1.8 专题1 相似三角形中的常见模型（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦九年级图形的相似，核心讲解相似三角形常见模型（A字型、X字型、旋转型、子母双垂直型、一线三等角型）。通过典型例题（如岳阳期中DF∥AC求CF）导入，每个模型配例题、证明与解答，结合方法总结（图形示意①-⑪），构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是模型分类系统，例题融入中考真题（如2026张家界期中题），方法总结直观（图形编号与结论对应）。以几何直观呈现模型结构，培养推理能力（如证明△ADE∽△ACB），强化模型意识（如一线三等角综合题）。帮助学生掌握解题策略，提升数学思维，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

《学练优》·九年级数学上·XJ 第1章　图形的相似 专题1　相似三角形中的常见模型 模型一　“A”字型 1. (2026·岳阳期中)如图，在△ABC中， DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝ 9，则CF的长为 ⁠. 6　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2. (2026·张家界期中)如图，在△ABC中，点D，E 分别是边AB，AC上的点，∠BDE＋∠C＝180°. (1)求证：△ADE∽△ACB； (1)证明：∵∠C＋∠EDB＝ 180°，∠ADE＋∠EDB＝ 180°， ∴∠C＝∠ADE. ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB. (1)证明：∵∠C＋∠EDB＝ 180°， ∠ADE＋∠EDB＝180°， ∴∠C＝∠ADE. ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)若AB＝10，AC＝8，AD＝4，求CE的长. 2. (2026·张家界期中)如图，在△ABC中，点D，E 分别是边AB，AC上的点，∠BDE＋∠C＝180°. (2)解： ∵△ADE∽△ACB，∴ ＝ . ∴ ＝ .∴AE＝5. ∴CE＝AC－AE＝8－5＝ 3. (2)解：∵△ADE∽△ACB， ∴ ＝ . ∴ ＝ .∴AE＝5. ∴CE＝AC－AE＝8－5＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 方法总结 “A”字型：如图①，BC∥DE⇒△ADE∽△ABC；如图②，∠1＝∠B⇒△ADE∽△ACB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 模型二　“X”字型 3. 如图，平行四边形ABCD中，F为BC的中点， 延长AD至点E，使DE∶AD＝1∶3，连接EF交 DC于点G，则 ＝ 　 　. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4. 如图，点D，C分别在AB，AE上，BC交DE 于点F，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF ＝2. (1)求证：△BDF∽△ECF； (1)证明：∵∠ADE＝∠ACB， ∴∠BDF＝∠ECF. ∵∠BFD＝∠EFC， ∴△BDF∽△ECF. (1)证明：∵∠ADE＝∠ACB， ∴∠BDF＝∠ECF. ∵∠BFD＝∠EFC， ∴△BDF∽△ECF. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)求DF的长. 4. 如图，点D，C分别在AB，AE上，BC交DE 于点F，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF ＝2. ECF. (2)解：∵△BDF∽△ECF， ∴DF∶CF＝BD∶CE，即 DF∶2＝8∶4. ∴DF＝4. (2)解：∵△BDF∽△ECF， ∴DF∶CF＝BD∶CE， 即DF∶2＝8∶4. ∴DF＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 方法总结 “X”字型：如图③，AB∥CD⇒△APB∽△DPC；如图④，∠1＝∠2⇒△AOB∽△COD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 模型三　旋转型 5. 如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝ ∠ACD，∠B＝∠CED. (1)求证：△ABC∽△DEC； (1)证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋ ∠ACE. ∴∠ACB＝∠DCE. ∵∠B＝∠CED， ∴△ABC∽△DEC. (1)证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE. ∴∠ACB＝∠DCE. ∵∠B＝∠CED， ∴△ABC∽△DEC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝12，求EC的长. 5. 如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝ ∠ACD，∠B＝∠CED. (2)解：由(1)得△ABC∽△DEC， ∵S△ABC∶S△DEC＝4∶9， ∴ ＝ ＝()2. ∵BC＝12，∴EC＝18. (2)解：由(1)得△ABC∽△DEC， ∵S△ABC∶S△DEC＝4∶9， ∴ ＝ ＝()2. ∵BC＝12，∴EC＝18. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 方法总结 旋转型(手拉手模型)：如图⑤，CD∥AB，将△OCD旋转到图⑥中的位置，结论：①△OCD∽△OAB；②△AOC∽△BOD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 模型四　“子母”型和“双垂直”型 6. 如图，在△ABC中，D是AB上的点，∠B＝ ∠ACD，AC＝1，AB＝2，则△ACD与△BCD的 面积比为 ⁠. 第6题图 1∶3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB上， AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G. 若AD＝5， CG＝4，则△AEF的面积为 ⁠. 第7题图 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜 边BC上的高. (1)求证：△ABD∽△CBA； (1)证明：∵AD是斜边BC上的 高， ∴∠BDA＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠BAC. 又∵∠B为公共角， ∴△ABD∽△CBA. (1)证明：∵AD是斜边BC上的高， ∴∠BDA＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠BAC. 又∵∠B为公共角， ∴△ABD∽△CBA. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜 边BC上的高. (2)解：由(1)知△ABD∽△CBA， ∴ ＝ .∴ ＝ . ∴BD＝3.6. (2)解：由(1)知△ABD∽△CBA， ∴ ＝ .∴ ＝ . ∴BD＝3.6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 方法总结 “子母”型：如图⑦，∠B＝∠B，∠1＝∠C⇒△ABD∽△CBA； “双垂直”型(特殊的“子母”型)：如图⑧，AC⊥BC，CD⊥AB⇒①△ACD∽△CBD∽△ABC；②AC2＝AD·AB；③ BC2＝BD·BA；④CD2＝AD·BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 模型五　“一线三等角”型 9. 如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上 的一点，且CB⊥BE. 已知AB＝8，AC＝6，DE ＝4，则线段BD的长为 ⁠. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. 新考向 模块综合 如图，一次函数y＝x＋3的图 象与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是 线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，AP＝ AB，求点C的坐标. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：一次函数y＝x＋3中， 令x＝0，则y＝3； 令y＝0，则x＝－3. ∴AO＝BO＝3. ∴△AOB是等腰直角三角形. ∴∠ABO＝∠BAO＝45°. ∴AB＝3 . ∴AP＝ AB＝ ，BP＝AB－AP＝2 . 解：一次函数y＝x＋3中， 令x＝0，则y＝3； 令y＝0，则x＝－3. ∴AO＝BO＝3. ∴△AOB是等腰直角三角形. ∴∠ABO＝∠BAO＝45°. ∴AB＝3 . ∴AP＝ AB＝ ，BP＝AB－AP＝2 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ∵∠BPC＋∠OPC＝∠POA＋∠PAO，∠OPC＝ ∠PAO＝45°， ∴∠BPC＝∠POA. ∴△PAO∽△CBP. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴BC＝ . ∴OC＝OB－BC＝3－ ＝ . ∴点C的坐标为(0， ). ∵∠BPC＋∠OPC＝∠POA＋∠PAO，∠OPC＝ ∠PAO＝45°， ∴∠BPC＝∠POA. ∴△PAO∽△CBP. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴BC＝ . ∴OC＝OB－BC＝3－ ＝ . ∴点C的坐标为(0， ). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 方法总结 “一线三等角”型：如图⑨⑩⑪中，点C在BD上，∠B＝∠ACE＝∠D⇒△ABC∽△CDE. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $