第一章直线与圆单元测试-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 北师大版高中数学选择性必修一第一章直线与圆单元测试，涵盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线平行与垂直、圆的方程与位置关系|基础概念辨析，如直线平行求参数（题1）| |多选题|3/18|圆的性质、直线与圆位置关系|多选项分层考查，如直线与圆相切条件（题9）| |填空题|3/15|直线定点、距离乘积最值、轨迹方程|情境化问题，如直线过定点（题12）| |解答题|5/77|直线方程、圆的切线、新定义“伴随点”|综合性强，如“共生点”探究（题19），培养推理与创新意识|

北师大版高中数学选择性必修一第一章直线与圆单元测试 一、单选题 1．若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 2．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 3．若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 4．过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由圆的一般方程可列出方程组，直接求解即可. 【详解】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 5．设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 6．已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断二者位置关系即可. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由辅助角公式可知，，其中， 所以，即， 由于圆的半径，所以圆心到直线的距离， 当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交； 所以直线与圆的位置关系是相交或相切，故B正确. 7．已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 8．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 二、多选题 9．已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 【答案】ABC 【分析】配方得圆标准方程后即可得圆心坐标和圆半径，可判断AB，圆心坐标代入直线方程求得参数值判断C，利用圆心到直线的距离等于半径求得参数值判断D. 【详解】由题意圆的标准方程是，所以圆心坐标是，半径是，AB均正确； 当直线平分圆时，直线过圆心，即，，C正确； 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，D错. 10．已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程、圆心距、圆与圆的位置关系逐项计算判断即可. 【详解】对于A，将的方程化简得，所以圆心坐标为. 可知直线经过的圆心，所以对任意正整数，直线平分的面积，A正确； 将的方程化简得， 可知圆心到直线的距离为，与轴相切， 故直线关于直线的对称直线也与相切，所以B正确； 结合B选项可知圆心到直线的距离，所以直线与相离，所以C错误； 将的方程化简得，其圆心坐标为，半径为. 的方程为，化简为，其圆心坐标为，半径为. 所以与的圆心距始终为，而对任意正整数与的半径之和， 对任意正整数有，半径之差，所以对任意正整数与相交，D正确. 11．在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 【答案】ACD 【分析】A选项利用直径的性质进行计算；B选项设，用表示，再利用三角函数求最值即可，C选项，将用表示，再利用二次函数即可求出最大值； D选项利用点到直线的距离即可求解. 【详解】对于A选项，设与轴交于、，连接 ，，    因为为的直径，所以轴， 由题意可知，所以， 所以，则，所以公共点的坐标为和，故A正确； 对于B选项，如图：    连接并延长交于， 由垂径定理：，就是上到原点距离最远的点， 下面我们求的最大值： 设，则， 因为，则， 当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为，故B错误； 对于C选项，如图：过作轴于，另交于，过作轴于，    因为，所以，所以， 则， 所以，令 ， 则， 所以 ，即内的点到轴距离的最大值为，故C正确； 对于D选项，如图：    设与轴交于点（图中为上方的点），则，反面想， 对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当离轴最远时，与有且仅有一个公共点． 设，则，， 原点到的距离：，解得， 故与轴的公共部分上的点到轴距离的最大值为， 即与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为，故D正确． 三、填空题 12．直线所过定点为______ 【答案】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 13．已知在中，，，，P是上的点，则点P到、的距离乘积的最大值是_______． 【答案】3 【分析】以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，设点，则有，再利用基本不等式可得到即可. 【详解】如图，以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系. 则直线方程为. 设点，则. 因为，所以，得，当且仅当即时等号成立. 所以点P到、的距离乘积为，即点P到、的距离乘积的最大值为. 14．在平面直角坐标系中，，，，点满足，点的轨迹为曲线，直线，直线与曲线交于不同的两点，，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先利用定义法把点的轨迹方程求出来，再利用直线与圆的位置关系和向量转化，得到关于的不等式，求解即可. 【详解】设，因为 则，化简得 ，即， 所以曲线是以为圆心，2为半径的圆， 设的中点为，则， 因为， 所以①，又 即②，由①②得， 又，直线 与圆交于不同的两点，所以， 则，即. 因为，所以， 故实数的取值范围为. 四、解答题 15．已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即． （2）过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程， 当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即； 当截距不为0时，由截距相等可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为即． 综上得：直线方程为或. 16．若直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)求与直线平行的圆的切线方程． 【答案】(1)圆心，半径1 (2)或． 【分析】（1）根据直线经过圆心，可求的值，进而求得圆心和半径. （2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径求切线方程. 【详解】（1）由圆的方程可知，圆心， 由题意可知直线过圆心，即，解得， 所以圆心，半径. （2）设与直线平行的直线方程为，可得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或， 所以所求的直线的方程为或． 17．已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 【答案】(1)证明：直线过定点，直线过定点. 当时，，则，且交点不可能为和. 所以与的交点必在以线段为直径的圆上． 设，由，得，即． 当时，：，：，此时交点，也在圆上. 所以，交点的轨迹方程为（除点）. 综上，对，与的交点在一个定圆上. (2)最大值为，或． 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示及两直线垂直斜率之积为证明即可. （2）设定圆圆心为，结合几何关系求解面积的最大值及取最大值时点的位置，结合两直线垂直求出方程，与定圆方程联立求出点坐标，代入直线即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，设定圆圆心为， 因为，所以当时，的面积取得最大值， 为. 又，则，所以直线：，即． 与定圆方程联立整理得，解得或， 即或， 所以直线为或，即或． 18．已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 【答案】(1) (2)证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ， 为定值． (3)1 【分析】（1）根据直线的方向向量和过点坐标，得到直线方程，因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离小于半径，可列出不等式得到斜率的取值范围； （2）过圆外一点作圆的切线，则切线长为定值，根据切割线定理即可证明结论； （3）设点坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理和向量积的坐标运算求斜率的值． 【详解】（1）∵直线l过点且方向向量， ∴直线l的方程为，则，整理得， 即，得． （2）略 （3）设，， 将代入方程 得， ， ． ，解得． 又当时，，． 19．定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得， 易知,； 此时 , 令，解得或或 易知时,取定值为4，时,取定值为12， 当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4； 当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 【分析】（1）根据“伴随点”的定义得出点满足的方程即可求出点所在曲线的方程； （2）（i）由“共生点”定义可求直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线，可得其方程； （ii）易知圆H的方程为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线和圆的方程利用韦达定理得出的表达式，由其为定值解得的值可得结论. 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. （2）（i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版高中数学选择性必修一第一章直线与圆单元测试 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 2．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 3．若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 6．已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 7．已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 8．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 10．已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 11．在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 第II卷（非选择题） 3、 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．直线所过定点为______ 13．已知在中，，，，P是上的点，则点P到、的距离乘积的最大值是_______． 14．在平面直角坐标系中，，，，点满足，点的轨迹为曲线，直线，直线与曲线交于不同的两点，，且，则实数的取值范围是__________. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 16．若直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)求与直线平行的圆的切线方程． 17．已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 18．已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 19．定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $