25.3 实际问题与一元二次方程 课时同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，通过基础、中档、综合三层设计，覆盖12类典型问题，实现从模型构建到综合决策的知识巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单循环赛事、连续增长率等单一模型|以选择填空为主，直接应用公式，强化概念理解| |中档|十字步道、溶液稀释等复杂情境|引入图形情境，需转化数量关系，提升几何直观| |综合|利润方案、动态几何等多步骤问题|设置开放性决策（如方案取舍），培养推理能力与应用意识|

25.3 实际问题与一元二次方程 课时同步训练 （总分：100 分 时间：45 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【考点：单循环赛事场次列方程】某校秋季校园辩论赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），计划安排 21 场比赛，设参赛队伍有支，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 2．【考点：连续产值增长率列方程】某乡村振兴示范村 2026 年特色农产品产值为 100 万元，预计 2028 年产值达到 144 万元，设每年产值的平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 3．【考点：靠墙矩形围栏面积列方程】农户用一段长 30m 的篱笆靠墙围成一个矩形蔬菜大棚，墙长为 18m，设大棚垂直于墙的一边长为 m，若大棚面积为，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 4．【考点：微生物两轮繁殖列方程】生物实验室中某种细菌繁殖速度稳定，若 1 个细菌经过两轮繁殖后共有 169 个细菌，设每轮繁殖中平均 1 个细菌繁殖个新细菌，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 5．【考点：两位数数字关系列方程】一个两位数，个位数字比十位数字大 3，且个位数字与十位数字的乘积等于这个两位数的，设十位数字为，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 6．【考点：行程提速时间差列方程】小明从家骑行到航天科普馆，全程 30km，返程时平均速度比去时快 5km/h，结果返程时间比去时少用 30 分钟。设去时的平均速度为 km/h，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 7．【考点：矩形内部十字步道列方程】在一块长 22m、宽 16m 的矩形劳动实践基地上修建三条同样宽的步道，两条纵向、一条横向，步道互相垂直，余下部分种植蔬菜，若蔬菜种植总面积为，设步道的宽为 m，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 8．【考点：四角裁剪无盖盒列方程】将一块长 30cm、宽 20cm 的矩形文创纸板，在四个角各剪去一个边长为 cm 的正方形，剩余部分折成一个无盖的月饼包装盒，若盒子的底面积为，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 9．【考点：工程效率提升工期列方程】某工程队承接了老旧小区 1200m 的管网改造任务，实际施工时每天的工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 2 天完成任务，设原计划每天铺设 m，下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 10．【考点：商品调价利润列方程】某文具店购进一批校园文创书签，进价为每枚 5 元，售价为每枚 15 元时，每天可售出 40 枚。已知售价每降低 1 元，每天销量增加 8 枚。设每枚书签降价元，若每天获利 432 元，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 10．【考点：双循环赛事场次计算】县域校园足球邀请赛采用主客场双循环赛制（每两队之间都赛两场），全程共要进行 72 场比赛，则参赛队伍共有 支。 12．【考点：直角三角形边长与面积计算】一个直角三角形的两条直角边长度之和为 14cm，斜边长为 10cm，则该直角三角形的面积为 。 13．【考点：年龄平方关系列方程】已知父亲今年的年龄是儿子的 3 倍，5 年后父亲年龄的平方比儿子年龄的平方大 520，设儿子今年岁，根据题意列方程为 。 14．【考点：溶液反复稀释列方程】一个容器盛满纯酒精 50L，第一次倒出一部分纯酒精后用水加满，第二次又倒出同样多的酒精溶液，再用水加满，这时容器内的溶液含纯酒精 32L，设每次倒出溶液 L，根据题意可列方程为 。 15．【考点：矩形外围镶边宽度计算】一幅长 80cm、宽 50cm 的航天主题宣传海报，要在四周镶一条等宽的金色纸边，制成矩形挂图，若整个挂图的面积为，则纸边的宽为 cm。 16．【考点：连续成本下降率计算】某国产电子元件经过连续两次技术升级，单件生产成本由原来的 25 元降到了 16 元，则平均每次成本下降的百分率为 。 三、综合解答题（本大题共 4 小题，共 52 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 17．【考点：销售利润综合求解与方案取舍】（12 分）某商店购进一批文创笔记本，进价为每本 10 元，售价为每本 30 元时，每天可售出 20 本。根据销售经验，售价每降低 1 元，每天的销售量就会增加 2 本。 （1）若设每本笔记本降价元，用含的代数式表示每天的销售量；（3 分） （2）若商店想要每天获得 448 元的销售利润，且尽可能让利于顾客，求每本笔记本的售价应定为多少元？（9 分） 18．【考点：“日” 字形围栏面积求解与限制取舍】（12 分）某生态农场计划用总长为 40m 的篱笆围成一个 “日” 字形的矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长为 16m），中间用一道篱笆隔开，分成两个大小相同的矩形区域。设垂直于墙的一边长为 m。 （1）用含的代数式表示养鸡场的总面积；（4 分） （2）若养鸡场的总面积为，求垂直于墙的一边的长度。（8 分） 19．【考点：增长率方案对比与决策】（14 分）某县域制造业工厂 2026 年的产值为 200 万元，计划通过技术升级实现产值增长，现有两种方案可供选择： 方案一：连续两年产值的年平均增长率相同，预计 2028 年产值达到 288 万元； 方案二：2027 年的年增长率比方案一的年增长率高 5 个百分点，2028 年的年增长率比方案一的年增长率低 5 个百分点。 （1）求方案一中每年的年平均增长率；（6 分） （2）通过计算判断，方案二 2028 年的产值能否达到 288 万元？（8 分） 20．【考点：动态几何面积存在性判断】（14 分）在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，点从点出发，沿边向点以的速度移动。若、两点同时出发，设移动时间为秒（）。 （1）用含的代数式表示的面积；（4 分） （2）是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。（10 分） 参考答案与逐题详细解析 一、选择题 1．答案：C 解析：单循环赛制中，每支队伍要和其余支队伍各赛一场，总场次需除以 2 避免重复计数，因此总场次为。已知计划安排 21 场比赛，列方程为。 易错点：易误选 A，忽略单循环中两队之间仅赛一场，需除以 2。 核心知识点：单循环比赛场次的计数模型。 2．答案：B 解析：2026 年产值为 100 万元，年平均增长率为，则 2027 年产值为万元，2028 年产值在 2027 年基础上再增长，即万元。已知 2028 年产值目标为 144 万元，列方程为。 易错点：易误选 A，错误认为两次增长总量为，忽略复利增长的基数逐期变化。 核心知识点：连续增长率基本模型。 3．答案：C 解析：垂直于墙的一边长为 m，则平行于墙的一边长为m（篱笆总长包含两条垂直边与一条平行边）。矩形面积 = 长 × 宽，因此面积方程为。 易错点：易误选 A，忽略靠墙一侧无需篱笆，误将平行边长度写为。 核心知识点：一边靠墙的矩形围栏面积模型。 4．答案：A 解析：初始 1 个细菌，第一轮繁殖后共有个；第二轮中每个细菌再繁殖个，因此第二轮后总数量为个。已知两轮后共 169 个细菌，列方程为。 易错点：易误选 B，错误理解繁殖模型，忽略每轮繁殖的基数为上一轮总数量。 核心知识点：分支繁殖问题的指数增长模型。 5．答案：A 解析：十位数字为，则个位数字为，该两位数可表示为。根据 “个位与十位数字的乘积等于两位数的”，列方程。 易错点：易误选 C，忽略两位数的数位表示规则，误将两位数直接写为。 核心知识点：两位数的数位表示与数字关系建模。 6．答案：A 解析：去时平均速度为 km/h，去时用时为小时；返程速度为 km/h，返程用时为小时。根据 “返程比去时少用 30 分钟（0.5 小时）”，即去时时间 - 返程时间 = 0.5，列方程为。 易错点：易搞反时间差方向，或未将时间单位统一为小时。 核心知识点：行程问题中速度变化与时间差的建模。 7．答案：B 解析：利用平移法将蔬菜种植区域向中间拼接，可形成一个新矩形。两条纵向步道共占宽度，因此新矩形长为m；一条横向步道占宽度，因此新矩形宽为m。蔬菜面积等于新矩形面积，列方程为。 易错点：易误选 D，直接用总面积减三条步道面积会重复减去交叉重叠部分，导致方程错误。 核心知识点：矩形内部等宽道路的平移法面积模型。 8．答案：B 解析：四个角各剪去边长为的正方形后，折成的无盖盒子底面长为cm，宽为cm（两侧各剪去一个正方形，长宽均减少）。底面积 = 长 × 宽，列方程为。 易错点：易误选 A，忽略每条边有两个角，长度应减少而非。 核心知识点：四角裁剪折无盖长方体的底面积模型。 9．答案：A 解析：原计划每天铺设 m，原计划总工期为天；实际效率提高 20%，即每天铺设 m，实际总工期为天。根据 “提前 2 天完成”，即原计划时间 - 实际时间 = 2，列方程为。 易错点：易误选 B，搞反时间差方向，效率提升后用时更短，原计划时间更长。 核心知识点：工程问题中效率变化与工期差的建模。 10．答案：B 解析：每枚书签降价元，则实际售价为元，单枚利润为元；销量随降价增加，每天销量为枚。根据 “总利润 = 单枚利润 × 销售量”，列方程为。 易错点：易误选 A，忽略利润需扣除进价，误将售价直接当作利润。 核心知识点：商品销售利润的基本建模。 二、填空题 11．答案：9 解析：双循环赛制中，每两队之间赛两场，总场次为。令，整理得，解得，（舍去），因此参赛队伍共有 9 支。 易错点：易混淆单循环与双循环公式，双循环无需除以 2。 核心知识点：双循环比赛场次的计数模型。 12．答案：24 解析：设一条直角边长为 cm，则另一条直角边长为cm。由勾股定理得，整理得，解得，，即两条直角边为 6cm 和 8cm。面积。 易错点：易直接用边长和与斜边计算面积，忽略勾股定理的约束。 核心知识点：直角三角形勾股定理与面积计算。 13．答案： 解析：儿子今年岁，则父亲今年岁；5 年后儿子岁，父亲岁。根据 “5 年后父亲年龄的平方比儿子大 520”，列方程为。 易错点：易忽略 5 年后两人年龄均需加 5，误写为。 核心知识点：年龄问题的平方数量关系建模。 14．答案：（或等价形式） 解析：第一次倒出 L 纯酒精后，剩余纯酒精L，加满水后浓度为；第二次倒出 L 溶液，其中含纯酒精 L，最终剩余纯酒精为 L。已知剩余纯酒精 32L，列方程为。 易错点：易误认两次倒出的纯酒精量相同，忽略第二次倒出的是稀释后溶液。 核心知识点：溶液反复稀释的浓度变化模型。 15．答案：5 解析：设纸边宽为 cm，挂图长为cm，宽为cm，根据总面积列方程，整理得，解得，（舍去），因此纸边宽为 5cm。 易错点：易误写为，忽略两侧均有纸边，长宽应各加。 核心知识点：矩形外部镶边的面积计算。 16．答案：20% 解析：设平均每次成本下降的百分率为，根据连续下降模型列方程，解得，即（下降率小于 1，舍去负根），。 易错点：易混淆下降率与增长率的符号，或直接用差值除以 2 计算。 核心知识点：连续下降率的实际计算。 三、综合解答题 17．答案：（1）本；（2）售价应定为 24 元 解析：（1）售价每降低 1 元，销量增加 2 本，降价元则销量增加本，因此每天的销售量为本。（3 分） （2）每本笔记本实际售价为元，单本利润为元。 根据 “总利润 = 单本利润 × 销售量” 列方程： （6 分） 展开整理得： 因式分解得： 解得：，。（8 分） 因需尽可能让利于顾客，选择降价幅度更大的方案，即。 此时售价为元。（11 分） 答：每本笔记本的售价应定为 24 元。（12 分） 易错点：易忽略 “让利于顾客” 的取舍条件，或混淆售价、进价与利润的关系。 核心知识点：销售利润问题的综合求解与实际根的取舍。 18．答案：（1）；（2）垂直于墙的一边长为 8m 解析：（1）垂直于墙的边长为 m，共有 3 条垂直边，因此平行于墙的边长为m。 养鸡场总面积 = 垂直边长 × 平行边长 = 。（4 分） （2）根据题意列方程： （7 分） 整理得： 判别式 解得：，即，。（10 分） 由墙长 16m，得平行边长度需满足，解得。 当时，，超出墙长限制，舍去； 当时，，符合墙长限制。 因此垂直于墙的一边长为 8m。（12 分） 易错点：易忽略墙长限制条件，未对根进行实际意义检验；或误将平行边长度写为。 核心知识点：分隔型矩形围栏面积求解与实际约束取舍。 19．答案：（1）年平均增长率为 20%；（2）方案二不能达到 288 万元 解析：（1）设方案一中每年的年平均增长率为，根据题意列方程： （3 分） 两边除以 200 得： 开方得： 因增长率为正，故，解得。（6 分） 答：方案一中每年的年平均增长率为 20%。 （2）方案二中，2027 年增长率为，2028 年增长率为。（10 分） 则 2028 年产值为： （万元）（12 分） 因，故方案二 2028 年的产值不能达到 288 万元。（14 分） 易错点：易混淆 “百分点” 与 “百分率”，误将增长率计算为；或默认一增一减相互抵消。 核心知识点：连续增长率计算与方案对比决策。 20．答案：（1）；（2）不存在，理由见解析 解析：（1）由题意得：，， 则。（2 分） 为直角三角形，面积： 。（4 分） （2）矩形的面积为， 其的面积为。（7 分） 令，整理得： （10 分） 判别式， 因此该一元二次方程无实数根。（12 分） 即不存在这样的时刻，使得的面积等于矩形面积的。（14 分） 易错点：易错误表示线段长度，或默认存在性直接解方程，忽略判别式检验。 核心知识点：动态几何面积表示与一元二次方程根的判别式应用。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $