2.2 基本不等式 同步练习（二）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础辨析、条件应用到综合拓展的三层设计，系统巩固基本不等式的概念理解与最值求解，适配新授课分层训练需求，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念辨析与直接应用|单选1-4直接考查基本不等式成立条件与简单最值，强化运算能力| |发展层|条件最值与多情境应用|多选7-8结合“和定积最大”判断，填空9-10融入参数恒成立，发展推理意识| |综合层|多变量综合与参数问题|解答题11-13设计多问递进，如“和定求积”“1的代换”及参数范围讨论，提升数学眼光与模型意识|

2.2 基本不等式同步练习（二） 建议时长：45分钟 一、单选题：本大题共6小题.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 2．已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 3．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 4．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 6．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 二、多选题：本题共2小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 7．设正实数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最小值7 D．有最小值 8．下列能够取得最小值为4的函数有（   ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 三、填空题：本题共2小题. 把答案填在填空处的横线上. 9．已知，且，则的最小值为__________. 10．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 四、解答题：本大题共3小题.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 11．求最值： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最小值； (3)已知，，且满足，求的最小值. 12．已知正数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 13．已知都是正数. (1)若，求的最大值； (2)若，且存在使不等式有解，求的取值范围. (3)若，且，求的最小值； 学科网（北京）股份有限公司 《2.2 基本不等式同步练习（二）》参考答案 1．C 【解析】由于，则.故选：C. 2．A 【解析】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2.故选：A 3．C 【解析】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 4．D 【解析】因为，又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以，即y的最大值是. 故选：D. 5．D 【解析】由，可得， 则 当且仅当时，上式取等号， 所以的最小值是.故选：D 6．C 【解析】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 7．AC 【解析】因为正实数满足，所以， 当且仅当时取等号，A正确； ，所以有最大值2，B错误； 正实数满足，则， ，当时，，C正确； 由，可得，当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC 8．BCD 【解析】对A：， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 9． 【解析】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 10． 【解析】当时，表达式，当且仅当时取等号． 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是． 11．【解析】（1）已知，，且满足， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为12. （2）已知，有， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为5. （3）已知，，且满足，则有， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为25. 12．【解析】（1）因为，且， 所以，解得，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为9. （2）因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为3. （3）因为，且 所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为18. 13．【解析】（1）都是正数，， ， 当且仅当，结合，即，时取等号， 的最大值为. （2）都是正数， ， 当且仅当，结合，即，时取等号， ，解得：，即的取值范围为 . （3），， ， 当且仅当且，即，时取等号， 的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $