为点，，若，，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、与三角形的高有关的计算问题、点到直线的距离、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键． 首先证明，再证明，最后运用面积法可求出点F到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴, ∴， 设点F到直线的距离为h，且，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C 7．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故A，B间的距离不可能是5米． 故选：D． 9．如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．（25-26八年级上·河北邢台·期末）把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 二、填空题 11．（25-26八年级上·天津红桥·阶段检测）如图，共有_______个三角形． 【答案】8/八 【知识点】三角形的个数问题 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形从而数出三角形的个数． 【详解】解：图中有：，共8个． 故答案为：8． 12．如果三角形的三边长分别是2，7，，那么的取值范围是___________． 【答案】5＜a＜9 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形的三边关系解答． 【详解】解：由题意得：，即5＜a＜9， 故答案为：5＜a＜9． 【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形的任意一边大于另两边的差，小于另两边的和，熟记三边关系是解题的关键． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【答案】9 【知识点】确定第三边的取值范围、乘方的应用、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及三角形三边关系的应用，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围，结合c为奇数确定c的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系，有，即， ∵为奇数， ∴． 故答案为：9． 14．已知一个等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长为___________． 【答案】14 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和腰长为两种情况，再结合三角形中，任意两边之和大于第三边讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，故不符合题意； 当腰长为时，则这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，故符合题意， ∴这个三角形的周长为， 故答案为：14． 15．如图，点是边的三等分点，点、分别是，的中点，若的面积为12，则______________________． 【答案】 4 3 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】解：∵，点是边的三等分点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， 又∵点F是的中点， ∴， 故答案为：，． 16．（22-23八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，是的中线，是的中线，若，则_____．    【答案】12 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据是的中线，是的中线，得到，再根据，即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线，是的中线， ∴， ∴． ∵， ∴ 故答案为：12． 【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是熟练掌握中线的相关知识． 17．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有__________个． 【答案】3/三 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 18．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，在中，中线，相交于点，连接，若的面积是，则的面积是________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线和三角形的面积，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积，从而得出，即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线，的面积是， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的面积是． 故答案为：． 三、解答题 19．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）已知的三边分别为，且． (1)请求出的取值范围； (2)若的周长是偶数，请求出的周长． 【答案】(1) (2) 16或18 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，由的周长是偶数，得到c的值，即可求出的周长． 【详解】（1）解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； （2）解：由（1）知， ∵的周长是偶数，且是偶数， ∴是偶数， ∴或， ∴的周长为或． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)60 (2)24 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键： （1）求出的面积，再根据三角形的中线平分面积求出的面积； （2）利用面积公式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵的边上的高为， ∴， ∵为的中线， ∴； （2）解：∵为的高， ∴， ∴． 21．（23-24八年级上·山东日照·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c是奇数，试判断的形状； (3)化简：． 【答案】(1)是等边三角形； (2)是等腰三角形； (3) 【知识点】三角形三边关系的应用、绝对值非负性 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解判断即可得到答案； （2）根据三角形三边关系结合c是奇数直接求解即可得到答案； （3）根据三角形三边关系直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：由三边关系得， ，，， ∴原式， ． 【点睛】本题考查三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，绝对值非负性的运用，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0它们分别等于0． 22．（25-26八年级上·河南许昌·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 【答案】(1)＝ (2) (3)2 (4)27 【知识点】根据三角形中线求长度、重心的概念、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴与等底同高， ∴． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ∴． 故答案为：2． （4）解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， . 1 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