第23讲、正切函数的性质与图象 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦正切函数的性质与图象核心知识点，先系统梳理正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，再延伸至正切型函数，通过整体思想分析其定义域、周期、单调区间等，构建三角函数学习的递进式支架。 该资料题型丰富分层，涵盖定义域、单调性、周期性等九类题型，注重数学思维的推理能力与数学语言的模型意识培养，如通过整体代换解决正切型函数问题。课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

第24讲、正切函数的性质与图象 目录 知识点1 正切函数的图象与性质 2 知识点2 正切型函数 2 题型一 正切型函数的定义域问题 3 题型二 正切函数的单调性与最值(值域) 3 题型三 正切型函数的周期性及应用 4 题型四 正切型函数的奇偶性及应用 5 题型五 正切型函数的对称性及应用 7 题型六 正切型函数的单调性及应用 7 题型七 比较正切函数值的大小 9 题型八 利用正切函数解不等式 10 题型九 正切函数图象与性质的综合应用 12 01 学习新知 知识点1 正切函数的图象与性质 1、定义域：， 2、值域：R 3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：正切函数是奇函数，即． 5、单调性：在开区间内，函数单调递增 知识点2 正切型函数 形如的函数叫做正切型函数. 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、最小正周期： 4、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 02 经典题型 题型一 正切型函数的定义域问题 1. 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 所以函数的定义域是.故选：A. 2. 函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由正切函数的定义域可得，，，得，， 故函数的定义域为. 题型二 正切函数的单调性与最值(值域) 3. 已知函数f(x)=3tan，求f(x)的最小正周期和单调递减区间； 解　(1)因为f(x)=3tan=-3tan 所以f(x)的最小正周期T==4π. 由kπ-<kπ+k∈Z)，得4kπ-<x<4kπ+k∈Z). 因为y=3tank∈Z)上单调递增， 所以f(x)的单调递减区间为k∈Z). 4. 函数f(x)=3tanx∈的值域为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵x∈∴2x+ ∴tan ∴f(x)=3tanx∈的值域为3. 5. 函数y=tan2x-2tan x+2的最小值为　　　　. 答案　1 解析　y=(tan x-1)2+1，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数取最小值为1. 题型三 正切型函数的周期性及应用 6. 函数f(x)=2tan的最小正周期为(　　) A. B.π C.2π D.4π 答案　C 解析　函数f(x)=2tan的最小正周期为=2π. 7. 函数f(x)=tan的最小正周期为(　　) A. B. C.π D.2π 答案　A 解析　方法一　T=. 方法二　f(x)=tan=tan =tan=f ∴T=. 8. 函数的相邻两个零点之间的距离为（    ） A． B．6 C． D．12 【答案】B 【解析】由正切函数的图象可知， 函数的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期， 又最小正周期为， 所以函数的相邻两个零点之间的距离为.故选：B. 9. 若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【解析】由题意知的最小正周期为， 且， 故，故选：C 题型四 正切型函数的奇偶性及应用 10. f(x)=tan2x是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　B 解析　f(x)=tan2x的定义域为关于原点对称， 又f(-x)=[tan(-x)]2=(-tan x)2=tan2x， ∴f(-x)=f(x).∴f(x)是偶函数. 11. 函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【解析】由解得, 的定义域是，的定义域关于原点对称. ，所以是偶函数，由此排除BD选项. ，所以的一个周期为，A选项正确. ， 所以不是的周期，所以C选项错误.故选：A 12. 已知，，则的值为（    ） A．-13 B．13 C．7 D．-7 【答案】A 【解析】根据题意可令， 则， 所以为奇函数，即， 因为，所以， 又因为，所以.故选：A． 题型五 正切型函数的对称性及应用 13. 函数y=tan的一个对称中心是(　　) A.(0，0) B. C. D.(π，0) 答案　C 解析　令x+k∈Z，得x=k∈Z， 所以函数y=tan的对称中心是k∈Z.令k=2， 可得函数的一个对称中心为. 14. 函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】因为的图象关于点中心对称， 所以，解得， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 题型六 正切型函数的单调性及应用 15. 函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得， 所以函数的单调递增区间为.故选：C 16. 函数包含的一个严格增区间是 ． 【答案】 【解析】令，解得， 可知函数严格增区间是， 又因为包含， 可知，所以函数包含的一个严格增区间是. 故答案为：. 17. 已知函数在上是增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意，，解得，又，则； 当，， 由题可得，解得； 综上所述，的取值范围是. 题型七 比较正切函数值的大小 18. 比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： (1)tan　　　　tan；  (2)tan　　　　tan. 答案　(1)<　(2)< 解析　(1)tan=tan且0< 又y=tan x在上单调递增， 所以tan<tan即tan<tan. (2)tan=tantan=tan 因为0< 又y=tan x在上单调递增， 所以tan<tan则tan<tan. 19. 下列各组中两个值大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于选项A、B：由正切函数的单调性可得，， 则A正确，B错误； 对于选项C：， 则根据正弦函数的单调性可得，则C错误； 对于选项D：根据余弦函数的单调性可得，则D错误；故选：A. 20. 下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A中，由，且，由正切函数性质， 可得，且， 所以，所以，所以A不正确； 对于B中，由， 由正切函数单调性可得，即，所以B错误； 对于C中，由正切函数在上为单调递增函数， 因为，所以，所以C正确； 对于D中，由，由正切函数的单调性，可得， 即，所以D错误.故选：C. 题型八 利用正切函数解不等式 21. 已知，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由可得， 又因为在上单调递增，且， 所以的取值范围为. 22. 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作函数的图象，作函数的图象， 观察图象可得当时，， 即时，不等式的解集为， 又正切函数为周期函数，周期为， 所以不等式的解集为，故选：D. 23. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，得，解得， 所以不等式的解集为.故选：A 题型九 正切函数图象与性质的综合应用 24. (多选)下列关于函数y=tan的说法不正确的是(　　) A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点对称 D.图象关于直线x=对称 答案　ACD 解析　令kπ-<x+<kπ+k∈Z，解得kπ-<x<kπ+k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x+k∈Z，解得x=k∈Z，任取k值不能得到x=故C错误；正切函数图象没有对称轴，因此函数y=tan的图象也没有对称轴，故D错误. 25. 设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 解　(1)由+kπ(k∈Z)，得x≠+2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是. 因为ω=所以最小正周期T==2π. 由-+kπ<+kπ(k∈Z)，得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z). 所以函数f(x)的单调递增区间是k∈Z)，无单调递减区间. 由k∈Z)，得x=kπ+k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心是k∈Z). (2)由-1≤tan得-+kπ≤+kπ(k∈Z)， 解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z). 所以不等式-1≤f(x)≤的解集是. 26. 画出函数y=|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 解　由y=|tan x|， 得y= 画出其图象，如图所示， 由图象可知，函数y=|tan x|的定义域为 值域为[0，+∞)，是偶函数， 函数y=|tan x|的周期T=π， 函数y=|tan x|的单调递增区间为k∈Z， 单调递减区间为k∈Z. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲、正切函数的性质与图象 目录 知识点1 正切函数的图象与性质 2 知识点2 正切型函数 2 题型一 正切型函数的定义域问题 3 题型二 正切函数的单调性与最值(值域) 3 题型三 正切型函数的周期性及应用 4 题型四 正切型函数的奇偶性及应用 4 题型五 正切型函数的对称性及应用 5 题型六 正切型函数的单调性及应用 5 题型七 比较正切函数值的大小 6 题型八 利用正切函数解不等式 6 题型九 正切函数图象与性质的综合应用 7 01 学习新知 知识点1 正切函数的图象与性质 1、定义域：， 2、值域：R 3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：正切函数是奇函数，即． 5、单调性：在开区间内，函数单调递增 知识点2 正切型函数 形如的函数叫做正切型函数. 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、最小正周期： 4、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 02 经典题型 题型一 正切型函数的定义域问题 1. 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2. 函数的定义域是 . 题型二 正切函数的单调性与最值(值域) 3. 已知函数f(x)=3tan，求f(x)的最小正周期和单调递减区间； 4. 函数f(x)=3tanx∈的值域为(　　) A. B. C. D. 5. 函数y=tan2x-2tan x+2的最小值为　　　　. 题型三 正切型函数的周期性及应用 6. 函数f(x)=2tan的最小正周期为(　　) A. B.π C.2π D.4π 7. 函数f(x)=tan的最小正周期为(　　) A. B. C.π D.2π 8. 函数的相邻两个零点之间的距离为（    ） A． B．6 C． D．12 9. 若，则（    ） A． B． C．0 D． 题型四 正切型函数的奇偶性及应用 10. f(x)=tan2x是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 11. 函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 12. 已知，，则的值为（    ） A．-13 B．13 C．7 D．-7 题型五 正切型函数的对称性及应用 13. 函数y=tan的一个对称中心是(　　) A.(0，0) B. C. D.(π，0) 14. 函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为 . 题型六 正切型函数的单调性及应用 15. 函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 16. 函数包含的一个严格增区间是 ． 17. 已知函数在上是增函数，则的取值范围是 . 题型七 比较正切函数值的大小 18. 比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： (1)tan　　　　tan；  (2)tan　　　　tan. 19. 下列各组中两个值大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 20. 下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八 利用正切函数解不等式 21. 已知，且，则的取值范围为 ． 22. 的解集为（    ） A． B． C． D． 23. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型九 正切函数图象与性质的综合应用 24. (多选)下列关于函数y=tan的说法不正确的是(　　) A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点对称 D.图象关于直线x=对称 25. 设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 26. 画出函数y=|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 2 学科网（北京）股份有限公司 $