14.2 三角形全等的判定（课时4） 学案 2026-2027学年 人教版 八年级数学上册

该初中数学学案聚焦“三角形全等的判定（课时4）”核心知识点，围绕尺规作图展开，涵盖作等角（SSS依据）、过线外一点作平行线（转化思想）、已知两边及夹角作三角形（SAS依据）。知识梳理从工具（直尺、圆规）入手，分步骤呈现作图方法及依据，搭建从工具到操作的学习支架，衔接全等判定定理，形成完整知识脉络。 该资料亮点在于通过课堂探究（如SSS适用性、平行线作图原理）培养推理意识，巩固练习分层设计（基础到提升），结合作图规范与证明，发展抽象能力和应用意识。注重转化思想渗透，引导学生用数学思维理解作图本质，提升数学语言表达（规范步骤书写），助力核心素养落地。

14.2 三角形全等的判定（课时4）学案 一、学习目标 1. 了解尺规作图的基本工具及其使用规则，理解尺规作图的意义。 2. 掌握用尺规作一个角等于已知角的方法，理解其依据是SSS判定定理。 3. 掌握过直线外一点作已知直线的平行线的方法，体会转化思想。 4. 掌握已知两边及夹角作三角形的方法，理解其依据是SAS判定定理。 5. 能规范地书写作图步骤，保留作图痕迹，并能对作图结果进行证明。 二、知识梳理 （一）尺规作图工具 1. 直尺： 作用：画直线、连接两点。 注意：直尺上不能带有刻度，不能用来测量长度。 2. 圆规： 作用：量取已知线段的长度，以定点为圆心、定长为半径画弧或圆。 注意：圆规两脚间的距离等于所量取的线段长度。 （二）作一个角等于已知角 已知：角∠α 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠α 作法： （1）以O为圆心，__________为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N。 （2）画射线O′A′，以__________为圆心，__________为半径画弧，交O′A′于点M′。 （3）以__________为圆心，__________为半径画弧，与（2）中所画弧相交于点N′。 （4）过点__________画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求。 依据：由作图可知OM=O′M′，ON=O′N′，MN=M′N′，所以 （__________），故∠AOB=∠A′O′B′。 （三）过直线外一点作平行线 已知：直线AB及直线AB外一点P。 求作：过点P作CD∥AB。 思路：利用平行线的判定定理，通过作__________角相等来实现。 作法： （1）过点P任作一条直线，交AB于点Q。 （2）以点Q为顶点，利用作等角的方法，在点P处作一个角，使其与∠PQB构成__________角且相等。 （3）延长所作角的另一边，即得所求平行线。 依据：__________相等，两直线平行。 （四）已知两边及夹角作三角形 已知：线段a、b及角α。 求作：，使AB=a，∠A=α，AC=b 作法： （1）先作∠__________=∠α。 （2）在角的一边上截取__________=a。 （3）在角的另一边上截取__________=b。 （4）连接__________，则△ABC即为所求。 依据：__________判定定理。 三、课堂探究 探究一：作一个角等于已知角 问题：为什么作一个角等于已知角要用到SSS判定定理？能否用SAS或ASA来实现？ 思考提示： （1）若用SAS，需要已知两边及夹角，但这里只有已知角，无法直接确定夹角两边的长度。 （2）若用ASA，需要已知两角及夹边，条件不足。 （3）SSS只需构造三边对应相等，而三边长度可以通过圆规任意截取得到，因此SSS是最合适的选择。 结论：作一个角等于已知角，实质是构造两个三边对应相等的三角形，利用SSS证明全等，从而得到对应角相等。 探究二：平行线作图的原理 问题：过直线外一点作平行线，为什么可以通过作等角来实现？ 分析： （1）若所作的同位角等于已知角，则根据"同位角相等，两直线平行"，可判定所作直线与已知直线平行。 （2）这体现了数学中的__________思想：将平行问题转化为角相等的问题。 （3）作等角的方法又依赖于SSS全等判定，因此平行线作图是全等三角形知识的综合应用。 结论：平行线作图的核心是"作等角"，而"作等角"的核心是"构造全等三角形"。 探究三：SAS作图的顺序 问题：已知两边及夹角作三角形时，为什么第一步要先作角，而不是先作边？ 分析： （1）若先作边AB=a，由于∠A的位置不确定，无法确定另一边AC的方向。 （2）先作角∠A=α，就确定了两条边的方向，再分别在两条边上截取定长，就能唯一确定三角形的第三个顶点。 （3）这也说明了SAS条件可以__________确定一个三角形。 结论：已知两边及夹角，有且只有一个三角形满足条件，即三角形的形状和大小被唯一确定。 四、巩固练习 基础巩固 1. 尺规作图中的"尺"指的是（　　） A. 有刻度的直尺　　B. 无刻度的直尺　　C. 三角板　　D. 量角器 2. 用尺规作一个角等于已知角，其依据的判定定理是（　　） A. SSS　　B. SAS　　C. ASA　　D. AAS 3. 过直线外一点作已知直线的平行线，实质上是运用了（　　） A. 作等角的方法　　　　B. 作垂线的方法 C. 测量距离的方法　　　D. 平移的方法 4. 已知两边及夹角作三角形，依据的判定定理是（　　） A. SSS　　B. SAS　　C. ASA　　D. HL 5. 如图，用尺规作图痕迹表明正在作一个角等于已知角，其原理是利用了（　　） A. 同位角相等　　　B. 全等三角形对应角相等 C. 对顶角相等　　　D. 等腰三角形两底角相等 能力提升 6. 如图，根据作图痕迹判断，小明正在过直线外一点C作直线l的平行线，他依据的是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 垂直于同一直线的两直线平行 7. 用尺规作∠AOB的平分线时，以M、N为圆心画弧的半径必须（　　） A. 等于MN　　　B. 小于 MN C. 大于 MN　D. 等于 MN 8. 如图，已知线段a、b和角α，作△ABC使AB=a，∠BAC=α，AC=b。第一步应先（　　） A. 作线段AB=a　　　B. 作∠BAC=α C. 作线段AC=b　　　D. 连接BC 9. 下列说法正确的是（　　） A. 尺规作图中的直尺可以带有刻度 B. 作一个角等于已知角只能用SSS判定 C. 已知三边作三角形依据的是SAS判定 D. 圆规只能用来画圆，不能量取线段 10. 综合作图：已知∠α和线段a，请用尺规作△ABC，使∠A=∠α，AB=AC=a。写出作法并保留作图痕迹。 11. 如图，根据作图痕迹，若OA=O′A′，OB=O′B′，AB=A′B′，试说明∠AOB=∠A′O′B′的理由。 12. 探究题：已知线段a、b、c（a+b>c，|a-b|<c），请思考如何用尺规作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c。简述你的思路。 五、归纳总结 知识网络 本节课学习的尺规作图方法可以归纳为以下知识网络： 直尺 —— 画直线、连线段 尺规作图工具 ——┤ 圆规 —— 量线段、画弧 ┌— 作一个角等于已知角（SSS） 尺规作图应用 ———┼— 过直线外一点作平行线（同位角相等） └— 已知两边及夹角作三角形（SAS） 方法总结 1. 作图题的通用分析步骤： （1）分析已知条件和所求目标； （2）画草图，寻找作图思路； （3）确定作法步骤，明确每一步的依据； （4）按步骤作图，保留痕迹； （5）写出证明或说明。 2. 数学思想： （1）转化思想：将作角问题转化为构造全等三角形问题。 （2）化归思想：将平行线问题转化为角相等问题。 （3）数形结合：将代数条件转化为几何图形。 易错提醒 1. 直尺不能带刻度，不能用来测量长度。 2. 作等角时，截取弧的半径要一致，确保三角形全等。 3. 作角平分线时，以M、N为圆心的弧半径必须大于 MN。 4. SAS作图时，必须先作夹角，再截两边，顺序不能颠倒。 5. 作图题必须保留作图痕迹，作法书写要规范。 六、参考答案 知识梳理填空答案 （二）作一个角等于已知角： （1）任意长　（2）O′，OM（或ON）　（3）M′，MN　（4）N′ 依据：SSS （三）过直线外一点作平行线： 思路：同位（或内错） （2）同位（或内错） 依据：同位角（或内错角） （四）已知两边及夹角作三角形： （1）A　（2）AB　（3）AC　（4）BC 依据：SAS 课堂探究填空答案 探究二：（2）转化（或化归） 探究三：（3）唯一 巩固练习答案 1. B　　2. A　　3. A　　4. B　　5. B 6. A　　7. C　　8. B　　9. B 10. 作法：（1）作∠MAN=∠α；（2）在射线AM上截取AB=a；（3）在射线AN上截取AC=a；（4）连接BC，则△ABC即为所求。 11. 理由：在△AOB和△A′O′B′中，OA=O′A′，OB=O′B′，AB=A′B′，所以△AOB≌△A′O′B′（SSS），所以∠AOB=∠A′O′B′。 12. 思路：先作线段BC=a；再以B为圆心、c为半径画弧，以C为圆心、b为半径画弧，两弧交于点A；连接AB、AC，则△ABC即为所求。依据：SSS。 学科网（北京）股份有限公司 $