3.11 湖南中考新趋势拉分练（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该初中数学单元复习课件聚焦一元二次方程，通过新题型组合（模块综合、传统文化、双空题、方案设计）与综合实践（果园规划）系统梳理知识，构建方程解法与几何图形、实际问题的内在联系，形成完整知识网络。 其亮点在于融合新考向与真实情境，如《代数学》几何解法题培养数学眼光，等腰直角三角形裁长方形方案设计题发展数学思维，果园利润问题提升数学语言表达。分层设计满足不同学生需求，助力知识巩固，为教师提供精准复习教学支持。

《学练优》·九年级数学上·XJ 第3章　一元二次方程 湖南中考新趋势拉分练 目 录 CONTENTS 01 新题型组合 02 综合与实践 1. 新考向 模块综合 如图，E为矩形ABCD对角线 AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2＋ 6x－16＝0的正数解是(　C　) A. 线段AE的长 B. 线段BE的长 C. 线段CE的长 D. 线段AC的长 C 2 3 4 5 1 2. 新情境 传统文化 手卷是国画装裱中横幅的一种 体式，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分 组成(这三部分都是矩形形状)，分隔这三部分的其 余部分统称为“隔水”.图中手卷长1000cm，宽 40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm， 若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，则 x的值为 ⁠. 10　 2 3 4 5 1 3. 《代数学》一书中记载，形如x2＋10x＝56的方 程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一 个面积为x2的正方形，再以该正方形的边长为一边 向外构造四个面积均为 x的矩形，则大正方形的面 积为56＋25＝81，则原方程的正数解为9－5＝4.” 小聪按此方法解关于y的方程y2＋20y＋m＝0时， 构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为 156，则该方程的正数解为 ⁠. 6　 2 3 4 5 1 4. 湖南新题型 双空 对于两个互不相等的实数a， b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两个数中较 大的数.按照这个规定解决下列问题： (1)方程max{1，－1}＝x2＋2x＋2的解为x＝ ⁠ ⁠； (2)方程max{x，0}＝x2－2的解为x＝ ⁠ ⁠. － 1　 － 或 2　 2 3 4 5 1 5. 新考向 方案设计 某中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为20cm的等腰直角三角形硬卡片(如图①、图②中，AB＝AC＝20cm，∠A＝90°)，要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积 为75cm2. (1)方方同学很快完成了自己的设计(如图①)，并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽； 2 3 4 5 1 解：(1)∵AB＝AC＝20cm，∠A＝90°， ∴BC＝ AB＝20 cm，∠B＝∠C＝45°. ∵四边形DEFG是长方形， ∴∠DGF＝∠EFG＝90°. ∴∠DGB＝∠EFC＝90°. ∴△DGB和△EFC是等腰直角三角形. 解：(1)∵AB＝AC＝20cm，∠A＝90°， ∴BC＝ AB＝20 cm，∠B＝∠C＝45°. ∵四边形DEFG是长方形， ∴∠DGF＝∠EFG＝90°. ∴∠DGB＝∠EFC＝90°. ∴△DGB和△EFC是等腰直角三角形. 2 3 4 5 1 ∴DG＝BG＝EF＝FC. 设DG＝xcm，则GF＝ (20 －2x)cm.由题意，得x(20 －2x)＝75，化 简，得2x2－20 x＋75＝0，解得x1＝ ，x2＝ . ∴20 －2x＝15 或5 . ∴长方形卡片的长和宽分别为15 cm， cm或 cm，5 cm. ∴DG＝BG＝EF＝FC. 设DG＝xcm，则GF＝ (20 －2x)cm.由题意，得x(20 －2x)＝75， 化简，得2x2－20 x＋75＝0， . ∴20 －2x＝15 或5 . ∴长方形卡片的长和宽分别为15 cm， cm或 cm，5 cm. 2 3 4 5 1 5. 新考向 方案设计 某中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为20cm的等腰直角三角形硬卡片(如图①、图②中，AB＝AC＝20cm，∠A＝90°)，要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积 为75cm2. (2)圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽. 2 3 4 5 1 解：(2)根据题意画图如图②所示.设长方形的边AF ＝acm，则EF＝FC＝(20－a)cm.由题意，得a(20 －a)＝75，化简，得a2－20a＋75＝0，解得a1＝ 15，a2＝5. ∴20－a1＝5，20－a2＝15. ∴长方形卡片的长和宽分别为15cm和5cm. 解：(2)根据题意画图如图②所示.设长方形的边AF ＝acm，则EF＝FC＝(20－a)cm. 由题意，得a(20－a)＝75， 化简，得a2－20a＋75＝0，解得a1＝15，a2＝5. ∴20－a1＝5，20－a2＝15. ∴长方形卡片的长和宽分别为15cm和5cm. 2 3 4 5 1 根据以下素材，完成探索任务. 探索果园土地规划和销售利润问题 素 材 1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图①是果园的平面图，其中AB＝200m，BC＝300m.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2xm，左右两条纵向道路的宽度都为xm，中间部分种植水果.出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12m，且不小于5m. 2 3 4 5 1 素 材 2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，于是在果园里种植了该种草莓，经市场调查，该种草莓培育一年可产果，若每平方米的该种草莓销售平均利润为100元，则每月可销售5000m2的该种草莓；因天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓的平均利润每下调5元，每月可多销售 500m2草莓.果园每月的承包费为2万元. 2 3 4 5 1 问题解决 任 务 1 解决果园中路面 宽度的设计对种 植面积的影响. (1)请直接写出纵向道路宽度x 的取值范围. (2)若中间种植的面积是 44800m2，则路面设置的宽度 是否符合要求. 2 3 4 5 1 (2)根据题意得(300－2x)(200－2×2x)＝44800， 整理得x2－200x＋1900＝0，解得x1＝10，x2＝ 190(不符合题意，舍去). ∵5≤10≤12， ∴路面设置的宽度符合要求. (2)根据题意得(300－2x)(200－2×2x)＝44800， 整理得x2－200x＋1900＝0，解得x1＝10，x2＝ 190(不符合题意，舍去). ∵5≤10≤12， ∴路面设置的宽度符合要求. 解：(1)根据题意得5≤x≤12. 2 3 4 5 1 根据以下素材，完成探索任务. 探索果园土地规划和销售利润问题 素 材 1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图①是果园的平面图，其中AB＝200m，BC＝300m.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2xm，左右两条纵向道路的宽度都为xm，中间部分种植水果.出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12m，且不小于5m. 2 3 4 5 1 素 材 2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，于是在果园里种植了该种草莓，经市场调查，该种草莓培育一年可产果，若每平方米的该种草莓销售平均利润为100元，则每月可销售5000m2的该种草莓；因天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓的平均利润每下调5元，每月可多销售 500m2草莓.果园每月的承包费为2万元. 2 3 4 5 1 任 务 2 解决果园种植的 预期利润问题. (总利润＝销售利 润－承包费) (3)若该农户预期一个月该草莓 的总利润为52万元，则从购买 草莓客户的角度考虑，每平方 米草莓平均利润应该下调多少 元？ 解：(1)根据题意得5≤x≤12. 2 3 4 5 1 (3)设每平方米草莓平均利润下调y元， 则每平方米草莓平均利润为(100－y)元，每月可售 出5000＋ ×500＝(5000＋100y)m2的草莓. 根据题意得(100－y)(5000＋100y)－20000＝ 520000， 整理得y2－50y＋400＝0，解得y1＝10，y2＝40. 又∵要让利于顾客， ∴y＝40. 答：每平方米草莓平均利润下调40元. (3)设每平方米草莓平均利润下调y元， 则每平方米草莓平均利润为(100－y)元，每月可售 出5000＋ ×500＝(5000＋100y)m2的草莓. 根据题意得(100－y)(5000＋100y)－20000＝520000， 整理得y2－50y＋400＝0，解得y1＝10，y2＝40. 又∵要让利于顾客， ∴y＝40. 答：每平方米草莓平均利润下调40元. 2 3 4 5 1 $