第二十六章 二次函数 单元练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数 单元练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册 一、选择题 1.抛物线与抛物线具有的相同性质是(    ) A. 开口向上 B. 开口向下 C. 有最高点 D. 对称轴是轴 2.对于二次函数，下列说法错误的是(    ) A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，取最大值 D. 当时，随的增大而减小 3.二次函数的图象过点，则其图象一定经过点  (    ) A. B. C. D. 4.抛物线与轴的交点是，，则抛物线的对称轴是直线(    ) A. B. C. D. 5.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是(    ) A. B. C. D. 6.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：与小球的运动时间单位：之间的关系式是有下列结论：小球从抛出到落地需要小球运动时的高度小于运动时的高度小球在运动中的高度可以是其中正确的结论是(    ) A. B. C. D. 7.下表给出了二次函数的自变量与函数值的一些对应值： 则下列说法正确的是(    ) A. 图象对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值 8.已知二次函数，当自变量的值满足时，与其对应的函数的最大值为，则常数的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9.一款衣服进价为元件，标价元件售出，每天可售出件根据销售统计，每件衣服每降价元出售，则每天可多售出件，要使每天获得的利润最大，每件衣服需降价(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 10.对称轴是的抛物线为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：当时，随的增大而减小其中正确结论的个数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 11.已知，是抛物线上的两点，则          填“”“”或“” 12.已知二次函数． 若二次函数的图象经过点，则          ． 将二次函数的图象向下平移个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为          ． 13.已知二次函数，当时，的取值范围是          ． 14.如图，将抛物线沿轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的区域为阴影部分，则阴影部分的面积是          ． 15.如果抛物线的对称轴是直线，那么          ，它的顶点坐标是          ． 16.如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形铁丝正好全部用完且无损耗，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为          ，当          时，有最大值，为          ． 17.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门，现把这个方案中的抛物线形拱门图形放入平面直角坐标系中，如图，拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为          ． 三、解答题 18.抛物线的对称轴是直线，且过点． 求抛物线的解析式和顶点坐标． 当在什么范围内时，随的增大而减小当取何值时，函数有最大或最小值并求出相应的最大或最小值． 当时，直接写出函数值的取值范围． 19.如图，抛物线与直线相交于点和点 求抛物线的解析式． 结合图象，求不等式的解集． 设是抛物线上直线下方的一个动点，求面积的最大值． 20.某服装店购进一批秋衣，进价为每件元物价部门规定其销售单价不高于元，经市场调查发现：日销售量单位：件是销售单价单位：元的一次函数，且当时，时，在销售过程中，每天还要支付其他费用元． 求出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 求该服装店销售这批秋衣日获利单位：元关于销售单价单位：元的函数解析式． 当销售单价为多少元时，该服装店销售这批秋衣日获利最大最大获利是多少元 21.如图，二次函数的图象与轴交于和两点，交轴于点，连接． 求二次函数解析式． 若点为二次函数图象上一点，且点在第二象限，过点作轴的平行线交于点，求线段的最大值． 22.如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙墙的长度为，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，宽为，面积为． 分别求出与，与的函数解析式； 当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 23.某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 研究背景羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 收集数据某次羽毛球飞行的高度与距发球点的水平距离的对应值如表不考虑空气阻力． 水平距离 高度 探索发现数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线如图，发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 建立模型求与的函数解析式不要求写自变量的取值范围． 羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到请说明理由． 保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点抛物线的开口向下，对称轴为轴，有最高点，故两个抛物线具有的相同性质是对称轴都是轴，故选D． 2.【答案】  【解析】中，它的图象的开口向下，故A正确 图象的对称轴为直线，故B错误 当时，取最大值，故C正确 时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小，故D正确故选B． 3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  【解析】，即当时，的值与无关，此时， 即一次函数的图象过点，故选项A，不合题意 C.由二次函数的图象开口向下可知， 由一次函数的图象可知，矛盾，故不合题意 D.由二次函数的图象开口向上可知， 由一次函数的图象可知，一致，符合题意． 故选D． 6.【答案】  【解析】当时，可得方程，解得，， 小球从抛出到落地需要，故正确 当时，可得， 当时，可得，， 小球运动时的高度小于运动时的高度，故正确 当时，可得，整理得， ， 方程无解， 小球在运动中的高度不可能是，故错误． 综上所述，正确的结论是故选B． 7.【答案】  【解析】当和时，，即和是该函数图象上一组对称点， 图象对称轴为直线，故A错误 图象对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，，当时，，故B错误 由题表中数据得随的增大先增大后减小， 图象开口向下，图象对称轴是直线， 当时，随的增大而增大，故C正确 图象开口向下，对称轴是直线， 当时，取最大值， 故D错误故选C． 8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  【解析】因为抛物线的开口向下，对称轴为轴， 所以抛物线上的点离对称轴越远，其纵坐标越小． 因为， 且，所以． 12.【答案】【小题】 【小题】   【解析】  二次函数的图象经过点， ，解得．   ． 将二次函数的图象向下平移个单位长度， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标为． ，， 所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为． 13.【答案】  【解析】二次函数中， 抛物线开口向上，其最小值为， 又抛物线的对称轴为轴， 当时，随的增大先减小后增大． 当时，，当时，， 的取值范围是． 14.【答案】  【解析】连接，由平移的性质可知四边形是平行四边形，当时，，解得，，．抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，抛物线向下平移了个单位长度．阴影部分的面积是． 15.【答案】   16.【答案】   17.【答案】  【解析】由题意得，抛物线的顶点， 可设抛物线的函数表达式为， 把代入得， ， ． 令， 或， ， 矩形框架的周长． 18.【答案】【小题】 对称轴是直线，， 抛物线的解析式为． 抛物线过点，，解得． 故抛物线的解析式为，顶点坐标为． 【小题】 ，抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小． 抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最大值，为． 【小题】 ． 详解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，函数值的取值范围为． 19.【答案】【小题】 抛物线经过点， 将点的坐标代入，得，解得， 抛物线的解析式为． 【小题】 由知抛物线的解析式为， 当时，有，解得，， ，结合图象可知， 不等式的解集为或． 【小题】 如图，过作轴，交于， 直线过点，， 将点，点的坐标分别代入，得 解得 直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，的面积取得最大值，为． 20.【答案】【小题】 设关于的函数解析式为． 根据题意，得解得 秋衣进价为元，销售单价不高于元， ， 关于的函数解析式为． 【小题】 由题意，得 ， 关于的函数解析式为． 【小题】 ． ，当时，随的增大而增大． ， 当时，有最大值，最大值为， 当销售单价为元时，该服装店销售这批秋衣日获利最大，最大获利是元．   21.【答案】【小题】 设二次函数的解析式为将代入上式可得，解得，． 【小题】 设直线的解析式为将，代入上式可得解得直线的解析式为设，则，．，当时，有最大值，为． 22.【答案】【小题】 由题意，得， ． ，即． 【小题】 由题意，， 有最大值．  当时，． 答：当时，矩形场地的总面积最大，最大面积为． 【小题】 由题意，得， ． ． ． ， 矩形场地的最大总面积不能达到．   23.【答案】【小题】 建立模型：把，代入， 得解得 ． 【小题】 羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到 理由：，当时，取得最大值，最大值为． ，羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到 【小题】 保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ．．． 发球点与球网的水平距离是，且羽毛球飞过球网上方时，飞行的高度超过， 当时，，解得． 发球点与球网的水平距离是，且球的落地点与球网的水平距离小于， 当时，，解得． 的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $