14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定 学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦角的平分线判定定理，衔接已学的性质定理，通过梳理判定定理的已知求证、证明过程及几何语言，构建互逆关系的知识支架，引导学生从性质到判定形成完整认知脉络。 资料亮点在于强化推理能力与实际应用，以集贸市场选址等问题培养数学眼光，通过规范证明过程和几何语言训练数学思维，练习涵盖不同题型，帮助学生理解知识联系，提升解决问题的能力。

AI 生成 学案：14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定 人教版八年级上册 第十四章 全等三角形 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 探索并证明角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，感受互逆的数学思想，发展推理能力和解题能力。 2. 理解角平分线性质与判定的互逆关系，能运用判定定理解决相关问题，掌握三角形角平分线的重要结论。 二、知识梳理 1. 角平分线的判定定理 项目 内容 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 已知 / 求证 已知：如图，P 为内部一点，于点 D，于点 E，且。 求证：点 P 在的平分线上。 证明过程 证明：如图，经过点 P 作射线 OC。 ，， =。 在和中， ， ， （）。 =。 点 P 在的平分线上。 几何语言 P 为内部一点， 于点 D， 于点 E， 且 ， 点 P 在的平分线上， 即 OP 平分。 2. 角平分线性质与判定的关系 性质定理 判定定理 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 点在角的平分线上 ⇒ （角的内部）点到角两边距离相等 （角的内部）点到角两边距离相等 ⇒ 点在角的平分线上 说明：性质定理与判定定理互为逆定理。角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合。 3. 三角形角平分线的重要结论 内容 说明 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等。 三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点。 如图，的角平分线 BM，CN 相交于点 P，则点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等，且 AP 平分。 证明思路：由角平分线性质得，再由判定得点 P 在的平分线上。 4. 拓展：到三角形三边所在直线距离相等的点 位置 说明 P₁：三角形三个内角的平分线的交点 位于三角形内部，到三边距离相等。 P₂，P₃，P₄：三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点 位于三角形外部，到三边所在直线距离相等。共有 4 个点。 三、课堂练习 练习1（针对训练1 —— 集贸市场选址问题） 如图，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处 500 m。这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置）？         练习2（针对训练2 —— 教材P51 练习 第1题） 如图，，，垂足分别为 B，E，，AB，CE 相交于点 F，连接 DF。求证：FD 平分。                     练习3（例题 —— 三角形角平分线交于一点） 如图，的角平分线 BM，CN 相交于点 P。 （1）求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； （2）求证：的三条角平分线交于一点。                         练习4（针对训练3 —— 教材P51 练习 第2题） 如图，已知，BF 是的外角的平分线，CG 是的外角的平分线，BF，CG 相交于点 P。 （1）求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等； （2）求证：点 P 在的平分线上。                         练习5（随堂演练1 —— 选择题） 两块完全一样的直角三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在的边 AB，AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点 M，则点 M 一定（ ） A. 在的平分线上 B. 在 AC 边的高上 C. 在 AB 边的中线上 D. 以上都正确        练习6（随堂演练2 —— 选择题） 如图，O 是内一点，且点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离相等，即，若，则的度数是（ ） A.B.C.D.               练习7（随堂演练3 —— 填空题） 如图，的三边 AB，AC，BC 的长分别是 5，7，9，其三条角平分线将分成三个三角形，则::= ______。             练习8（随堂演练4 —— 综合证明题） 如图，点 D 在边 BC 的延长线上，的平分线交 AD 于点 E，过点 E 作于点 H，，。求证：AE 平分。                         四、参考答案 练习1 答案 答：集贸市场应建在 S 区内，公路和铁路夹角的平分线上，且距离交叉处 500 m 处。 解析：到公路和铁路距离相等的点在公路和铁路夹角的平分线上。再在角的平分线上截取距离交叉点 500 m 的点，即为集贸市场的位置。具体位置如图中点 P 所示。 练习2 答案 证明： ，， =。 在和中， = （对顶角相等）， = （已证）， （已知）， （AAS）。 （全等三角形的对应边相等）。 又，， 点 D 在的内部，且点 D 到的两边 FB，FE 的距离相等， FD 平分（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 练习3 答案 证明： （1）过点 P 作，，，垂足分别为 D，E，F。 BM 是的角平分线，点 P 在 BM 上， （角平分线上的点到角两边的距离相等）。 同理，CN 是的角平分线，点 P 在 CN 上， 。 。 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等。 （2）由（1）得， 即点 P 到边 AB，CA 的距离相等， 点 P 在的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 的三条角平分线交于一点。 练习4 答案 证明： （1）如图，过点 P 分别作 PJ，PI，PH 垂直于三边 AB，BC，AC 所在的直线，垂足分别为 J，I，H。 BF 是的平分线，点 P 在 BF 上， （角平分线上的点到角两边的距离相等）。 同理，CG 是的平分线，点 P 在 CG 上， 。 。 即点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等。 （2）由（1）知，，且， 点 P 在的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 练习5 答案 答案：A 解析：两块完全一样的直角三角板，它们的一组对应边所对的顶点重合于点 M，说明点 M 到 AB 和 AC 的距离相等（等于三角板对应直角边的长度）。由角平分线的判定定理，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，点 M 在的平分线上。 练习6 答案 答案：A（） 解析：点 O 到三边距离相等，O 是三条角平分线的交点。 BO 平分，CO 平分。 ， +−=。 ( + ) = 。 − (+) =−=。 练习7 答案 答案：5 : 7 : 9 解析：三条角平分线的交点 O 到三边距离相等，设这个距离为 d。 则 = ， = ， = 。 ::= 5 : 7 : 9。 结论：三角形的三条角平分线将三角形分成三个小三角形，它们的面积比等于对应边的比。 练习8 答案 证明：如图，过点 E 作于点 M，于点 N。 BE 平分， （角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ，， −−==。 CE 平分。 （角平分线上的点到角两边的距离相等）。 。 又，， 点 E 在的内部，且点 E 到的两边 AF，AC 的距离相等， AE 平分（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 学科网（北京）股份有限公司 $