第二十六章二次函数提优（压轴题）练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数综合应用，以压轴题形式系统覆盖解析式、动态平移、几何综合等核心考点，强化抽象能力与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|题1(1)(2)、题2(1)等|求解析式、顶点坐标、参数范围|从抛物线定义到顶点/交点计算，构建概念应用逻辑| |动态与平移|题1(3)、题6(3)等|抛物线平移、动点轨迹|结合函数平移规律与几何运动，发展空间观念| |几何综合|题3(2)、题5(2)等|四边形存在性、面积最值|融合相似三角形、图形判定，培养模型意识与推理能力|

2026-2027学年九年级二次函数提优（压轴题）练习 1．我们约定：如图1，与轴相交于、两点，（），顶点为，而抛物线的顶点恰好为上的点，且经过的顶点，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”． (1)填空：抛物线的“兄弟函数”为 ； (2)若抛物线存在“兄弟函数”，求的取值范围； (3)已知点是正比例函数：上一点，抛物线从点出发，在射线上移动，运动秒后，移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟函数”为． ①当时，抛物线的解析式为 ； ②当时，求抛物线的解析式； ③设抛物线与的另一交点为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①，②，③ 【分析】(1)求出点、的坐标，用待定系数法求出的“兄弟函数”的解析式； (2)根据“兄弟函数”的定义可知，若有“兄弟函数”，需要与轴有两个交点，根据一元二次方程根的判别式即可求出的取值范围； (3)根据运动秒后，移动距离为，可知抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位，根据平移的方向可以得到当和时抛物线的解析式；联立、 ，可得：，可得：，根据点在上，可知点的坐标为，因为点为中点，可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为，顶点坐标为， 设的“兄弟函数”的表达式为：， 把点坐标代入上式得：， 解得：， 的“兄弟函数”的解析式为， 答案为：； （2）解：存在“兄弟函数”，理由如下： 令， 当时， 抛物线与轴有个交点， 解得：； （3）解：由题可得，移动速度为每秒个单位长度，射线是角平分线， 抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位， 此时，：，顶点为， 令，则，点的坐标为， 同理可得：：， ①当时，：， ②当时，：， ③由题可得：，顶点为， ：，直线的函数表达式为：， 联立、 ，可得：， 整理得：， 两个函数的交点为点和点， 由韦达定理得：， 即：， 解得：， 则点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点为中点，则， 解得：， 答：的值为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移、二次函数图象与轴交点问题、二次函数的图像与性质． 2．如图，抛物线：过点，顶点为M． (1)求b的值及点M的坐标 (2)点在上，若，直接写出的取值范围： (3)抛物线： (t为常数，且)，顶点为N． 与交于A，B(A在B的左侧)两点． ①当时，求交点A，B的坐标； ②连接、，且与交于点P，直接写出点P的纵坐标． 【答案】(1)， (2) (3)①，；② 【分析】（1）将代入求出，将二次函数化为顶点式，即可求解； （2）当时，，当时，，根据对称轴和取值范围即可求解； （3）①当时，求出抛物线的解析式，联立与的解析式，即可求解； ②设、，，联立、的解析式得，由韦达定理得，， 由中点坐标得，，线段的中点坐标为，求出线段的中点坐标为，线段与线段的中点重合，即可求解． 【详解】（1）解：过点， ， 解得， ， ． （2）解：当时，， 当时，， 抛物线的对称轴为直线， ， ． （3）解：①当时， 抛物线： ， 联立与得， 解得，， ，． ②设、， 联立、的解析式得， ， 整理得， ，， ，， ， ， ，， 线段的中点坐标为， 抛物线： 顶点， ， ， ， 线段的中点坐标为， 线段与线段的中点重合， 线段与线段只有一个交点， ， 故点的纵坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，待定系数法，二次函数的性质，中点坐标等；熟练利用二次函数的性质及中点坐标求解是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． (1)求抛物线的顶点坐标和线段的长； (2)当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； (3)若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围． 【答案】(1)顶点为， (2)m的值是1或3 (3)或 【分析】（1）将函数一般式化为顶点式，即可得顶点，令，则，当时，，解得，即可求得； （2）将抛物线函数化为顶点式得对称轴为直线，由对称性即可知，结合平行四边形的性质得，即，解方程即可； （3）①当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可；②当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， 顶点为． 令，则， 当时，， 解得，，， ∴， ； （2）解：如图， ∵抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 轴 点与点关于直线对称， ． 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， 即，解得：， 的值是1或3； （3）解：①当点在抛物线上时，即， 抛物线的顶点为点坐标为， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为， 当时，，解得：，（舍去） ； ②当点在抛物线上时，即 抛物线的顶点为，点坐标为，， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为1， 当时，，解得：，， 综上，或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，绝对值的意义，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b是常数）经过点．点A的坐标为，点B在该抛物线上，横坐标为，其中． (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点B在x轴上时，求点A的坐标； (3)该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值； (4)当点B在x轴上方时，过点B作轴于点C，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段的中点为D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解； （2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解； （3）①如图所示，当，即时，②当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论①当是的中点，②同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 得 解得， 抛物线表达式为． ， 顶点坐标为； （2）解：由， 当时， 解得，． 抛物线上的点B在x轴上时，横坐标为，其中， ， ， 解得， 点A的坐标为， ； （3）解：①如图所示，当，即时， 抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点为顶点，最低点为点P， 顶点坐标为，， 则纵坐标之差为． 依题意，得， 解得； ②如图所示，当，即时， ， 即， 依题意，得 解得或（舍去）， 综上所述，或； （4）解：如图所示， ∵点B在x轴的上方， ∴， ∴， ∵线段的中点为D， ∴， ∵， ∴以点为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半， ①当点E是的中点时，如图所示， 则， ∴代入， 即 解得（舍去）或； ②同理，当点F为的中点时，如图所示，，则以点为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半， ∴， 解得； ③如图所示， 设， ∵以点为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为D， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． ∵点关于直线对称， ∴， 解得 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①存在，；②． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． （1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． ②因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图： ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． ②设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 代入 ∴， ∴， ∴直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ∴点横坐标为， ∵与的比值和他们之间水平距离的比值相等， ， 和等高， ． 6．如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为 (3)当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或 【分析】（1）利用抛物线与轴交于点、代入即可求解抛物线的解析式； （2）首先分析当四边形的面积最大，且的面积为定值，即当的面积最大时，四边形的面积最大，进而推导当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大，即可求出点P的坐标，当点P固定后，发现当点P，C，Q三点共线时，为最大值，即利用两点间的距离求解即可； （3）首先分析以、、、四点构成的四边形是平行四边形，存在以为边和以为对角线的两种情况，进而进行分类讨论，发现以为对角线的情况不符合题意，进而只需计算，且的情况即可，首先根据平移求出新抛物线的解析式，即可设，进而利用全等三角形求出点N的坐标，再结合（2）中的长度求解点M的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴，解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴交于点E，    ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，易得：， 设，则， ∵四边形的面积最大，且的面积为定值， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大， ∵， ∴当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大， ∵， 当时，最长，此时， ∴此时轴上存在一点，使得的值最大， ∵在中，， ∴当点P，C，Q三点共线时，为最大值， ∴， ∴在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为； （3）解：将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移两个单位长度，向右平移两个单位长度即可得到新抛物线， ∴， ∴的对称轴为直线， ①：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点F，过点N作于点E，    设，由（2）得：，， ∴，， ∵，，轴 ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ②：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点K，过点N作于点J，    设，由（2）得：，， ∴，， 同理可证：， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ③：以为对角线时，如图，作的垂直平分线，发现此时点N，M在同一侧， ∴此情况无法构成平行四边形；    综上所述：当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数综合题、相似三角形、线段差的最大值，数形结合与构造辅助线是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的最小值为 (3)当时，所有符合条件点的坐标为或 【分析】（1）求得点的坐标，利用待定系数法解答即可； （2）过点作轴于点，交直线于点，利用等腰直角三角形的判定与性质得到为等腰直角三角形，则，设，则，则，可得：当时，取得最大值为，此时的坐标为；作点关于轴的对称点，连接，利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质得到当点在一条直线上时，取得最小值为，利用勾股定理解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：首先利用平移的特征求得抛物线的解析式，利用平行线的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式，再与抛物线的解析式联立即可求得结论；设与轴交于点，利用全等三角形的判定与性质求得点坐标，利用的待定系数法求得直线的解析式，再与抛物线的解析式联立即可求得结论． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， ∵抛物线交轴于两点， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，交直线于点，如图， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， 设， 轴于点， ， ， ， ， ， ∴为的等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，取得最大值为，此时的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接，如图， 则， ∵F为该抛物线对称轴上的一动点， ， ， ∵两点之间线段最短， ∴当点在一条直线上时，取得最小值为， 过点作轴于点， ， ， ， ∴的最小值为； （3）解：当时，所有符合条件点的坐标为或． ， ， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴该抛物线向右平移了 1 个单位长度，向上平移利用 2 个单位长度， ， ， ， ， ， ， ∴，如图， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ， 或（不合题意，舍去）， ， 设与轴交于点，如图， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴（不合题意，舍去）或， ∴． 综上，当时，所有符合条件点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 8．已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”． (1)①函数的“升幂函数”的函数表达式为________； ②若函数的“升幂函数”为，函数的“升幂函数”为，则函数与的图象的交点坐标为________； (2)已知是一次函数的“升幂函数”，且对任意的，总有；当时，函数的最大值为4，求一次函数的解析式： (3)二次函数的图象如图所示，且是一次函数的“升幂函数”，若函数图象的对称轴与轴交于点，函数的图象交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，已知且，求的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，新概念，理解新概念，掌握二次函数的图象与性质是关键． （1）①根据“升幂函数”的含义即可求解；②根据“升幂函数”的含义求得，再联立解方程组即可； （2）根据“升幂函数”的含义，得到，再结合题意可推出，再分，讨论最值，根据最值求解即可； （3）先根据题意得到，结合求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意，； ②，， 联立，即，整理得，解得或， 当时，；当时，， 所以交点坐标为，； 故答案为：①；②，； （2）， 因为对任意的，总有， 即方程有两相同的根， ， 即， 所以， ①当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， 在上，时取得最大值，， 由最大值为，得， 解得， 则， 此时， ②当时，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 在上，当时取得最大值，， 由最大值为，得， 解得， 则， 此时， 综上所述：一次函数的解析式为或； （3）是的“升幂函数”， ， 二次函数的图象如图所示， ，对称轴，则， ，， 又，， 在的右侧， ， 在的右侧，如图， ，即四边形为平行四边形， ，即，故， ， ， ， 解得：， 对于，可看成关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 此时离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大， 又∵， 当时，， 又∵当时，， ∴； 即当时，， 综上，的取值范围是． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作于点轴交于点，点是直线上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及此时的最小值： (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一种结果的解答过程． 【答案】(1) (2)，3 (3)或． 【分析】（1）由抛物线与x轴交于可得①，由抛物线的对称轴直线方程可得②，①②联立可求出，，即可求出抛物线的解析式； （2）由运用待定系数法求出直线的解析式为，设，易得，；，可得可求出当时，有最大值，此时； 先求得直线的解析式为，设，如图：过E作轴，则，由平行线的性质以及三角函数可得，即，如图：如图：连接，过P点作的延长线于G，则，然后根据三角形三边关系以及垂线段最短即可解答； （3）先求出平移后抛物线解析式及点，再求得平移后的函数解析式；如图：取点P关于y轴的对称点，即，，连接并延长交于点R，与y轴交于点F，结合已知条件和三角形内角和定理可得，再求得直线的解析式为可得；直线的解析式为，联立可得；再运用两点间距离公式、勾股定理逆定理、正切的定义可得；设，则，然后再解绝对值方程即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴①， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即②， 由①②联立得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设， 如图：过E作轴，则， ∴， ∵ ∴， ∴， 如图：连接，过P点作的延长线于G，则 ∴要求的最小值，只需求得最小值， 由三角形的三边关系可知：， 又由垂线段最短可知：的最小值为， ∴的最小值为． （3）解：由（2）知，当取得最大值时，点， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即抛物线向右平移4个单位，再向上平移4个单位， ∴点P的对应点M的坐标为，即， ∵， ， 如图：取点P关于y轴的对称点，即，，连接并延长交于点R，与y轴交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴； 设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得： ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵N为抛物线上的一动点． ∴设， ∴， ∴或， 当时，解得或（不合题意，舍去）； ∴； 当时，解得或（不合题意，舍去）； ∴． 综上，所有符合条件的点N的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的综合应用、二次函数的图象性质、解直角三角形、二次函数图像的平移等知识点，灵活运用相关性质内容是解题的关键． 10．已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，直接写出点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于、两点，求证：的长度为定值． 【答案】(1) (2) (3) 设平移后的抛物线的顶点为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 令， 整理得， 设，， ∴，， ∴， ∴的长度为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质. （1）求出A，C点的坐标，再将点坐标代入，即可得解； （2）先求出，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）先求出平移后的抛物线，再利用，得，，最后利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得， ∴，； ∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴将点，坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点Q在y轴上， ∴， ∴,即轴， ∴点P的纵坐标为， 令， 解得或（舍去）， ∴； （3）略 11．在平面直角坐标系中，对于点和二次函数，定义点P关于该二次函数的“伴随点”为点，已知二次函数． (1)求点关于该函数的伴随点的坐标； (2)若点关于该函数的伴随点恰好落在x轴上，求t的值； (3)点M是二次函数图象上的一个动点，点N是点M关于该函数的伴随点．以线段为边向右作正方形，当正方形与抛物线有且只有三个公共点时，求点M的坐标或取值范围．（请直接写出结果） 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题主要考查二次函数图像的性质，新定义点即几何图形与二次函数图像综合问题，解题的关键是理解新定义及数形结合思想． （1）根据“伴随点”的定义直接求解； （2）根据“伴随点”的定义得到，再结合题意求解即可； （3）设，根据“伴随点”的定义得到，以线段为边向右作正方形，再数形结合分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数，则， 点关于该函数的伴随点，即； （2）解：点关于该函数的伴随点， 又点恰好落在x轴上， ， 解得，； （3）解：点M是二次函数图象上，可设， ， 令，，解得或， 二次函数与轴交于两点，则，， 当时，以线段为边向右作正方形，， 则， 又与二次函数有且只有三个公共点， 当在处时，正方形与二次函数有三个公共点, 即，解得或（舍去）； 当时， ， 又与二次函数有且只有三个公共点， 边与二次函数必有一个公共点，设为,边或有一个公共点， 由对称性知， ，即， 令，解得， 则的图像如下： 的解为， 又，则； 当时，重合，不符合题意； 当且时， 如图，正方形与抛物线至多有2个公共点，不符合题意； 综上，，． 12．如图1，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当时，抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为，直接写出的值； (3)如图2，将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧，抛物线与抛物线的对称轴相交于点，连接，． ①求证：； ②如图3，若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) ①证明：将变形，得． 设点的坐标为． 根据平移的性质可知． 可知点的坐标为． ． ． 所以． ②四边形的形状是正方形，理由： 根据题意可知，点的坐标为． 因为，，可得 ． 解得（舍去），． 所以点的坐标为，点的坐标为． 所以． 所以四边形的形状是正方形． 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时； （3）①设点的坐标为，根据平移的性质可知，则，；②因为，，可得 ． 【详解】（1）因为抛物线的图象经过点和点，可得 解得 所以抛物线对应的函数表达式为． （2）抛物线的对称轴为，开口向上． （Ⅰ）当时． 时，取得最大值． 时，取得最小值． 根据题意，得 ． 解得 ． （Ⅱ）当时，即． 时，取得最小值． 时，取得最大值． 根据题意，得 ． 解得 ． （Ⅲ）当时，即． 时，取得最小值， 若时，取得最大值，得 ． 解得 ，（舍去）． 若时，取得最大值，得 ． 解得 （舍去），． 综上所述，或． （3）①略 ②略 13．已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点（不与点A、B、C重合），作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标； ②当点P在y轴左侧抛物上时，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质和菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线段的长和解一元二次方程是解题的关键． （1）把点，代入，即可求解； （2）①延长交轴于点，易证，易证，可得，进而求得直线的解析式，联立即可得出（舍），，当时，，即可得出点P的坐标； ②设，令，则， 可得，故，易得，设，因为点E关于直线的对称点落在y轴上，可得，作轴，易证，再根据相似三角形性质可得四边形的周长． 【详解】（1）解：把，代入， ， ， ． （2）解：①延长交轴于点， 易证， ， 易证， ， 则直线的解析式为， 令， 则， （舍），， 当时，， ∴； ②设， 令，则， ，， ， ， ， 易得， 轴， 轴， ， 点E关于直线的对称点落在y轴上， ，，， 轴， ， ∴， ， ， 四边形为菱形， ， 作轴， 易证， ， ． 当， （舍），， ． 四边形周长为， 当， （舍），， ． 四边形周长为， 综上，四边形的周长为或． 14．如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的动点． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)过点P作x轴的平行线，交直线于点E． ①若，求点P的坐标； ②直接写出的最大值． (3)如图(2)，D为抛物线的顶点，过点P作的平行线交抛物线于另一点G，连接，，满足，若点M在直线上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2)①或② (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，相似的性质和判定，解题的关键是根据相似的性质求出直线的解析式； （1）分别令，即可得解； （2）①先求出直线的解析式，设，根据列方程求解即可； ②根据求解最值即可． （3）过D作轴于H，过G作于M，过P作于N，则，设，则，设直线的解析式为，证明，可得，即可求出直线的解析式，设，求出的最小值，进而求出的最小值． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， 解得：， ， ； （2）解：①设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， 把代入得， 解得， ， ， ， 解得：或， 或； ②， ， ∴当时，有最大值，此时， 的最大值为； （3）解：过D作轴于H，过G作于M，过P作于N，则， 设，则， ， ∴设直线的解析式为， 把P代入得， 解得， ， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或或， 当时，，此时P与D重合，不符合题意， 当时，，此时G与D重合，不符合题意， ，即， 直线的解析式为， 设，则， ， 当时，取最小值，的最小值， 的最小值为． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作，交轴于点，作轴于点，点为直线上一动点，轴上有一点，当取最大值时，求点的坐标与的最小值； (3)将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于点F，求出，令点P的坐标为，根据二次函数的性质求出取最大值时的点的坐标，作点Ｄ关于直线的对称点，连接，证在一直线上，关于点对称，出中心对称的性质求出点的坐标，根据，求出即可求出的最小值； （３）若，则分情况讨论：点在的上方或点在的下方． 【详解】（1）解：把点代入，得 ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过点P作轴于点F， ， ， 在中，， ， 在中，， ，即， ， ， 令点P的坐标为， ， ， 当，即时，的最大值为， ，此时，点N与点C重合， 点P的坐标为； 如图，作点Ｄ关于直线的对称点，连接， 点为直线上一动点， ， ， 当点在线段时，最小， 连接，则， ， ， ， ， ， 在中，， ，即， 由对称性，得在一条直线上， 关于点对称， ，即， ， 当取最大值时， 的最小值为； （3）解：， 将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，相当于将抛物线向左移动２个单位，再向上平移4个单位， 新抛物线的解析式为， 作关于轴的对称线段，则， 若，则分情况讨论：点在的上方或点在的下方． 点在的上方，过点A作，交新抛物线于，则T即为所求的点，， 与关于轴对称，直线的解析式为， 的解析式为， 关于对称轴对称， 的坐标为 设的解析为， 把点代入，得，， 的解析式为， 联立方程组，消去得，， 解得，，（不合题意，舍去）， 当时，， ； 点在的下方，， ， ， ，即， 令交轴于点 ，‘ ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立方程组，消去得， 解得（不合题意，舍去） 当时，， 综上，若，点T的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，最大值、最小值问题，图象的平移，全等三角形的判定和性质，轴对称，求图象交点坐标等知识，分类讨论是解本题的关键． 16．如图1，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，D是上方抛物线上异于B、C的一点，连接交y轴于点E，当时，求点D的坐标； (3)如图2，是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线． 【答案】(1) (2) (3)点的运动轨迹是一条定直线 【分析】（1）先求得，从而可得，再根据，求得，，从而可得，，将代入，求得，从而可得抛物线的解析式； （2）先利用勾股定理求得，，同时求得，再根据三角形面积，求得，接着利用勾股定理求得，从而可得，再根据，求得，从而可得，设直线的解析式为，代入，求得，即可得直线的解析式 ，然后联立，求得； （3）设，先分别求得直线的解析式，的解析式，再求得直线的解析式，联立，可得，从而有，，进而得出，消去可得：（与直线重合，故舍去）或，即点的运动轨迹是一条定直线． 【详解】（1）解：对于抛物线，当时，， 则，则， ∵， ∴，， ∴，， 将代入， 得，解得：， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入， 解得：， ∴ ， 联立抛物线解析式，可得， 解得：或（舍去）， ∴； （3）解：设， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， 设的解析式为，， ∴， 解得：， ∴， 联立， 消去得：， 联立， 消去得：， ∵， ∴，即， 由可得， 依题意，直线的解析式为， 即， 联立， 则， ∴，， ∴， 消去得：， 解得：（与直线重合，故舍去）或， 即点的运动轨迹是一条定直线． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，用勾股定理解三角形，已知正切值求边长，的图象与性质等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点． 17．如图，抛物线与轴交于、两点点在点左边，与轴交于点直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一动点，过点P作，垂足为 点在直线下方的抛物线上运动时，求面积的最大值． 当点在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点，使与相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①4；②或 【分析】本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用分类讨论的思想解决数学问题． （1）根据直线经过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线可得答案； （2）①过根据图象得：轴交于点D，设，则，结合图象利用面积关系求解即可；②证明，得出，再根据与相似分两种情况进行求解，即可求得点P的横坐标． 【详解】（1）解：直线， 当时，，当时，， ∴， 将B、C坐标代入抛物线得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：根据图象得：轴交于点D， 设，则， ， ， 当时，的值最大，最大值为4； ②∵抛物线的解析式为：， ∴ ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P的纵坐标是，代入抛物线，得， 解得：（舍去），， ∴点P的坐标为：； 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①知，点，， ∵， ∴， ， ∴， ∴ 或（舍）， ∴． 满足条件的点P的坐标为或． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求出点P的坐标及线段的最大值，并求出的最小值； (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物线交线段于点N，点M是新抛物线上的一个动点，当时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程． 【答案】(1) (2)，， (3)，过程见解析 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，得到，将代入抛物线解析式计算即可； （2）先求出，，直线的解析式为，过点P作x轴平行线，交延长线于点G，证明，推出，即，设，则点纵坐标为，求出，利用二次函数的性质求出；将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接，易证四边形是平行四边形，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可； （3）求出平移后的抛物线的解析式，进而求出点的坐标，作轴，作，且，作，且，连接，推出，进而得到点在射线上，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意：，则， 将代入抛物线解析式得：， 解得：，则， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，则， 令，解得：或， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作x轴平行线，交延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设， 则点纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为，即有最大值， 此时，，即； 将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长； ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由题意，平移后的抛物线的解析式为：， 令，解得：或， 根据题意：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 作轴，作，且，作，且，连接， 则：轴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴点在射线上， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴， 联立，解得或， ∴； 作过点作平行于，交轴于点，则， 由图可知，射线与新抛物线没有交点，故在轴下方不存在点使； 故 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，二次函数求最值，二次函数图象的平移，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 19．如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 【答案】(1)过点，证明见详解 (2)①见详解；②8 【分析】（1）设，，，，则，，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，则，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，故，可求直线解析式为，当，故直线过定点； （2）①取中点为，连接，记交于点，交于点，由，得，则，同理可得，，则，同理可得，， 即可证明；②由得，同理可得：，故，当且仅当或时，等号成立，面积的最小值为8． 【详解】（1）解：设，，，，且分别为的中点， 则，， ∵ 设直线的解析式为，根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线解析式为， 当， 故直线过定点． （2）①解：取中点为，连接，记交于点，交于点， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵分别为的中点， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， 即：，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当或时，等号成立， ∴面积的最小值为8． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，根与系数的关系，三角形中位线定理，两点之间距离公式等，化简计算量较大，正确添加辅助线，细心化简是解题的关键． 20．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式，即可求解； （2）过点作轴于点，证明为等腰直角三角形，得出，求出，先求出直线的解析式，设点的坐标为，求出，，根据二次函数最值，求出最后结果即可； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于的方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， 令，得， ∴点的坐标为． ∴． ∵， ∴， 即点A的坐标为． ∵点， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式是，即． ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：如图1，过点作轴于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． 设直线的解析式为，把代入得：，解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为， ∵轴， ∴． 把代入得：，解得， ∴． ∴ ． ∴当时，有最大值，且最大值为． ∴的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：如图2， 设点的坐标为， ∵，， ∴为的锐角三角形． 也是锐角三角形． ∴点在点的上方． ∴． ∴． ∵，，， ①当时， ∴，即，解得， 即点． ②当时， ∴，即，解得， 即点． 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级二次函数提优（压轴题）练习 1.我们约定：如图1，乃=ar+x+G与轴相交于1）、8(a)两点，心<)，顶点为 M,而抛物线方=a,r+r+9的顶点恰好为1=ar+r+6上的点8，且经过当=a++9的顶点 那么我们降抛物线5=4r++C称为抛物线=4+4x+G。 M 的“兄弟函数”. =-2x2+2 (1)填空：抛物线 的“兄弟函数”为； y=-x2+2x+c (2)若抛物 存在“兄弟函数”，求的取值范围： 3)己知点P是正比例函数G:y=x>0)上一点，抛物线'=一4从点0出发，在射线OP上移动，运动 '秒后。移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟正数”为9， G G .G3 ①当=3时，抛物线C的解析式为； G, G ②当=4时，求抛物线C的解析式： 国设抛物线C与的月-交点为D,当OM=MD时，求'的位。 2.如图，物线S,)=-:过点6,0) ,顶点为M (I)求b的值及点M的坐标 2点。e)在C上，若1<。<4，直接写出e的取值范围： 7 3)抛物线C,:y=-x2+(21-4)x-2+4为常数，且2≤1<6)，顶点为NC与C交于A,BA在B的 左侧)两点， ①当t=4时，求交点A,B的坐标： ②连接AB、MN,且AB与MN交于点P,直接写出点P的纵坐标. 。如图，在平面直角坐标系中，抛物线G:y=-x2-2x+1x≤0)与抛物线G,:y=-x+3x+1x≥ 组成图象G,图象0与'轴交于点，过点4作18川：轴交抛物线于点8，点P是图象6上动点，设点 P的横坐标是m. (备用图) G Q)求抛物线的顶点坐标和线段AB的长： ②)当点”在抛物线9上，过点P作P2/轴 G PO G. 轴， 与抛物线相交于点，当以A,B,P,为顶点的 四边形是平行四边形时，求的值： (3)若图象G位于P,A两点之间部分（包括P,A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范 围 4.在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线'=-+r+2(b是常数)经过点 2,2 .点A的坐 标为(m,0) 点B在该抛物线上，横坐标为1-m,其中m<0 0 (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标： (2)当点B在x轴上时，求点A的坐标： (3)该抛物线与x轴的左交点为P,当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低 点的纵坐标之差为2-m时，求m的值： ④)当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C,连结AC、BO.若四边形AOBC的边和抛物线有两 个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F,线段BO的中点为D.当以点 C、E、O、D(或以点C、F、O、D)为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所 有满足条件的的值. 5如图，在平面直角坐标系中，点4坐标为(-3,0)，点C在)轴正半辅，且n∠C40 3,抛物线 y=+h加+C经过人C两点，与x荆的另一交点为点B V 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (②)点D为直线AC上方抛物线上一动点： ①是否存在点D,使∠DCA等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的坐标：若不存在，请说明理由. ②连接BC、CD,设直线D交线段4C于点E,△CDE的面积为，△BCE的面积为S,当点P的横华 S 标为m时，求S,的值（用含m的代数式表示）· 6.如图，抛物线=am+bx+3c4≠0)与轴交于点4(-3,0)、B10),与广轴交于点C. (1)求抛物线的解析式： (2)连接AC,点P是直线AC上方抛物线上一动点，当四边形ABCP的面积最大时，在x轴上是否存在一 点9，使行P吧-C9的值最大，请求出此时P的坐标及P2-CO的最大值， )(2)的条件下，将原抛物线沿射线1C方向平移2N5 AC y'M 个单位后得到新抛物线”， ”是新抛物线对称 轴上一点，N是新抛物线上一点，使得P、C、M、N四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求 出点M的坐标，若不存在，请说明理由. y=ax2+bx+4(a≠0) 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A、B(4,0) 两点，与y轴交于点 C,连接AC,若OC=2OA, 备用图 (1)求抛物线的解析式： 2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PN LBC于点N,若E为y轴上的一动点，F为该抛物 线对称轴上的一动点，当PN取得最大值时，求AF+EF+EP的最小值； 3)将该抛物线沿1C方向平移5个单位长度得到新抛物线'，Q为新抛物线'上的一个动点，当 ∠QBC-∠ACO=45° 时，请求出所有符合条件点⑨的坐标，并写出其中一种情况的解答过程. 8.已知”是自变量”的函数，当=时，称两数为函数的“升幂函数”，例如：函数=2x, ,当 2=y=x·2x=2x 时，则函数片=22 是函数片=2x 的“升幂函数” 1)①函数少=2x的“升幂函数”，的函数表达式为 3 ②若函数少=的“升幂函数”为，函数y,的“升幂函数”为⅓，则函数片与⅓的图象的交点坐标为 Q已知”是一次函数=r+b的。 +力的“升幂函数”，且对任意的1，总有方≠%，当1≤x≤1时，函数 的最大值为4，求一次函数”的解析式： 3)二次函数 y2=ax+bx 的图象如图所示，且是一次函数”的“升幂函数”，若函数”图象的对称轴与x 轴交于点D,函数”的图象交'轴于点E,点F的坐标为L0,点C的坐标为a,D),已知DE∥CF且 2<an∠0ED<2,求b的取值范围。 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线"=ar+x+4(a≠0)与'轴交于1(4,0小B两点(4在B的左 3 侧)，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x= 2· O B O B 备用图 (1)求抛物线的表达式； (②)点P是射线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PH⊥AC于点H,PD∥x轴交AC于点D,点E是直 线BC上一动点，连接PE,当PD42p PE+V1 -BE 2 “取得最大值时，求点P的坐标及此 17 的最小值： -PH 3)在(2) PD 2 取得最大值的条件下，将抛物线y=ar'+br+4(a≠0)沿射线AC方向平移4W2 个单位长度得到抛物线y,点M为点P的对应点，点N为抛物线y上的一动点.若 ∠ABN+2∠POC+∠OPM=180°，请直接写出所有符合条件的点N的横坐标，并写出其中一种结果的解答 过程 10.已知，如图，抛物线y=+bx+c与x轴正半精交于A8两点，与)轴交于点c,直线，=-2 4 经过A、C两点. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)P为抛物线上一点，若点P关于直线AC对称点Q落在y轴上，直接写出P点坐标： 11 )现将抛物线平移，保持顶点在直线V=x一4上，若平移后的抛物线与直线y=x-2交于M、N两点， 求证：MN的长度为定值， 11.在平面直角坐标系中，对于点 和二次函数'=pr+gr+r(p≠0) P(a,b) 定义点P关于该二次函数的 “伴随点”为点 P'(a,pa2+ga+r-b) 已知二次函数y=x-4 1)求点 (,-3)关于该函数的件随点的坐标： (2)若 B(,关于该函数的件随点B恰好落在x轴上，求1的值： y=x2-4 MN (3)点M是二次函数 图象上的一个动点，点N是点M关于该函数的伴随点，以线段 为边向右 MNPO 作正方形 ,当正方形 MNP与抛物线P=x-4 有且只有三个公共点时，求点M的坐标或取值范围。 (请直接写出结果) 12如图1，抛物线片2 x2+bx+c 与x轴交于点A(l,0),点B,与y轴交于点 顶点为D. D 图1 图2 图3 (I)求抛物线对应的函数表达式： (②)当t-1≤x≤t时，抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为2，直接写出t的值； 3)如图2，将抛物线片平移得到抛物线片，抛物线”的顶点P在抛物线”上，且在抛物线” 的对称轴右侧， 抛物线”与抛物线”的对称轴相交于点E,连接PD,PE ①求证：PD=PE: ②如图3，若∠DPE=90°，连接CD,CE,判断四边形CDPE的形状，并说明理由. 13.已知抛物线y=ar2+ +4x+C与x轴交于点A1,0)和点B两点，与y轴交于点C(0,-3). P 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)点P是抛物线上一动点（不与点A、B、C重合），作PDLx轴，垂足为D,连接PC. ①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD=45°，求点P的坐标： ②当点P在y轴左侧抛物上时，直线PD交直线BC于点E,当点E关于直线PC的对称点E落在y轴上时， 求四边形PECE'的周长， =-x2+2x+3 BC 14.如图(1)，抛物线 与x轴交于A,B两点A在B的左边)，与y轴交于点C,连接， 点P是第一象限内抛物线上的动点。 D E B A 图1 图2 (I)直接写出点A,B,C的坐标： (2)过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E. ①若PE=2,求点P的坐标： ②直接写出PE的最大值. 3)如图(2)，D为抛物线的顶点，过点P作BC的平行线PG交抛物线于另一点G,连接DG,DP,满足 ∠PDG=90°，若点M在直线PG上运动，求OM的最小值. 15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 2+bx+c与x轴交于4，B(2,0)两点，与y轴交于点 2 C(0,4) 备用图 (1)求抛物线的表达式： ②点P是直线1C上方抛物线上一动点，过点P作 PMBC ,交轴于点M,作 PN⊥ 轴于点W,点E N 25 为直线BC上一动点，y轴上有一点DO,),当SPM+P 取最大值时，求P点的坐标与PE+DE的 最小值： 3)将抛物线沿着射线BC方向平移25个单位长度得到新抛物线，T为新抛物线上一动点，连接AT,若 ∠CAT=∠ACO-∠BCO,请直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出求解点T的坐标的其中一种情 况的过程。 y=-x+bx+4 16.如图1，抛物线 与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C, 若0C=OB=40A. B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： ②)如图1，连接BC,D是BC上方抛物线上异于B、C的一点，连接AD交y轴于点E,当∠ACB=∠AEO 时，求点D的坐标； 3)如图2，MN是抛物线上异于B,C的两个动点，直线BN与直线CM交于点T,若直线MN经过定点 (L3),求证：点T的运动轨迹是一条定直线。 ⑦，如图，抛物线少+bx+C与、轴交于、8两点点1在点R左，与v轴交于点。直塑 y=2x-2经过gC两点. B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)点P是抛物线上的一动点，过点P作PN⊥BC,垂足为N. ①.P 点'在直线BC下方的抛物线上运动时，求△P8C面积的最大值， BC 当么厂在直线8C下方的刻线上点动，是香看在-点人，使PC与40C ② 相似.若存在，求出点 P的坐标：若不存在，请说明理由， y=ax+bx+3(a≠0) A(-1,0),B 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点C,与x轴交于 两点 (A在B的左侧)，抛物线的对称轴是直线x=1,连接AC,BC. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥AC交BC于点D,点E,F为x轴上的两 个动点，点E在F的左侧，且EF=1,连接PE,PF.当线段PD的长度取得最大值时，求出点P的坐标及 线段PD的最大值，并求出PE+PF的最小值： BC (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得'，新抛物线交线段于点 N,点M是新抛物线'上的一个动点，当∠MNB=∠ACB 时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出 求解其中一个点M坐标的过程， 19.如图1，己知抛物线C:y=4,点F(0,1),过点F的直线1交抛物线C于4，B两点，过点F且与1 垂直的直线交抛物线C于D,E两点，其中B,D在y轴右侧，M,N分别为AB,DE的中点. y本 B B M M N D A x G 图1 图2 (I)证明：直线MN过定点. (2)如图2，设G为直线AE与直线BD的交点，连结GM、GN, O证明：S.aw=4边形e0 ②求△GMN面积的最小值. 3与轴交于A、B两点，与y轴交于点C,0是坐标原点，已知点8 y=ax2+bx-3 x 20.如图，已知抛物线 OC 的坐标是(3,0)，O=3. 图1 备用图 (1)求该抛物线的对称轴； ②点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作P四/x轴交直线C于有g,米PO+Y28D 2 的最大值及 此时P点的坐标； 3)点D是'轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标.