精品解析：福建省建瓯市第四中学2025-2026学年第二学期八年级第一次阶段性检测数学试题

建瓯四中2025-2026学年第二学期八年级第一次阶段性检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填写） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】满足的三个正整数称为勾股数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：，不是“勾股数”，不符合题意； 不是“勾股数”，不符合题意； 不是正整数，故不是“勾股数”，不符合题意； 是“勾股数”，符合题意； 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解；A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再进一步确定a的值为多少即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧， ∴． 故选：C． ． 5. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为，依题意得： ， 解得． 6. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 7. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 8. 若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 9. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为（由正方形B和正方形C“生长”出来的四个正方形的面积之和等于正方形B和正方形C的面积之和）， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， 以此类推可知，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 故选：A． 10. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点．通过延长线构造全等三角形，将转化为，结合勾股定理求线段长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置． 11. 比较大小：____________（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据二次根式的大小比较方法：若，则进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键． 12. 已知，为实数，且，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性质，求算术平方根等知识，由二次根式的非负性求出x与y的值是解题的关键；由二次根式的非负性可求得x与y的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：，解得：， 当时，； ∴； 故答案为：9． 13. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是______． 【答案】12尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理列出方程求解x即可． 【详解】解：设尺，则尺， 由勾股定理得，， 解得， ∴尺， 故答案为：12尺． 14. 如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2026个等腰直角三角形的斜边长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、数字规律等知识点．先根据勾股定理计算第1个，第2个，第3个，第4个等腰直角三角形的斜边长，再找到规律，再利用规律求出第2026个等腰直角三角形的斜边长． 【详解】解：根据勾股定理可得： 第1个的斜边； 第2个的斜边； 第3个的斜边； ．．．．．． 第n个等腰直角三角形的斜边； 所以第2026个等腰直角三角形的斜边． 故答案为：． 15. 如图，在中，于点，如果，则_________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及直角三角形的两锐角互余，先由平行四边形的性质求出，再利用直角三角形两锐角互锐求出即可．解题关键是理清题中的条件． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 16. 如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是___________． 【答案】41 【解析】 【分析】要解决蚂蚁从点爬到点的最短路线长度的平方问题，需将立体组合体的表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形问题，再通过勾股定理计算．关键是确定展开后直角三角形两条直角边的长度． 【详解】由20个棱长为1的小正方体搭成组合体，观察结构可知：组合体的长为、宽为、高为．蚂蚁在立体表面爬行的最短路径，需将表面展开为平面．点与点在同一平面内形成直角三角形，其两条直角边分别为： 水平方向：宽与高之和，即； 垂直方向：长，即． 根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和．因此，最短路线长度的平方为： 故答案为：41 【点睛】本题的核心是将立体图形表面展开为平面图形，把空间中的最短路径问题转化为平面上的直角三角形问题，再利用勾股定理求解．关键在于准确分析组合体的长、宽、高，并选择合适的展开方式确定直角边长度． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）利用平方差公式和完全平方公式展开计算，再合并常数项． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 如图，，，，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】根据求出，即可得出，从而可判断三角形的形状． 【详解】略 19. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）4 （2）13 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，，， 则，． ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴． 20. 如图，在中，，，垂足为．已知，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先在中用勾股定理求出的长度，再结合等腰三角形的性质，设为未知数，用该未知数表示，最后在中通过勾股定理列方程求解的长． 【详解】解：， ． 在中，． 设，则． 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查了勾股定理与等腰三角形的性质，掌握结合等腰三角形的边的等量关系，设未知数并利用勾股定理列方程求解边长是解题的关键． 21. 你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直， （1）求绳索的长度． （2）如图3，秋千荡到时踏板离地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设绳索的长度为，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）由含30度角的直角三角形的性质得到，则由勾股定理可得，再由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：设绳索的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 答：绳索的长度为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∴， 答：秋千荡到时踏板离地面的高度为． 22. 如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． （1）请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ （2）若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】（1）学校会处在卡车的噪声影响范围内；理由见解析 （2）6秒 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度． ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． 【小问2详解】 解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为8 米/秒， ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 23. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】（1）， （2）1， （3）12或28 【解析】 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【小问1详解】 解：将等式右边完全平方展开： ，  ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． 【小问2详解】 解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、​． 【小问3详解】 解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 24. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，化简二次根式，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子式子中的每一项的分母先化简二次根式，再把对应项分母有理化即可得到答案． 【小问1详解】 解：①； ②； 【小问2详解】 解：∵（n为正整数） ， ∴ ． 【小问3详解】 解： ． 25. 如图，是等腰直角三角形，在线段上，是线段的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接． （1）如图1，求证：． （2）当、、三点共线时，如图2，若，求的长． （3）如图3，若，连接，当运动到使得时，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，根据证明即可． （2）利用全等三角形的性质，证明，再利用勾股定理即可解决问题． （3）如图3中，作于．证明是底角为的等腰三角形，求出，，，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：如图1中， ，都是等腰三角形， ，，， ， ， 【小问2详解】 解：如图2中， ，， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图2中，作于． ， ， ， ，， ，， ，， ，，， ，， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建瓯四中2025-2026学年第二学期八年级第一次阶段性检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填写） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 9，40，41 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（） A. B. C. D. 9. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 10. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置． 11. 比较大小：____________（填“＞”、“＜”或“=”）． 12. 已知，为实数，且，则______． 13. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是______． 14. 如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2026个等腰直角三角形的斜边长是________． 15. 如图，在中，于点，如果，则_________． 16. 如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，，，，，试判断的形状，并说明理由． 19. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 20. 如图，在中，，，垂足为．已知，，求的长． 21. 你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直， （1）求绳索的长度． （2）如图3，秋千荡到时踏板离地面的高度． 22. 如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． （1）请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ （2）若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 23. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 24. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 25. 如图，是等腰直角三角形，在线段上，是线段的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接． （1）如图1，求证：． （2）当、、三点共线时，如图2，若，求的长． （3）如图3，若，连接，当运动到使得时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $