2.2基本不等式综合应用同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础公式应用到综合条件转化，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基本不等式直接应用|直接套用公式求最值（如选择1-3）| |中档|条件变形与综合应用|结合“1”的代换及函数性质（如选择4、填空8）| |提升|多知识点综合与转化|多问递进与方程不等式结合（如解答11三问）|

基本不等式综合应用 一、选择题 1.（2026山东临沂联考）若 xy>0，则 的最小值为（ ） A. 13 B. 26 C. 2 D. 4 2.(2025·山西朔州一中月考)已知x>，则3x＋的最小值为(　　) A．5　　 B． 6 C．7 D． 8 3.（2026黑龙江哈尔滨期中）已知正数 a，b 满足 a²+b²=2，则 a+b 的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 4.（2026甘肃酒泉期末）已知 x>0，y>0，且满足 x+2y=1，则 的最小值为（ ） A. 3+2 B. 4 C. 3 D. 2 5.（2026浙江宁波联考）已知 a>0，b>0，则"a+b≥2"是"ab≥1"的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.（2026河北石家庄期末）已知x>0，y>0，且＋＝2，则x＋y的最小值是(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 2、 填空题 7.（2026四川雅安一模）已知 x>0，y>0，且 2x+y=1，则 xy 的最大值为______。 8.（2025吉林长春期中）函数f(x)＝(x>2)的最小值为 ． 9.（2025四川内江联考）(2024·天津红桥期中)已知x<，若不等式2x＋≤m恒成立，则实数m的最小值为 ． 3、 解答题 10.（2025四川达州一模）已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值． 11.（2026河北沧州月考）已知 x>0，y>0，且 x+2y=2。 （1）求 xy 的最大值； （2）求 的最小值； （3）求 x²+4y² 的最小值。 12.（2026辽宁沈阳月考） (1)已知x>0，求函数y＝的最小值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式综合应用 一、选择题 1.（2026山东临沂联考）若 xy>0，则 的最小值为（ ） A. 13 B. 26 C. 2 D. 4 答案：C 详解：： 因为 xy>0，所以 都大于0。 由基本不等式： ≥ 2= 2。 当且仅当 x=y 时等号成立。 2.(2025·山西朔州一中月考)已知x>，则3x＋的最小值为(　　) A．5　　 B． 6 C．7 D． 8 答案：A 详解：　 ∵x>，∴3x－1>0，则3x＋＝3x－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当3x－1＝，即x＝1时，等号成立． 3.（2026黑龙江哈尔滨期中）已知正数 a，b 满足 a²+b²=2，则 a+b 的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 答案：B 详解：： (a+b)² = a²+b²+2ab ≤ 2(a²+b²) = 4。 所以 a+b ≤ 2。 当且仅当 a=b=1 时等号成立。 4.（2026甘肃酒泉期末）已知 x>0，y>0，且满足 x+2y=1，则 的最小值为（ ） A. 3+2 B. 4 C. 3 D. 2 答案：A 详解：： = ( )(x+2y) = 3 + ≥ 3 + 2 。 当且仅当 x=y 时等号成立。 5.（2026浙江宁波联考）已知 a>0，b>0，则"a+b≥2"是"ab≥1"的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：B 详解：： 必要性：ab ≥ 1 ⇒ a+b ≥ 2≥ 2，成立。 充分性：a+b ≥ 2 推不出 ab ≥ 1（如 a=3, b=0.1）。 故为必要不充分条件。 6.（2026河北石家庄期末）已知x>0，y>0，且＋＝2，则x＋y的最小值是(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 答案：A 详解： 因为x>0，y>0，且＋＝2，所以x＋y＝(x＋y)＝≥＝9，当且仅当＝，即x＝2y＝6时取等号，所以x＋y的最小值是9. 2、 填空题 7.（2026四川雅安一模）已知 x>0，y>0，且 2x+y=1，则 xy 的最大值为______。 答案： 详解：： 1 = 2x+y ≥ 2⇒ 1 ≥ 8xy ⇒ xy ≤ 。 8.（2025吉林长春期中）函数f(x)＝(x>2)的最小值为 ． 答案：7 详解：　 令x－2＝t，t>0，则＝＝＝t＋＋5≥7(当且仅当t＝1，即x＝3时，等号成立)，故函数f(x)＝(x>2)的最小值为7. 9.（2025四川内江联考）(2024·天津红桥期中)已知x<，若不等式2x＋≤m恒成立，则实数m的最小值为 ． 答案：-1 详解：　 因为x<，所以2x－5<0，则5－2x>0，所以2x＋＝2x－5＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝－1， 当且仅当5－2x＝，即x＝1时，等号成立，因为不等式2x＋≤m恒成立，所以m≥，则m≥－1，所以实数m的最小值为－1. 3、 解答题 10.（2025四川达州一模）已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值． 答案：4 详解： 由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，因为x>0，y>0，所以0<x<8，所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立． 所以x＋2y的最小值为4. 11.（2026河北沧州月考）已知 x>0，y>0，且 x+2y=2。 （1）求 xy 的最大值； （2）求 的最小值； （3）求 x²+4y² 的最小值。 答案：（1）；（2）；（3）2 详解：： (1) 2 = x+2y ≥ 2 ⇒ xy ≤ 。 (2) = ( )(3 + ) ≥ 。 (3) x²+4y² = (x+2y)²-4xy = 4-4xy ≥ 4-2=2。 12.（2026辽宁沈阳月考） (1)已知x>0，求函数y＝的最小值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值. 答案：（1）；（2） 详解： (1)当x>0时，根据基本不等式可得y＝＝x＋＋3≥2＋3＝4＋3＝7，当且仅当x＝，即x＝2时取得等号，故当x＝2时，函数y＝的最小值是7. (2)因为0<x<，故1－2x>0， 根据基本不等式可得y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤·＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取得等号，故当x＝时，y＝x(1－2x)的最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 $