第一章直线与圆章末综合测试-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第一章《直线与圆》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B B A D D C BCD BD ACD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 因为直线的斜率为， 因此，直线的倾斜角为. 2. 圆的圆心和半径分别是（ ） A. ，1 B. ，3 C. D. 【解析】C 由圆的标准方程，得圆心为，半径为. 3. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】B 若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 4. 圆O1：和圆O2：的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【解析】B 由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B． 5. 已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】A ，而， 故直线的取值范围为， 6. 为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【解析】D由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线， 可得直线与圆相切或相离， 则满足圆心到直线的距离，解得，即， 所以的最小值为. 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【解析】D 两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 8. 已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】C已知，，， 则直线方程为，直线方程为 如图，作关于的对称点，，解得，故， 再作关于的对称点，则，得， 连接，连接交与点，则直线方程为，得， 连接、分别交为点、， 则直线方程为，得， 直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得， 连接，，则，之间即为点的变动范围． 直线方程为，斜率为0， 直线的斜率为， 所以斜率的范围为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不经过原点的直线都可以表示为 B. 若直线与两坐标轴交点分别为A、B，且的中点为，则直线l的方程为 C. 过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为或 D. 直线的截距式方程为 【解析】BCD 对于A，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A选项错； 对于B，AB的中点为，则有，则直线l的方程为，故B选项对； 对于C，直线过点且过原点时，直线为，直线过点且不过原点时，直线为，故C选项对； 对于D，方程可化为，为直线的截距式方程，故D选项对． 10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【解析】BD 圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 11. 已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 若圆C关于直线l对称，则k=1 C. 若直线l与圆C相切，则 D. 当k=1时，取y轴上一点，则的最小值为 【解析】ACD 对于A，直线l：k，即， 令，则，解得，， 所以直线|恒过定点，故A正确; 对于B，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心， 所以，解得，故B错误; 对于C，若直线与圆C相切，则圆心到直线的距离等于半径1， 即，解得，故C正确; 对于D，当k=1时，直线，点关于直线l的对称点， 则有，解得，即， 所以的最小值为，故D正确. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三点共线，则实数m的值为________． 【解析】由三点共线可得， 即，解得. 13. 当直线l：截圆C：所得的弦长最短时，实数m的值为______. 【解析】由已知可将直线的方程化为， 解可得，所以直线过定点. 又由圆的方程可得圆心，半径， 则，所以点在圆内. 当时，圆心到直线的最大距离，直线被圆截得的弦长最短. 因为，所以直线的斜率为，即，所以. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 【解析】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知坐标平面内三点，，． （1）求直线AB的斜率和倾斜角； （2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标． 【解析】（1）因为，，可得， 所以可得倾斜角为； （2），，． 设，若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限， 可得，即，解得， 即点D的坐标为 16. 已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若，求之间的距离． 【解析】（1）由，则，即， 所以，可得或. （2）由，则，可得，故或， 当，则，，此时满足平行，且之间的距离为； 当，则，，此时两线重合，舍； 综上，时之间的距离为. 17. 已知圆过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程. 【解析】（1）由已知，， 则其中点为，， 所以中垂线的斜率， 则中垂线为，所以点在上， 又点在直线， 联立，解得，即， 半径， 所以圆的方程为； （2）由（1）得，， 当过点的切线斜率不存在时，直线为，与圆相切； 当过点的斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到切线的距离， 解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，切线方程为或. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆． （1）求圆O与圆C的外公切线的长； （2）过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 【解析】（1）圆心，半径为, 圆心，半径为， 故， 所以外公切线长为． （2）①设点，则满足，得， 所以 ， 而，得，所以． ②设点，以为直径的圆方程为， 即， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为． 圆心到直线AB的距离为， 又因为点在圆上，即，， 所以， 设，且， 由对勾函数在单调递减，在单调递增， 得的最小值为，， , 最大值为， 所以的取值范围为． 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 （2）（ⅰ）因为P为圆B“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《直线与圆》章末综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心和半径分别是（ ） A. ，1 B. ，3 C. D. 3. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 圆O1：和圆O2：的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 5. 已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不经过原点的直线都可以表示为 B. 若直线与两坐标轴交点分别为A、B，且的中点为，则直线l的方程为 C. 过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为或 D. 直线的截距式方程为 10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 11. 已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 若圆C关于直线l对称，则k=1 C. 若直线l与圆C相切，则 D. 当k=1时，取y轴上一点，则的最小值为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三点共线，则实数m的值为________． 13. 当直线l：截圆C：所得的弦长最短时，实数m的值为______. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知坐标平面内三点，，． （1）求直线AB的斜率和倾斜角； （2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标． 16. 已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若，求之间的距离． 17. 已知圆过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆． （1）求圆O与圆C的外公切线的长； （2）过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 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