25.3 实际问题与一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档提升、综合拓展三层设计，覆盖一元二次方程实际应用全场景，梯度递进培养数学建模与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一实际问题模型（传播、增长率、握手问题等）|直接应用核心公式，如单选1-8、填空11-14对应基础知识点| |中档|复杂情境与动态问题（动态几何、黄金分割）|融入图形与运动元素，如单选9动态几何、填空15溶液稀释问题| |提升|多步骤综合应用（营销决策、面积最值）|结合生活实际与二次函数，如解答19面积最值、20营销利润问题|

25.3 实际问题与一元二次方程 同步练习2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，在病毒传播中，每轮平均1人会感染x个人，若2个人患病，则经过两轮感染就共有162人患病．求x的值（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．为促进消费，国家财政部门对家电类商品消费提供了财政补贴，某电器超级体验店的销售额逐步增加：7月的销售额为144万元，8月、9月的月增长率相同，9月的销售额为225万元．设8月、9月的月增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 3．中国声谷是合肥高新区的国家级人工智能产业基地，是合肥“科创名城”的核心名片．在2025年“中国声谷杯”全国大学生人工智能创新大赛的初赛阶段，参赛的每两个队伍之间都需要进行一场项目路演答辩（单循环赛制），共进行了105场比拼．设共有个队伍参加初赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 4．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的价格为6210文．如果每株椽的运费为3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价格．问6210文能买多少株椽．设这批椽的数量为株，则的值为（   ） A．45 B．46 C．47 D．48 5．某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 6．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 7．为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 8．某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价（    ） A．5元 B．15元 C．5元或10元 D．5元或15元 9．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 10．已知正实数a，b，c满足（均不为整数），且．在a，b之间所有的整数依次记为，，，…，；在b，c之间所有的整数依次记为，，，…，，其中m，n为正整数，且．下列说法： ①当时，c的取值范围为：，且； ②a，c之间共有6个整数； ③若（k为正整数），，则． 其中正确的个数是（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．在一幅长为，宽为的矩形挂画四周镶上相同宽度的金色纸边，设金色纸边的宽为，如果要使镶边后整个挂画的面积是，那么满足的方程是_____． 12．九（1）班开学第一节课，班主任编排了新的学习小组，组长为了让小组成员能快速熟悉起来，要求每两人都相互握一次手，据统计，追梦小组一共握手次，则追梦小组的人数是___________． 13．如图1，在线段上找一个点，把分成和两段，其中是较小的一段，满足，则为线段的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，为的黄金分割点（），长度为，则的长度为________．（结果用根号表示） 14．有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 15．一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是，则每次倒出的液体是______． 三、解答题 16．阅读下面内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为n（n－3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程n（n－3）＝20．解得n＝8或n＝－5（舍去），∴这个n边形是八边形．根据以上内容，问： (1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数； (2)小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？ 17．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题： （1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个． （2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理． 18．如图，某班级矩形劳动实践基地的长、宽分别为、．由于劳动社团人数增多，现计划将其扩充为一个新的矩形劳动实践基地，且基地的长、宽均增加相同的长度（设为x，且）． (1)亮亮说：“新旧基地的面积差为平方米．”他的说法 ；（填“正确”或“错误”） (2)若新基地面积为，求x． 19．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为．    (1)求y与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ (3)当x取何值时，y有最大值？并求出最大值． 20．某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． (1)按要求填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①__________ 60 销售量（件） 200 ②__________ ③__________ (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B B C B C B B 1．【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】若2个人患病，则第一轮传染中感染2x人，第二轮传染中感染x（2+2x）人，根据“若2个人患病，则经过两轮感染就共有162人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：若2个人患病，则第一轮传染中感染2x人，第二轮传染中感染x（2+2x）人， 依题意得：2+2x+x（2+2x）=162， 即， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴x的值为8． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系列式是关键． 根据月增长率相同，9月销售额是7月销售额经过两次增长的结果，因此应用增长公式列方程． 【详解】解：设月增长率为x， ∵ 8月销售额为， 9月销售额为， 又∵ 9月销售额为万元， ∴ ， 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】根据实际问题列一元二次方程． 【详解】解：∵共有个队伍参加比赛，单循环赛制中每个队伍需要和除自身外的个队伍各比赛一场， 又∵每场比赛由2个队伍共同参与，直接计算会重复计算每一场比赛， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可得方程． 4．【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找未知量与已知量之间的等量关系是解题的关键. 设这批椽的数量为株,少拿株后，那么剩下的株的运费为文，这恰好等于一株椽的价格． 则总价格6210文等于椽的数量乘以每株的价格，由此建立方程求解． 【详解】设这批椽的数量为株,一株椽的价格为文． 由题意: 整理得:， 解得：(舍去)． 因此,的值为46． 故选：B． 5．【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 6．【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据图形确定圆的半径与正方形边长的关系，利用“绿植面积圆面积正方形面积”列出方程即可． 【详解】解：设正方形水池的边长为米， 水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半， 圆的半径． 绿植部分的面积为平方米， 圆面积正方形面积， 即． 8．【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设涨价元，根据单个利润销售量每天盈利，列出一元二次方程，求解即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设涨价元， 由题意可得：， 解得或， ∴现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价5元或10元， 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 10．【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键． 根据题意及不等式性质即可判断①；结合不等式性质即可判断②；根据题意得出a，c之间共有个或个整数，分三种情况：当时，当时，当时，分别根据题意列出一元二次方程，再计算即可． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∵正实数a，b，c满足（均不为整数）， ∴，故①正确； ②， ∴， ∴a，c之间共有个或个整数，故②错误； ∵若（k为正整数），，， ∴当时， a，c之间有个整数， 则a，b之间的个整数设为，，， b，c之间的个整数为，，，， ， 或． 当a、c上有个整数，，无整数解． 当时，a、c间有个整数， 则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，，， ， 或， 当，a、c间有个整数时， 则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解； 当时， 则a，b之间的个整数设为，，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解 或，无整数解 当时， 则a，b之间的个整数设为，，，，，， b，c之间的个整数为， ，无解． 综上所述，或或， 则或或． ，或 是正整数． ，故③错误； 故选：B． 11．【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽为，根据整个挂图的面积是列出方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽为， 根据题意得：， 故答案为：． 12．【答案】6 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意并正确列出方程是解题的关键． 设追梦小组的人数为，握手问题中，每两人握一次手，握手总次数为，令其等于，建立方程求解即可． 【详解】解：设追梦小组的人数为， 根据题意得：， 解得或（舍去，因为人数不能为负数）， 故追梦小组的人数为6人． 故答案为6． 13．【答案】 【知识点】等式的性质2、其他问题(一元二次方程的应用)、公式法解一元二次方程、黄金分割 【分析】设的长度为，则可根据黄金分割的含义列出比例式，进而整理出关于的一元二次方程，解方程即可求得的长度． 【详解】解：设的长度为， 长度为， ， 又图中点为的黄金分割点（）， ， 即：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，故舍去）， ， 即：的长度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，一元二次方程的应用，等式的性质，公式法解一元二次方程等知识点，正确理解黄金分割的含义并列出方程是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法．根据题意列出方程，解方程后根据正数条件确定解． 【详解】解：由题意，得． 整理得． 解得． 因为是正数， 所以． 故答案为：． 15．【答案】21L 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，设每次倒出的液体是，根据连续倒出两次后容器内剩下的纯药液是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每次倒出的液体是， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：． 16．【答案】(1)6 (2)错误， 理由如下：由题可得n（n－3）＝10， 解得n＝， ∴符合方程的正整数n不存在， ∴n边形不可能有10条对角线， 故小明的说法不正确． 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）利用题中给出的对角线条数公式即可求解； （2）利用题中给出的对角线条数公式列出一元二次方程，求解方程的根，根据方程是否有正整数解来判断即可． 【详解】（1）设这个多边形的边数是n，则n（n－3）＝9， 解得n＝6或n＝－3（舍去）． ∴这个多边形的边数是6； （2）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，通过方程是否有正整数解来判断是否存在有10条对角线的多边形是解答本题的关键． 17．【答案】（1）15； （2）不能，理由如下： 第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=， 根据题意，得， 解得：不是整数，不合题意， 所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个． 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)、图形类规律探索 【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个； （2）根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为，即可求解． 【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15， 故答案是：15； （2）略 【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n个图形黑色三角的个数为是解题的关键． 18．【答案】(1)错误 (2) 【知识点】整式加减的应用、列代数式、多项式乘多项式与图形面积、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，整式加减的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列式是解题关键． （1）由题意可知，新基地的长、宽分别为、，进而得到新基地的面积，再与旧基地的面积作差即可； （2）结合（1）所得新基地的面积的式子，列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，新基地的长、宽分别为、， 则新基地的面积为， 旧基地的面积为， 新旧基地的面积差为平方米， 亮亮的说法是错误的， 故答案为：错误； （2）解：由（1）可得：， 解得：，（舍）， 即． 19．【答案】(1) (2) (3)当时面积最大，最大面积为 【知识点】面积问题(二次函数综合)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． （1）利用矩形面积公式建立函数关系式即可； （2）利用（1）解析式，当时，解一元二次方程求解，并使求的得解使小于等于； （3）利用（1）中解析式，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，， 解此方程得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （3）解：， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 20．【答案】(1)填表如下： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 60 销售量（件） 200 (2)95元或85元 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意用含的代数式表示即可； （2）利用“获利8750元”，即销售额成本利润，作为相等关系列方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设第二个月单价降低元， ∴第二个月的单价为元，销售量为件， 清仓时销售量为件； 表格见答案； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，； 当时，； 答：第二个月的单价应该是95元或85元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $