期中学业质量评价(一)（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

这是《学练优》九年级数学上册的期中学业质量评价资料，包含30分选择题、18分填空题、72分解答题，覆盖相似三角形、锐角三角函数、位似图形等核心知识，通过基础题与综合题结合，为学生提供巩固基础和提升应用能力的学习支架。 资料特色显著，融入跨学科（物理凸透镜成像）、数学文化（《周髀算经》测高）、地方素材（湘江测量）等新情境，培养学生用数学眼光观察现实世界，新课标作图题提升几何直观与空间观念，分层题型设计发展推理能力与运算能力，助力九年级学生适应升学需求，提升解题与应用意识，为教师教学诊断和针对性指导提供支持。

《学练优》·九年级数学上·XJ 期中学业质量评价(一) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列选项中的两个图形一定相似的是(　B　) A. 两个平行四边形 B. 两个圆 C. 两个菱形 D. 两个等腰三角形 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. 如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离 为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的余弦值等 于(　B　) A. B. C. D. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3. 已知∠A是锐角，且满足3tanA－ ＝0，则 ∠A的大小为(　A　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 无法确定 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心， 位似比为 .若△ABC的周长为4，则△DEF的周长 是(　B　) A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 第4题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB的平分 线交AB于点D，增添下列条件仍不能判定 △ABC∽△CBD的是(　D　) A. ∠A＝36° B. BC＝DC C. BC2＝BD·AB D. ∠B＝∠ACB 第5题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2， 1)，则 sin α的值是(　B　) A. B. C. D. 2 第6题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7. △ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形 的边长均为1)，AD⊥BC于点D，下列选项中错误 的是(　C　) A. sin α＝ cos α B. tanC＝2 C. sin β＝ cos β D. tanα＝1 第7题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 如图，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC ＝6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三 角形与原三角形不相似的是(　C　) 第8题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. 跨学科 物理 如图，MN是凸透镜的主光轴，点 O是光心，点F是焦点.若蜡烛PM的像为NB，测 量得到OM∶ON＝5∶3，蜡烛高为10cm，则像BN 的长为(　C　) A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 第9题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E. 如 果AB＝5，BC＝8， sin B＝ ，那么tan∠CDE的 值为(　A　) A. B. C. D. －1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题(每小题3分，共18分) 11. 已知 sin α＝ (α为锐角)，则tanα＝ 　 　. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB ＝6，则△ADE与△ABC的面积之比为 ⁠. 第12题图 1∶9　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13. 菱形的两条对角线长分别为16和12，较长的对 角线与菱形的一边的夹角为θ，则 cos θ＝ ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 如图，△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心 的位似图形，且OA＝3OA'，点A'的坐标为(3，－ 2)，则点A的坐标为 ⁠. 第14题图 (－9，6)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东 航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向 上，航行12nmile到达点C处，测得小岛A在它的北 偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离 是 nmile. 6 　 第15题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交 AB于点D，CD平分∠ACB. 若AD＝2，BD＝3， 则： 第16题图 (1)AC的长为 ⁠； 　 (2)CN的长为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题(共72分) 17. (6分)计算：tan260°－2 sin 45°＋ sin 30°. 解：原式＝ － .(6分) 解：原式＝ － .(6分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. (8分)如图，点D为△ABC边AB上一点，AD＝ 2，BD＝6，AC＝4.求证：△ACD∽△ABC. 证明：∵AD＝2，BD＝6， ∴AB＝8. ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∴ ＝ . 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. (8分) 证明：∵AD＝2，BD＝6， ∴AB＝8. ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∴ ＝ . 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. (8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. (8分)新课标 作图能力 如图，△ABC在方格纸中 (每个小方格的边长都为1). (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2， 3)，C(6，2)，并写出B点坐标； 解：(1)如图所示，即为所求的平面直角坐标系， B(2，1).(3分) 解：(2)如图所示，△A'B'C'即为所求.(6分) 解：(1)如图所示，即为所求的平面直角坐标系， B(2，1).(3分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. (8分)新课标 作图能力 如图，△ABC在方格纸中 (每个小方格的边长都为1). (2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限 内将△ABC放大，画出放大后的图形△A'B'C'； 解：(2)如图所示，△A'B'C'即为所求.(6分) 解：(2)如图所示，△A'B'C'即为所求.(6分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (3)计算△A'B'C'的面积. 解：(3)S△A'B'C'＝ ×4×8＝16.(8分) 解：(3)S△A'B'C'＝ ×4×8＝16.(8分) 19. (8分)新课标 作图能力 如图，△ABC在方格纸中 (每个小方格的边长都为1). 解：(2)如图所示，△A'B'C'即为所求.(6分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. (9分)新情境 数学文化 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的DEF).小南利用“矩”可测量大树AB的高度.如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM＝21m，求树高AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：根据题意可得∠DEF＝∠BCD＝90°， ∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB. ∴ ＝ . ∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝21m， ∴ ＝ ＝ . ∴BC＝14m. ∴AB＝AC＋BC＝1.6＋14＝15.6(m). 答：树高AB为15.6m.(9分) 解：根据题意可得∠DEF＝∠BCD＝90°， ∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB. ∴ ＝ . ∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝21m， ∴ ＝ ＝ . ∴BC＝14m. ∴AB＝AC＋BC＝1.6＋14＝15.6(m). 答：树高AB为15.6m.(9分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. (9分)已知△ABC中，∠B＜90°，∠A与∠B 满足(1－tanA)2＋ ＝0. (1)试判断△ABC的形状； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(1)∵(1－tanA)2＋ ＝0，∠B＜ 90°， ∴tanA＝1， sin B＝ . ∴∠A＝45°，∠B＝60°. ∴∠C＝180°－45°－60°＝75°. ∴△ABC是锐角三角形.(5分) 解：(1)∵(1－tanA)2＋ ＝0，∠B＜90°， ∴tanA＝1， sin B＝ . ∴∠A＝45°，∠B＝60°. ∴∠C＝180°－45°－60°＝75°. ∴△ABC是锐角三角形.(5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)求(1＋ sin A)2－2 －(3＋tanC)0的值. 解：(2)∵∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， ∴ sin A＝ ， cos B＝ ，tanC＞0. ∴原式＝(1＋ )2－2 －1＝ .(9分) 解：(2)∵∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， ∴ sin A＝ ， cos B＝ ，tanC＞0. ∴原式＝(1＋ )2－2 －1＝ .(9分) 21. (9分)已知△ABC中，∠B＜90°，∠A与∠B 满足(1－tanA)2＋ ＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. (10分)新情境 湖南素材 湘江是湖南流域面积最 大、水量最多的河流，也是长江中游的主要支流， 湖南省也因此而简称“湘”.如图，某数学兴趣小组 成员在河东岸点B处观测河对岸的河边水文塔点 A，测得点A在点B北偏西30°的方向上，沿河岸 向北前行800m到达点C处，测得点A在点C北偏西 60°的方向上. (1)求AC的长； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(1)如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线 于点D，由题意得∠ABC＝30°，∠ACD＝ 60°，BC＝800m， ∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝30°. ∴∠BAC＝∠ABC. ∴AC＝BC＝800m. 答：AC的长为800m.(5分) 解：(1)如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线 于点D，由题意得∠ABC＝30°，∠ACD＝60°， BC＝800m， ∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝30°. ∴∠BAC＝∠ABC. ∴AC＝BC＝800m. 答：AC的长为800m.(5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)求湘江此段的宽度.(结果精确到0.1m， 参考数据： ≈1.414， ≈1.732) 22. (10分)新情境 湖南素材 湘江是湖南流域面积最 大、水量最多的河流，也是长江中游的主要支流， 湖南省也因此而简称“湘”.如图，某数学兴趣小组 成员在河东岸点B处观测河对岸的河边水文塔点 A，测得点A在点B北偏西30°的方向上，沿河岸 向北前行800m到达点C处，测得点A在点C北偏西 60°的方向上. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(2)由(1)得AC＝800m，在Rt△ACD中， sin 60°＝ ＝ ＝ ，解得AD＝400 ≈692.8(m). 答：湘江此段的宽度约为692.8m.(10分) 解：(2)由(1)得AC＝800m，在Rt△ACD中， sin60°＝ ＝ ＝ ，解得AD＝400 ≈692.8(m). 答：湘江此段的宽度约为692.8m.(10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. (10分)如图，四边形ABCD是正方形，E为BC 上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕 为MN，连接AE，与MN交于点G. 若tan∠AEN ＝ ，DC＋CE＝10. (1)求BE的长； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(1)由折叠可知MN为AE的垂直 平分线， ∴AN＝EN，∠EAN＝∠AEN. ∴tan∠AEN＝tan∠EAN＝ .设BE ＝a，则AB＝3a. ∴CE＝2a.∵DC＋CE＝10， ∴3a＋2a＝10，即a＝2. ∴BE＝2.(5分) 解：(1)由折叠可知MN为AE的垂直平分线， ∴AN＝EN，∠EAN＝∠AEN. ∴tan∠AEN＝tan∠EAN＝ . 设BE＝a，则AB＝3a. ∴CE＝2a.∵DC＋CE＝10， ∴3a＋2a＝10，即a＝2. ∴BE＝2.(5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)求 sin ∠ENB的值. 解：(2)由(1)知a＝2，∴AB＝6. ∵AE＝ ＝ ＝2 ， ∴EG＝ AE＝ . 又∵tan∠AEN＝ ＝ ， ∴NG＝ . 23. (10分)如图，四边形ABCD是正方形，E为BC 上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕 为MN，连接AE，与MN交于点G. 若tan∠AEN ＝ ，DC＋CE＝10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(2)由(1)知a＝2，∴AB＝6. ∵AE＝ ＝ ＝2 ， ∴EG＝ AE＝ . 又∵tan∠AEN＝ ＝ ， ∴NG＝ . ∴NE＝ ＝ ＝ . ∴ sin ∠ENB＝ ＝ ＝ .(10分) ∴NE＝ ＝ ＝ . ∴ sin ∠ENB＝ ＝ ＝ .(10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. (12分)如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，M是边BC上的一个动点(不与点B，C 重合)，连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转 90°得到AN，连接MN交AC于点P，连接CN. (1)求证：∠B＝∠ACN； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (1)证明：由旋转知AM＝AN， ∠MAN＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠MAN＝90°. ∴∠BAM＝∠CAN. ∵AB＝AC， ∴△ABM≌△ACN(SAS). ∴∠B＝∠ACN. (3分) (1)证明：由旋转知AM＝AN， ∠MAN＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠MAN＝90°. ∴∠BAM＝∠CAN. ∵AB＝AC， ∴△ABM≌△ACN(SAS). ∴∠B＝∠ACN. (3分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)求证：MN2＝2AP·AB； 24. (12分)如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，M是边BC上的一个动点(不与点B，C 重合)，连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转 90°得到AN，连接MN交AC于点P，连接CN. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)证明：由旋转知AM＝AN， ∠MAN＝90°， ∴∠ANM＝45°.在Rt△BAC中， ∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝45°. ∴∠B＝∠ANM. 由(1)知， ∠BAM＝∠CAN， ∴△ABM∽△ANP. ∴ ＝ . ∴AM·AN＝AP·AB. (2)证明：由旋转知AM＝AN， ∠MAN＝90°， ∴∠ANM＝45°.在Rt△BAC中， ∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝45°. ∴∠B＝∠ANM. 由(1)知， ∠BAM＝∠CAN， ∴△ABM∽△ANP. ∴ ＝ . ∴AM·AN＝AP·AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴AM2＝AP·AB. ∵AM＝AN，∠MAN＝90°， ∴MN2＝2AM2. ∴MN2＝2AP·AB. (7分) ∴AM2＝AP·AB. ∵AM＝AN，∠MAN＝90°， ∴MN2＝2AM2. ∴MN2＝2AP·AB. (7分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (3)若AB＝3，BM＝2CM，求PC的长. 24. (12分)如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，M是边BC上的一个动点(不与点B，C 重合)，连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转 90°得到AN，连接MN交AC于点P，连接CN. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (3)解：在Rt△ABC中，AB＝AC ＝3， ∴∠ACB＝∠B＝45°，BC＝ AB＝3 . ∵BM＝2CM， ∴CM＝ ，BM＝2 .由(1) 知，△ABM≌△ACN， ∴CN＝BM＝2 ，∠ACN＝ 45°. (3)解：在Rt△ABC中，AB＝AC＝3， ∴∠ACB＝∠B＝45°，BC＝ AB＝3 . ∵BM＝2CM， ∴CM＝ ，BM＝2 .由(1)知，△ABM≌△ACN， ∴CN＝BM＝2 ，∠ACN＝45°. ∴∠MCN＝∠ACB＋∠ACN＝90°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴∠MCN＝∠ACB＋∠ACN＝90°. ∴MN＝ ＝ .由(2)知，MN2＝ 2AP·AB， ∴AP＝ ＝ ＝ . ∴PC＝AC－AP＝ .(12分) ∴MN＝ ＝ .由(2)知， MN2＝2AP·AB， ∴AP＝ ＝ ＝ . ∴PC＝AC－AP＝ .(12分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $