专题02 集合运算·交并补·新定义六大参数及新定义问题（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦集合交并补运算及新定义问题，通过六大题型系统覆盖参数求解、容斥原理及创新应用，构建从基础到综合的逻辑训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据交集结果求集合或参数|10题|结合具体集合逆向求解参数取值范围|从单一运算到混合运算，逐步深化集合关系理解，培养抽象能力| |根据并集结果求集合或参数|10题|利用并集性质分析集合包含关系| |根据补集结果求集合或参数|10题|通过补集运算反推原集特征| |交并补混合运算求集合或参数|10题|综合运用三种运算解决复杂问题| |容斥原理的应用|10题|结合实际情境进行集合计数|从数学运算到实际应用，提升应用意识| |集合新定义|10题|理解抽象概念并迁移解决新问题|从已知概念到创新定义，发展推理意识|

专题02 集合运算·交并补·新定义六大参数及新定义问题 题型一 根据交集结果求集合或参数 题型二 根据并集结果求集合或参数 题型三 根据补集结果求集合或参数 题型四 根据交并补混合运算求集合或参数 题型五 容斥原理的应用 题型六 集合新定义 题型一 根据交集结果求集合或参数 1．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 2．已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 3．已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由，则，故， 即的取值范围为. 4．已知、，集合，，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】已知集合，，且，所以，即. 若，则，此时，，与矛盾，舍去. 若，则，此时，，符合条件. 综上所述，. 5．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：C． 6．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 所以. 故选：A． 7．设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为 所以， 即，解得， 所以的取值范围是 （2）因为中整数元素为， 且， 所以中有且仅有3个整数元素，也必是， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 8．设集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1).(2) 【详解】（1）时，集合，因为集合， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，要使得，则，解得. 综上，实数a的取值范围为. 9．已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若且，求的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）当时，集合， 已知集合， ， 或， ． （2）已知且，故，， ，解得， ，故，解得， ，即的取值范围为． 10．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 题型二 根据并集结果求集合或参数 11．已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 12．设 ，若 ，求 的值． 【答案】 【详解】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，． 13．设已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【详解】由，得. ①当时，即，解得，此时，符合题意； ②当时，即， 所以，解得； 所以实数的取值范围是. 14．已知集合，且，则_______． 【答案】1 【详解】因为，所以，即中的所有元素都属于， 因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则集合中的元素不满足互异性， 综上，. 15．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 16．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 17．设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1),(2) 【详解】（1）当时，， 所以， 又， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围. 18．已知集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，， 所以， 又因为或， 所以. （2）因为，所以， 当，即时，，符合题意， 当，即时， 若，则，解得， 综上，的取值范围为. 19．已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题设，显然，又，所以， 所以，解得， 则，因此， 所以，解得， 则，此时，符合题意， 故. （2）若，则， 又，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 当时，，无解. 综上所述，的取值范围是. 20．已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为. 题型三 根据补集结果求集合或参数 21．已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 22．已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 23．设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． 24．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知集合， 由补集的定义可知，即， 因此必有且，解得，故A正确. 25．若全集，则集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，且全集， 所以集合. 26．设全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为全集，集合满足， 所以. 所以. 故选：A. 27．已知全集，且集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由补集的概念可得． 故选：B. 28．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，得， 当时，即时，，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围． （2）由（1）知，当时，，所以，满足； 当或时，，， 由可得，所以． 综上所述，实数的取值范围． 29．已知集合，． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由集合，， 若，可得且，则，解得， 所以，可得． （2）由集合，，， 若，则，解得或， 当时，，满足； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去. 综上所述，实数的值为． 30．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为集合，所以， 又，集合，所以，解得， 所以. （2）因为，所以， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是，即. 题型四 根据交并补混合运算求集合或参数 31．已知全集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由子集和补集定义结合交集定义即可分析求解. 【详解】因为全集为， 所以对任意有，则， 则. 故选：A 32．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， ， 故选：D． 33．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 34．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：， 且，所以. 故选：B. 35．已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 36．已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【详解】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以， 故选：C. 37．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，且， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D 38．已知集合，或，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以或， 因为或，所以， 因为且，所以. 故选：B 39．设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）当时，， 或 或 所以或 （2）因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 40．已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 题型五 容斥原理的应用 41．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 42．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 43．某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 【答案】B 【详解】参加竞赛的总人数：45−15=30（位）， 根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15−30=3（位）. 44．广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【详解】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D 45．某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 46．某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 【答案】B 【详解】设只选择了白色的小朋友有人， 则同时只选择了白色、蓝色这两种颜色的小朋友有人， 只选择了蓝色的小朋友有人， 所以，解得. 故选：B 47．高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【详解】设同时参加的人数有人， 则由容斥原理可得：， 解得， 故选：B. 48．某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为， 则只喜欢篮球的有，只喜欢乒乓球的有， 所以，解得， 所以同时喜欢篮球和乒乓球的人数为10， 故选：B. 49．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人(2)251人(3)84人 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 50．三零二班共50名学生，30位同学准备参加数学和物理竞赛，现在已经完成报名，设是参加数学竞赛的同学是参加物理竞赛的同学是三零二班的同学}. (1)解释集合运算. (2)设参加数学竞赛的有15人，参加物理竞赛的有21人，问：两项竞赛都参加的有多少人？ 【答案】(1)解释见解析(2)6人 【详解】（1）表示同时参加数学竞赛和物理竞赛的同学； 表示参加数学竞赛或物理竞赛的同学； 表示不参加数学竞赛和物理竞赛的同学. （2）设两项竞赛都参加的同学有人，则， 解得，故参加两项竞赛的同学共6人. 题型六 集合新定义 51．在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 52．定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 根据，所以. 53．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得a可能取1，3，5，23，b可能取1，3，5，23， 则可能取2，4，6，24，4，6，8，26，6，8，10，28，24，26，28，46， 由集合的互异性去掉重复的元素，则，则． 54．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【详解】由题意得：，所以. 55．设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 56．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D 57．整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【答案】D 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：，则，，，， ，，， 因为，，所以，所以，故D正确； 故选：D 58．设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 【答案】C 【详解】依题意，元素1同时属于集合和集合，元素中每个元素不能同时属于集合和属于， 因此中每个元素只能属于集合中的一个， 即中每个元素有3种选择情况，则它们共有种选择情况， 所以所有优集的个数为27. 故选：C 59．已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. (1)判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. (2)若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 【答案】(1)集合组1具有性质,集合组2不具有性质. (2)（i）证明见解析;（ii） 【详解】（1）因为， ，， 所以集合组1具有性质； 因为，所以集合组2不具有性质. （2）（i）若，，由抽屉原理，至少有一个集合中含有5个元素， 不妨设，由于，，， 故，. 因此，，矛盾. 故. （ii）当时，设，，，中的元素个数分别为，，，， 则，，，的所有三元子集共有个. （若存在则） 由 ， 知，，，无相同的三元子集. 由共有个不同的三元子集，知. 若存在，，则 ，对任意 ， 由 得 ，于是，矛盾，故所有 . 若，，，均小于等于5，且其中至少有两个为5， 则对应的两个集合有四个相同元素，矛盾. 若，，，均小于等于5，且其中恰有一个为5， 则，，，中1个为5，4个为4，1个为3，，矛盾. 若，，，均小于等于4，则，，，均为4，，矛盾. 综上，又，故. 当时，令，，，， ，，即可. 综上. 60．给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 【答案】(1)故答案不唯一，如 (2)由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． (3)，理由： 记，其中为偶数．不妨假设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解； （2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可； （3）分别分析，，中满足条件的子集个数，类比得出结论即可. 【详解】（1）由题意，或且， 即， 则满足性质T的三元子集不唯一，如. （2）略 （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合运算·交并补·新定义六大参数及新定义问题 题型一 根据交集结果求集合或参数 题型二 根据并集结果求集合或参数 题型三 根据补集结果求集合或参数 题型四 根据交并补混合运算求集合或参数 题型五 容斥原理的应用 题型六 集合新定义 题型一 根据交集结果求集合或参数 1．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 3．已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知、，集合，，若，则（    ） A． B． C．或 D． 5．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 8．设集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 9．已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若且，求的取值范围． 10．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 题型二 根据并集结果求集合或参数 11．已知集合，.若，求m的取值范围. 12．设 ，若 ，求 的值． 13．设已知集合，若，求实数a的取值范围. 14．已知集合，且，则_______． 15．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 16．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 17．设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 18．已知集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 19．已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 20．已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 题型三 根据补集结果求集合或参数 21．已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 22．已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 23．设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 24．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 25．若全集，则集合为（    ） A． B． C． D． 26．设全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 27．已知全集，且集合满足，则（   ） A． B． C． D． 28．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 29．已知集合，． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． 30．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 题型四 根据交并补混合运算求集合或参数 31．已知全集为，则（    ） A． B． C． D． 32．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 33．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 34．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 35．已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 36．已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 37．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．已知集合，或，若且，则（    ） A． B． C． D． 39．设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 40．已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 题型五 容斥原理的应用 41．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 42．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 43．某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 44．广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 45．某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 46．某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 47．高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 48．某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 49．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 50．三零二班共50名学生，30位同学准备参加数学和物理竞赛，现在已经完成报名，设是参加数学竞赛的同学是参加物理竞赛的同学是三零二班的同学}. (1)解释集合运算. (2)设参加数学竞赛的有15人，参加物理竞赛的有21人，问：两项竞赛都参加的有多少人？ 题型六 集合新定义 51．在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 52．定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 53．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 54．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 55．设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 56．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 57．整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 58．设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 59．已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. (1)判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. (2)若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 60．给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合运算·交并补·新定义六大参数及新定义问题 题型一 根据交集结果求集合或参数 题型二 根据并集结果求集合或参数 题型三 根据补集结果求集合或参数 题型四 根据交并补混合运算求集合或参数 题型五 容斥原理的应用 题型六 集合新定义 题型一 根据交集结果求集合或参数 1．AB 2． 3．D 4．B 5．C 6．A 7．(1)(2) 【详解】（1）因为 所以， 即，解得， 所以的取值范围是 （2）因为中整数元素为， 且， 所以中有且仅有3个整数元素，也必是， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 8．(1).(2) 【详解】（1）时，集合，因为集合， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，要使得，则，解得. 综上，实数a的取值范围为. 9．(1)，(2) 【详解】（1）当时，集合， 已知集合， ， 或， ． （2）已知且，故，， ，解得， ，故，解得， ，即的取值范围为． 10．(1)(2)(3) 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 题型二 根据并集结果求集合或参数 11． 12． 13． 14．1 15．B 16．(1) (2) 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 17．(1),(2) 【详解】（1）当时，， 所以， 又， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围. 18．(1)；(2) 【详解】（1）当时，， 所以， 又因为或， 所以. （2）因为，所以， 当，即时，，符合题意， 当，即时， 若，则，解得， 综上，的取值范围为. 19．(1)(2) 【详解】（1）由题设，显然，又，所以， 所以，解得， 则，因此， 所以，解得， 则，此时，符合题意， 故. （2）若，则， 又，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 当时，，无解. 综上所述，的取值范围是. 20．(1)(2) 【详解】（1）因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为. 题型三 根据补集结果求集合或参数 21．B 22．D 23．A 24．A 25．A 26．A 27．B 28．(1)(2) 【详解】（1）由，得， 当时，即时，，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围． （2）由（1）知，当时，，所以，满足； 当或时，，， 由可得，所以． 综上所述，实数的取值范围． 29．(1)(2) 【详解】（1）由集合，， 若，可得且，则，解得， 所以，可得． （2）由集合，，， 若，则，解得或， 当时，，满足； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去. 综上所述，实数的值为． 30．(1)；(2). 【详解】（1）因为集合，所以， 又，集合，所以，解得， 所以. （2）因为，所以， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是，即. 题型四 根据交并补混合运算求集合或参数 31．A 32．D 33．D 34．B 35．D 36．C 37．D 38．B 39．(1)或(2) 40．(1)(2) 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 题型五 容斥原理的应用 41．C 42．D 43．B 44．D 45．A 46．B 47．B 48．B 49．(1)340人(2)251人(3)84人 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 50．(1)解释见解析(2)6人 【详解】（1）表示同时参加数学竞赛和物理竞赛的同学； 表示参加数学竞赛或物理竞赛的同学； 表示不参加数学竞赛和物理竞赛的同学. （2）设两项竞赛都参加的同学有人，则， 解得，故参加两项竞赛的同学共6人. 题型六 集合新定义 51．A 52．B 53．A 54．D 55．C 56．D 57．D 58．C 59．(1)集合组1具有性质,集合组2不具有性质.(2)（i）证明见解析;（ii） 【详解】（1）因为， ，， 所以集合组1具有性质； 因为，所以集合组2不具有性质. （2）（i）若，，由抽屉原理，至少有一个集合中含有5个元素， 不妨设，由于，，， 故，. 因此，，矛盾. 故. （ii）当时，设，，，中的元素个数分别为，，，， 则，，，的所有三元子集共有个. （若存在则） 由 ， 知，，，无相同的三元子集. 由共有个不同的三元子集，知. 若存在，，则 ，对任意 ， 由 得 ，于是，矛盾，故所有 . 若，，，均小于等于5，且其中至少有两个为5， 则对应的两个集合有四个相同元素，矛盾. 若，，，均小于等于5，且其中恰有一个为5， 则，，，中1个为5，4个为4，1个为3，，矛盾. 若，，，均小于等于4，则，，，均为4，，矛盾. 综上，又，故. 当时，令，，，， ，，即可. 综上. 60．(1)故答案不唯一，如 (2)由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． (3)，理由： 记，其中为偶数．不妨假设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 【详解】（1）由题意，或且， 即， 则满足性质T的三元子集不唯一，如. （2）略 （3）略 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $