第3章 一元二次方程 单元测试卷 -2026-2027学年湘教版初中数学九年级上册

一元二次方程单元测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x＝1 B．3x﹣y＝0 C．5x+8＝0 D． 2.用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝﹣2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝﹣2 D．（x+2）2＝4 3.一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4.已知x＝2是关于x的方程x2﹣5x+m＝0的一个根，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．16 D．﹣16 5.北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍 参加比赛？（　　） A．8 B．10 C．7 D．9 6.关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜4 B．m＜﹣4 C．m＞4 D．m＞﹣4 7.已知实数m是关于x的方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式m2﹣3m﹣2的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8.如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800 平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A．54x+38x﹣x2＝1800 B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800 C．54×38﹣54x﹣38x﹣x2＝1800 D．（54﹣x）（38﹣x）＝1800 9.已知x＝2是关于x的方程x2﹣3mx+5m﹣2＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条 边长，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．6或10 10.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动， 点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时 停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11.已知是关于x的一元二次方程，则方程中m的值为　 　． 12.关于x的方程x2﹣x9的解是　 　． 13.用配方法解方程x2﹣8x+2＝0时，可将方程变为（x﹣m）2＝n的形式，则m＝　 　，n＝　 　． 14.关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值为　 　． 15.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　． 16.已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为 　． 17.温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为 30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形 观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为　 　米． 18.已知﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一实数根，求c的取值范围．下面是小丽的解法： 解：因为﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一实数根，所以（x+2）（x2+mx+n）＝x3+bx+c 可得m＝﹣2，nc． 再由Δ＝m2﹣4n＜0． 得出c＞2． 根据小丽的解法，则b的取值范围是　 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程： （1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2. （2）x2﹣6x+7＝0． （3）x（x﹣4）＝（x﹣4）. （4）3x2+4x﹣2＝0． 20．（6分）解一元二次方程x2﹣2x＝1时，小龙同学的错误解法如图． （1）你认为x1＝1是方程的解吗？请判断并说明理由． （2）选择正确的方法解方程：x2﹣2x＝1． x2﹣2x＝1 解：x（x﹣2）＝1 所以x＝1或x﹣2＝1 所以x1＝1，x2＝3 21．（8分）若方程x2﹣2x﹣6＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值． （1）x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　． （2）； （3）3x1﹣x2． 22．（8分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，一月份销售256 件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件，假 设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 23．（9分）关于x的方程x2+2mx+m2﹣m+3＝0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 24．（9分）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式 （1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数． （2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长． 25．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 26．（10分）请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x，把x代入已知方程，得（）21＝0．化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程x2+3x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于x的一元二次方程ax3+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程单元测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x＝1 B．3x﹣y＝0 C．5x+8＝0 D． 解：A．x2﹣2x＝1，含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，符合题意； B．3x﹣y＝0，含有两个未知数，不符合题意； C．5x+8＝0，含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，不符合题意； D．该方程不是整式方程，不符合题意； 故选：A． 2.用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝﹣2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝﹣2 D．（x+2）2＝4 解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝4，（x﹣1）2＝4．故选：B． 3.一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 解：一元二次方程x2﹣4x+3＝0中，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＞0，则原方程有两个不相等的实数根. 故选：A． 4.已知x＝2是关于x的方程x2﹣5x+m＝0的一个根，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．16 D．﹣16 解：由条件可知22﹣5×2+m＝0，即4﹣10+m＝0，∴﹣6+m＝0，∴m＝6．故选：A． 5.北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A．8 B．10 C．7 D．9 解：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比赛．故选：B． 6.关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜4 B．m＜﹣4 C．m＞4 D．m＞﹣4 解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，∴Δ＝42﹣4×（﹣m）＜0，解得：m＜﹣4. 故选：B． 7.已知实数m是关于x的方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式m2﹣3m﹣2的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 解：∵实数m是关于x的方程x2﹣3x﹣6＝0的一根，∴把x＝m代入得：m2﹣3m﹣6＝0， ∴m2﹣3m＝6，∴m2﹣3m﹣2＝6﹣2＝4．故选：B． 8.如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800 平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A．54x+38x﹣x2＝1800 B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800 C．54×38﹣54x﹣38x﹣x2＝1800 D．（54﹣x）（38﹣x）＝1800 解：在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，∵矩形草地的长为54米，宽为38米，且道路的宽为x米，∴种植草坪的部分可合成一个长为（54﹣x）米，宽为（38﹣x）米的矩形．根据题意得：（54﹣x）（38﹣x）＝1800． 故选：D． 9.已知x＝2是关于x的方程x2﹣3mx+5m﹣2＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条 边长，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．6或10 解：∵x＝2是关于x的方程x2﹣3mx+5m﹣2＝0的一个根，∴4﹣6m+5m﹣2＝0．∴m＝2． ∴原方程为：x2﹣6x+8＝0．∴方程的两个根为2，4．∴2，4为等腰△ABC的两条边， 当腰为2时，底为4，2+2＝4，构不成三角形， 当腰为4时，底为2，能构成三角形，其周长为4+4+2＝10． 故选：B． 10.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动， 点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时 停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 解：设t秒后，△PCQ的面积等于4，由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t， ∵S△PCQ＝CQ•CP，∴4＝×2t×（5﹣t），整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）， 即1秒后，△PCQ的面积等于4.故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11.已知是关于x的一元二次方程，则方程中m的值为　 　． 解：∵是关于x的一元二次方程， ∴m2+1＝2且m+1≠0，解得m＝±1且m≠﹣1，∴m＝1.故答案为：1． 12.关于x的方程x2﹣x9的解是　 　． 解：x2﹣x9，x2﹣x0，Δ＝（﹣1）2﹣4×（）＝36＞0， x，所以x1，x2．故答案为：x1，x2． 13.用配方法解方程x2﹣8x+2＝0时，可将方程变为（x﹣m）2＝n的形式，则m＝　 　，n＝　 　． 解：x2﹣8x+2＝0，移项得x2﹣8x＝﹣2，配方得（x﹣4）2＝14，故m＝4，n＝14.故答案为：4，14． 14.关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值为　 　． 解：把x＝0代入方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0，得a2﹣9＝0，解得a＝±3． ∵a﹣3≠0，∴a＝﹣3.故答案为：﹣3． 15.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　． 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1． 16.已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为 　． 解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，∴mn＝﹣5， ∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，∴m2+2m﹣5＝0，∴m2+2m＝5， ∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．故答案为：0． 17.温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为 30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形 观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为　 　米． 解：设玻璃栈道的宽度为x米，则扩建后矩形观景平台的长为（30+2x）米，宽为（20+x）米， 由题意得：（30+2x）（20+x）＝1000，整理得：x2+35x﹣200＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣40（不符合题意，舍去），即玻璃栈道的宽度为5米.故答案为：5． 18.已知﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一实数根，求c的取值范围．下面是小丽的解法： 解：因为﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一实数根，所以（x+2）（x2+mx+n）＝x3+bx+c 可得m＝﹣2，nc． 再由Δ＝m2﹣4n＜0． 得出c＞2． 根据小丽的解法，则b的取值范围是　 ． 解：因为﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一实数根， 所以（x+2）（x2+mx+n）＝x3+bx+c， x3+mx2+nx+2x2+2mx+2n＝x3+bx+c， x3+（m+2）x2+（n+2m）x+2n＝x3+bx+c，则， 可得m＝﹣2，nc， 再由Δ＝m2﹣4n＜0，4﹣4n＜0，n＞1，∴n﹣4＞﹣3， ∵b＝n+2m＝n﹣4，∴b＞﹣3. 故答案为：b＞﹣3． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程： （1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2. （2）x2﹣6x+7＝0． （3）x（x﹣4）＝（x﹣4）. （4）3x2+4x﹣2＝0． 解：（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2， （x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2+2x）＝0， ∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0， ∴x1＝2，x2. （2）x2﹣6x+7＝0， x2﹣6x＝﹣7， x2﹣6x+9＝﹣7+9 （x﹣3）2＝2， ∴x﹣3＝±， ∴x13，x23． （3）x﹣4＝x（x﹣4），即（x﹣4）（1﹣x）＝0， 解得x1＝4，x2＝1. （4）3x2+4x﹣2＝0． ∵a＝3，b＝4，c＝﹣2， ∴Δ＝16﹣4×3×（﹣2）＝40， ∴x， 解得：x1，x2． 20．（6分）解一元二次方程x2﹣2x＝1时，小龙同学的错误解法如图． （1）你认为x1＝1是方程的解吗？请判断并说明理由． （2）选择正确的方法解方程：x2﹣2x＝1． x2﹣2x＝1 解：x（x﹣2）＝1 所以x＝1或x﹣2＝1 所以x1＝1，x2＝3 解：（1）由题意，∵当x1＝1时，左边＝1﹣2＝﹣1，右边＝1， ∴左边≠右边， ∴x1＝1不是方程的解； （2）由题意，∵x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+1＝2， ∴（x﹣1）2＝2， ∴， ∴，． 21．（8分）若方程x2﹣2x﹣6＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值． （1）x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　． （2）； （3）3x1﹣x2． 解：（1）∵方程x2﹣2x﹣6＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣6， （2）＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣6）＝4+12＝16； （3）∵方程x2﹣2x﹣6＝0的两根为x1，x2，∴，即， ∴3x1﹣x22x1﹣x1﹣x2＝（2x1）﹣（x1+x2）＝6﹣2＝4． 22．（8分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，一月份销售256 件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件，假 设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意列一元二次方程得：256（1+x）2＝400， 整理得，256x2+512x﹣144＝0， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）设商品降价y元，则每件的销售利润为（40﹣y﹣25）元，月销售量为（400+5y）件， 根据题意列一元二次方程得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250， 整理得：y2+65y﹣350＝0， 解得：y1＝5，y2＝﹣70（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 23．（9分）关于x的方程x2+2mx+m2﹣m+3＝0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 解：（1）∵关于x的方程x2+2mx+m2﹣m+3＝0有两个实数根x1，x2， ∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+3）≥0， 解得m≥3， 即m的取值范围为m≥3； （2）∵（x1+1）（x2+1）＝8， ∴x1x2+x1+x2+1＝8， ∵方程x2+2mx+m2﹣m+3＝0有两个实数根x1，x2， ∴x1x2＝m2﹣m+3，x1+x2＝﹣2m， ∴m2﹣m+3+（﹣2m）+1＝8， 解得m1＝4，m2＝﹣1， 由（1）知，m≥3， ∴m的值为4． 24．（9分）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式 （1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数． （2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长． 解：（1）设十位数字为x，则个位数字为x+3，百位数字为x+2， 根据题意得：[100（x+2）+10x+（x+3）]﹣9[（x+3）2+x2+（x+2）2]＝20， 化简为9x2﹣7x﹣22＝0； （2）设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边为（14﹣x）， 根据题意得：x（14﹣x）＝24， 整理得：x2﹣14x+48＝0， 解得x＝6或x＝8， ∴两条直角边的长分别为6、8． 25．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 解：（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4， ∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4， ∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2， ∴m、n的值分别为2、4， ∴△ABC的周长为10； 当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2， ∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2， 此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去； 综上可知△ABC的周长为10． 26．（10分）请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x，把x代入已知方程，得（）21＝0．化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程x2+3x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y． 把x＝﹣y代入已知方程，得y2﹣3y﹣2＝0， 故所求方程为：y2﹣3y﹣2＝0； （2）设所求方程的根为y，则y（x≠0），于是x（y≠0）， 把x代入方程ax2+bx+c＝0，（a≠0），得a（）2+b•c＝0， 去分母，得a+by+cy2＝0． 若c＝0，有ax2+bx＝0，即x（ax+b）＝0， 可得有一个解为x＝0，不符合题意，因为题意要求方程ax2+bx+c＝0有两个不为0的根．故c≠0， 故所求方程为cy2+by+a＝0（c≠0），（a≠0）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $