专题01 相似三角形中（双）A字型的三种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形（双）A字型三种模型，以基础到组合的递进逻辑构建训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字模型|10题（含中考模拟/期末题）|平行条件下的相似判定与性质应用，涉及比例计算、面积比证明|从基础平行模型切入，建立相似三角形判定（AA）与性质的直接关联| |反A字模型|10题（含中考真题/探究题）|非平行但含公共角/等角的相似，考查判定条件辨析与综合证明|拓展至非平行场景，深化对“角相等”核心条件的推理应用| |双A字模型|8题（含实际应用题/创新题）|两个A字模型组合，涉及多线段比例、动态问题及实际情境（如路灯影长）|整合前两种模型，培养复杂图形分解能力，体现应用意识|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01相似三角形中的（双)A字型的三种模型 题型归纳 题型一 “A”字模型 题型二反“A”字模型 题型三双“A”字模型 题型专练 题型一：“A”字模型 AD 1.(2026云南临沧二模)如图，在AABC中，DE∥BC,若SAc=9Se,则AB的值（) D A 1 c.s D. AE AD 2.(2026河北沧州模拟预测)如图，点D,B分别在。ABC的边AB?AC上，且AB-4C, 则下列说 法二定正确的是(） A.DE∥BC B.∠AED=∠B c品 D.AE=AD 3.(2026宁夏银川一模)已知：如图，DE∥BC,AD:BD=1:2,则SDE:S&ABC= 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 4.(26-27九年级上海暑假作业)如图，己知：点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC.求 证：△ABC∽△ADE」 D 5.(26-27九年级上海暑假作业)如图，己知：在△ABC与△4BC中，∠A=∠4，∠B=∠B.求证： △ABC∽△AB,C1. A D B B 6.(25-26九年级上陕西安康期末)如图，在△ABC中，AC=BC,D、E分别是边AC、BC的中点， 连接DE,F是BC延长线上一点，连接DF,∠F=∠B,求证：△CDE∽△DFE. D B 7.(25-26八年级下江苏苏州期末)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A=40°， ∠B=65°，∠AED=75°」 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ADE一△ABC: (2)已知AD:BD=2:3,AE=5,求AC的长， AD 1 8.(25-26八年级下重庆沙坪坝期末)如图，在AABC中，DE∥BC,DB2,点I在BC边上，连接 DF (1I)若△ADE的面积为1，求四边形BCED的面积； (②)若DF∥AC,BF=3,求DE的长度. 9.(25-26九年级上贵州毕节阶段检测)如图，在锐角三角形ABC中，边BC=6,高AD=4,矩形 EFGH的顶点E,H分别在AB,AC上，F,G在BC上，AD与EH交于点N, B DG C (I)试说明：△AEH∽△ABC: (②)若矩形EFGH是正方形，求EH的长： 10.(2026江苏徐州·一模)探究活动：类比直角三角形全等判定的经验，开展对直角三角形相似判定的 探索 探究过程： BD DE (I)如图，在AABC中，D,E分别在边AB,BC上，且BA=AC, ①若∠B=90°，求证：△DBE∽△ABC: ②若90°<∠B<180°，求证：∠BDE=∠BAC: 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 结论应用： (②)如图，在矩形ABCD中，点E的运动轨迹为直线BC上的一部分，为线段BC(不与点C重合)，作 EF⊥AC于点F.若G为边CD右侧一点，且DG=EF,∠CGD=∠AEC.请用无刻度的直尺与圆规，画 出点G的运动轨迹，并参照题干中点E运动轨迹的表述方式对点G进行描述（保留作图痕迹，不写作法）， B 题型二：反“A”字模型 11.(2425九年级上·宁夏银川期末)如图，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是() B C A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C C.c D.AC AB ADAE 12.(25-26九年级上·浙江绍兴期末)如图，能使△ABC△ADE成立的条件是() A A.∠A=∠A B.∠ADE=∠AED AD AE AE DE C.AB AC D.ABBC 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(2026江苏徐州·一模)如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD=3,CD=1,要使 △ADBP△ABC,则AB的长为 14.(25-26九年级下·黑龙江大庆期中)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC、AB上，且 AEAB=ADAC,连接DE,求证：△ADEn△ABC. B 15.(19-20九年级上全国课后作业)如图，BD,CE分别是AC与AB边上的高. 求证：△ADE一△ABC 16.(25-26九年级下·湖南衡阳开学考试)如图，D是△ABC的边AB上的一点，∠A=∠BCD. D (1)△BCD与△BAC相似吗？请说明理由. (2)若BD=4 ’AB=3,求BC的长. 17.(25-26八年级下·山东济南期末)如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且 ∠AED=∠C 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C (L求证：△AED∽△ACB; (2)若AB=9,AD=6,AC=7,求AE的长. 18.(2026广东中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2V5，点D在AB上，且 BD=3AD,连接CD.过点A作CD的垂线交CD于点E,交BC于点F,连接BE,AE=2 ()求CE的长： (2)求证：BD2=9DE·DC: SABEE 3)求SA的值. 19.(25-26八年级下·江苏准安·期末)数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程， 更是培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一 基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD 4 D ① ② C A ③ ④ 【初步探究】 (I)如图①，在R△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,则△ACDn△_∽a (2)如图②，若∠ACD=∠B,求证：AC2=AD·AB: 【尝试应用】 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图③，在(2)的条件下，若点D为AB的中点，CB=4,求CD的长； 【创新提升】 (④如图④，点E为CB的中点，连接DE,若LCDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EDB,AC=T5,直接写 出AD的长为_ 20.(2026广东清远·三模)已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点 G D B 图1 图2 图3 【问题发现】 DE (①)如图L,若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G,则CF=一 【拓展研究】 DE ②)如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G,AB=3,AD=5,则CF=一： 【解决问题】 DE AD ()如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC=180时，求证：CFcD 题型三：双“A”字模型 21.(2026安徽六安一模)如图，在△ABC中，DE垂直平分边BC,垂足为点D,交AB于点E,点G 为CD的中点，连接AG与CE交于点F.若AG=AC,则下列结论错误的是()， E B DG C FG 1 A.AF-3 B.3 C.CF7 EF 4 BE 4 AE 12 D.CF5 22.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，在△ABC中，AC=2,BC=3,∠C=60°，D为AB边 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E,过点E作AB的平行线交BC于点F. D B F (I)求证：△ADE∽△EFC: (2)若DE:CF=2:3,求△ADE与△ABC的面积比. 23.(25-26八年级下·山东威海期末)如图，在四边形ABCD中，AD/BC,对角线AC,BD交于点F, G是AB的中点，CG交BD于点E,连接AE,AG=GE·GC求证： G (1)∠GAE=∠GCA: (2)AD2 DF.DE. 24.(2026陕西宝鸡·模拟预测)在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了 路灯.如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高l.2m(即CP=1.2m),小军站在点N处. 在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP=0.4m,小军留在路面上的影长NF=3m.已知小军的身 高MN=l.8m,CN=15m,AB⊥CD,MN⊥CD,CP⊥P№，CD∥P№.求路灯AB的高度. N FD O EP B 25.(2025九年级上全国·专题练习)定义：在△ABC中，点D和点E分别在AB边、AC边上，且 DE∥BC,点D、点E之间的距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为DE关于BC的横纵比.已知， 在△ABC中，BC=4,BC边上的高AH长为3，DE关于BC的横纵比为2：3，求DE的长. 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E H 26.(24-25九年级上吉林长春·开学考试)如图，在锐角△ABC中，点DE分别在边AB、AC上， AG⊥BC于G,AF⊥DE于F,∠DAF=∠GAC. E B G (I)求证：△ADEAACB: (2)若AE=5,AB=12,AF=4,则AG= 27.(24-25九年级上：广东阳江阶段检测)在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射 线BC上. E 图1 图2 CD 1 ()如图1，点D在BC边上，BD2,AD与BE相交于点P,过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点 AP F, 易得PpD的值.请你写出求解过程. CD 1 AP (②)如图2，点D在BC的延长线上，AD与4C边上的中线BE的延长线交于点P,BC-2,求PD的值. 28.(26-27九年级全国暑假作业)基础学习 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E M C B D E 图1 图2 图3 (I)如图1，在△ABC中，D,E,F分别为AB,AC,BC上的点，DE∥BC,AF交DE于点G,求证： DG BF EG CF 尝试应用 (2)如图2，已知D、E为△ABC的边BC上的两点，且满足3BD=3DE=CE,一条平行于AC的直线分别交 PO AB、AD和AE于点PO和M,求QM的值. 拓展提高 (3)如图3，矩形ABCD中AB=3a,AD=2a(a为常数)，点E是矩形AB边上的一个动点，延长BA至点 F,使AF=2AE,连接DE,CF,DE与CF相交于点G,连接BG,求BG的最小值（用a的代数式表 示). 10/10 专题01 相似三角形中的（双）A字型的三种模型 题型一 “A”字模型 题型二 反“A”字模型 题型三 双“A”字模型 题型一：“A”字模型 1．（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 3．（2026·宁夏银川·一模）已知：如图，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，求出相似比，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即． 4．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 5．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：在与中，，．求证：． 【答案】证明：不妨假设，在上截取，在上截取，连接，如图所示， ，，， ， ，，， ． ， ， ， 过点E作，交于点F， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ∴． 【分析】在上截取，在上截取，证明，，,，解答即可； 【详解】略 6．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接，F是延长线上一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边对等角，三角形中位线定理，相似三角形的判定． 根据等边对等角得到，证明是的中位线，得到，即，，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 8．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，结合，求出， 即可求解； （2）证明四边形是平行四边形，得出，根据平行线分线段成比例可得，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 9．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 10．（2026·江苏徐州·一模）探究活动：类比直角三角形全等判定的经验，开展对直角三角形相似判定的探索． 探究过程： (1)如图，在中，分别在边上，且． ①若，求证：； ②若，求证：； 结论应用： (2)如图，在矩形中，点的运动轨迹为直线上的一部分，为线段（不与点重合），作于点．若为边右侧一点，且，．请用无刻度的直尺与圆规，画出点的运动轨迹，并参照题干中点运动轨迹的表述方式对点进行描述（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①已知，结合比例式，利用直角三角形相似的类比判定（斜边、直角边对应成比例，两直角三角形相似）证明； ②构造直角三角形，过、分别作的垂线，利用①的相似结论推导角相等； （2）由，， ，类比（1）的相似结论，可得 ，因此点的运动轨迹为直线上的一部分，其中，交于点，为线段（不与点重合）． 【详解】（1）证明：①， 与均为直角三角形，直角分别为、， 在和中，， （斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似）； ②过点作交延长线于，过点作交延长线于， ， ， ， ， 又， ， 结合， 由①得， ， 又， ， ． （2）解：画图如图2所示． 点的运动轨迹为直线上的一部分，其中，交于点，为线段（不与点重合）． 如解图2，由题意得， ， ， ， ，， ， ，， 由题意得 ， 同理可证， ， 四边形是矩形， 对角线互相平分且相等， 设交于点， 则， ， ， , 当点与点重合时，点与点重合，即， ． 题型二：反“A”字模型 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴当时，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，不能判定与相似； 当，根据两组对应边成比例，夹角相等，能判定与相似； 故只有C选项符合题意. 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，能使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】解：由题意得，， 若添加，利用两边及其夹角法可判断， 故选项C符合题意； 、、均不能判定，故不符合题意． 故选：C． 13．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 14．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 15．（19-20九年级上·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 16．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2) 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由可得，代入，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴． （2）解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2) 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (3)2 【分析】（1）直接由勾股定理求解即可； （2）证明，得到，再由代入求证即可； （3）先证明点为的中点，然后求出，，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】 (1)如图①，在中，，，则 ． (2)如图②，若，求证：； 【尝试应用】 (3)如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】 (4)如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 【答案】(1)；； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∴； (3) (4) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，可知，即可根据两角分别相等的两个三角形相似得到结论； （2）根据题意易得，然后根据相似三角形对应边成比例即可解答； （3）先由，结合点D为的中点，可推出，进而根据，列出比例式即可解答； （4）取的中点，连接，根据三角形的中位线性质可知，，接着由等角对等边和三线合一可推出，，从而证得，得到，然后由30度直角三角形的性质和勾股定理，结合比例式可推出，即可在中，利用勾股定理建立方程求得，进而得到的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）可知，，， ∴， 又∵点D为的中点，即， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （4）解：如图，取的中点，连接， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 即， ∴（负值已舍）， ∴． 20．（2026·广东清远·三模）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案； （2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案； （3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）略 题型三：双“A”字模型 21．（2026·安徽六安·一模）如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分边，推出，，，结合，推出和，根据性质可判断选项的值． 【详解】∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点为的中点， ∴， ∴， ∵设，， ∴， ∴． 选项A正确，不符合题意． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项B正确，不符合题意． ∵， ∴设，则，， ∴． ∴． ∴选项C正确，不符合题意． ∴． ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 22．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【答案】(1)证明见解析； (2)与的面积比为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据平行相似证明、，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． 同理： ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴设，， ∴． ∵由（1）得， ∴． ∴与的面积比为． 23．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，，对角线，交于点，是的中点，交于点，连接， ．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)∵ ， ∴． ， ． ． (2)点是的中点， ． ． ， ． ． ，， ． ， ． ． ， ． ． ∴． 【分析】（1）由，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，进而证明，则根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）略 （2）略 24．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】令交于点，设，推导出，，得到，，则，，推导出四边形是平行四边形，可得到，，推导出，得到， 解得，则，即可解答． 【详解】解:如图 令交于点，设， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， 由，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答:路灯的高度为． 25．（2025九年级上·全国·专题练习）定义：在中，点D和点E分别在边、边上，且，点D、点E之间的距离与直线与直线间的距离之比称为关于的横纵比．已知，在中，，边上的高长为3，关于的横纵比为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． 根据题意作出图形，由平行可得，列出比例式，设，，代入数值求解即可． 【详解】解：如图， ， ，， ， 相似三角形的高的比等于相似比， ， 关于的横纵比为， 设，， ， ， 解得， ． 26．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在锐角中，点分别在边上，于，于，． (1)求证：； (2)若，，，则______． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由垂直可得，进而利用余角性质可得，据此即可求证； （）由可得，再证明，得到，据此即可求解； 本题考查了余角的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·广东阳江·阶段检测）在△ABC中，，BE是边上的中线，点D在射线上． (1)如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值．请你写出求解过程． (2)如图2，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值． 【答案】(1)，过程见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有，．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 28．（26-27九年级·全国·暑假作业）基础学习 (1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，交于点G，求证：． 尝试应用 (2)如图2，已知D、E为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交和于点P、Q和M，求的值． 拓展提高 (3)如图3，矩形中 (a为常数），点E是矩形边上的一个动点，延长至点F，使，连接，，与相交于点G，连接，求的最小值（用a的代数式表示）． 【答案】(1)证明：， ，， ，， ， ； (2)； (3) 【分析】（1）由题意得：，，根据相似三角形的性质得到，进而证明出结论； （2）过点M作交于点H，交于点N，交于点G，由（1）中结论可得，，根据，证明，，，，根据相似三角形的性质可得，整理可得； （3）如图，连接并延长交于点H，连接，证明，求出，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，利用勾股定理求出，由，即可求出的最小值为． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点M作交于点H，交于点N，交于点G， ∵， ∴由（1）中结论可得， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； （3）解：如图，连接并延长交于点H，连接， 由矩形的性质可得，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点H为定点，点G在线段上运动， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01相似三角形中的（双)A字型的三种模型 题型归纳 题型一“A”字模型 题型二反“A”字模型 题型三双“A”字模型 题型专练 题型一：“A”字模型 1.B 2.B 3.1:9 4.证明：.DE∥BC, ∴.∠B=∠ADE,∠C=∠AED. .△ABCAADE 【详解】略 5.证明：不妨假设AB>AB,在AB上截取AD=AB,在AC上截取AE=AC,连接DE,如图所示， ∠A=∠A,AD=AB,AE=AC, aADE≌aAB,C(SSS), .∠ADE=∠ABC,∠AED=∠C,DE=B,C, '∠B=∠B. C.∠ADE=∠B .DE∥BC 1/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AE ABAC· 过点E作EFI‖AB,交BC于点F, 则四边形DEFB是平行四边形， :DE FB, .EF IAB. BFAE BC AC DE AE BC AC' AD DE AE AB BC AC ..4B-BC=AC AB BC AC :∠A=∠A,∠B=∠B, ∠C=∠C, .△ABC∽△AB,C. ABBCAC 【分析】在AB上截取AD=AB,在AC上截取AE=AC,证明AB=BC FAC，∠A=∠A, ∠B=∠B,∠C=∠C,解答即可： 【详解】略 6.见解析 【分析】本题考查了等边对等角，三角形中位线定理，相似三角形的判定， 根据等边对等角得到∠A=∠B,证明DE是△ABC的中位线，得到DE‖AB,即∠CDE=∠A, LCED=∠B,进而得到∠CDE=∠F,即可证明△CDE∽△DFE 【详解】证明：：AC=BC, ∴.∠A=∠B, D、E分别是边AC、BC的中点， .DE是△ABC的中位线， 即DEI‖AB, ∴.∠CDE=∠A,∠CED=∠B. .∠CDE=∠B, 2/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠F=∠B, ∠CDE=∠F, .·∠CED=∠DEF, ∴.△CDE∽△DFE 7.(1)证明：∠A=40°，∠B=65°， .∠C=180°-40°-65°=75°， ∴.∠C=∠AED, 又，∠A=∠A, △ADE~△ABC: 、25 ②2 【分析】(1)根据两组对应角相等，证明△ADE一△ABC; (2)根据相似三角形对应边成比例列式求解. 【详解】(1)略 (2)解：AD:BD=2:3, AD 22 六4B2+35, ·△ADE一△ABC, AD AE AB AC' 25 即AC, 解得：AC=25 2· 8.(1)8 3 (2② S.ADE=1 【分析】(1)证明。ADEABC,根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得S 9,结合 SMDe=1,求出SMc=9,即可求解： BF BD (2)证明四边形DFCE是平行四边形，得出DE=FC,根据平行线分线段成比例可得FC=AD,求出 FC=3 ,即可解答。 3/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：，DE/BC, ∴△ADE△ABC, AD 1 :DB2' AD ABAD+DB3' S.4DE=1, .S,unc=9, .S四边形BCED=S。ABC-S。ADE=9-1=8, (2)解：：DElIBC,DF∥AC, ∴.四边形DFCE是平行四边形， .DE=FC. :DF∥AC BF BD ·FCAD AD 1 DB2' BD 2 ·AD1 BF=3, .3-2 …FC1 解得FC=3 .DE=FC=3 2· 9.(1)见解析 12 (②EH的长为5 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结 合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解. 4/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明 △AEHP△ABC: (2)设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比 等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即EH的长， 【详解】(I)解：，四边形EFGH是矩形， .EH BC, .△AEH∽△ABC: (2)解：设正方形EFGH的边长为x,则EH=EF=x,AN=AD-EF=4-x. ,△AEH∽△ABC, 、AW_EH4-X-x DBC,即46解得xs 59 12 ·EH的长为5 10.(1)①见解析，②见解析 (2)见解析 BD DE 【分析】(1)①已知∠B=90°，结合比例式BAAC,利用直角三角形相似的HL类比判定（斜边、直 角边对应成比例，两直角三角形相似)证明： ②构造直角三角形，过D、A分别作BC的垂线，利用①的相似结论推导角相等： (2)由EF⊥AC,DG=EF,∠CGD=∠AEC,类比(1)的相似结论，可得△CGD∽aAEC,因此点 G的运动轨迹为直线DH上的一部分，其中DH⊥BD,CH∥BD交DH于点H,为线段DH(不与点D 重合)， 【详解】(1)证明：①：∠B=90°， ∴△DBE与△ABC均为直角三角形，直角分别为∠B、∠B, BD DE 在RtDBE和Rt△ABC中，BAAC, :.Rt△DBE∽RtAABC(斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似)； ②过点D作DG⊥BC交CB延长线于G,过点A作AF⊥BC交CB延长线于F, :∠DGB=∠AFB=90°，∠DBG=∠ABF, ∴ADBG△ABF BD DG BAAF· 5/24 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD DE 又BAAC DG DE AFAC’ 结合∠DGE=∠AFC=90°， 由①得RtADGE∽RtAAFC, .∠GDE=∠FAC, 又AF I DG, .DEll AC, .∠BDE=∠BAC FGB 图1 (2)解：画图如图2所示 点G的运动轨迹为直线DH上的一部分，其中DH⊥BD,CH∥BD交DH于点H,为线段DH(不与点 D重合)· B E 图2 如解图2，由题意得∠EFC=∠ABC=90°， :∠ECF=∠ACB, ,∴.△EFCr△ABC, EF EC ABAC· EF=DG,AB=CD DG EC CDAC' 6/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '∠CGD=∠CHD+∠GCH=90°+∠GCH≥90°，∠AEC=∠ABE+∠BAE=90°+∠BAE≥90°， 由题意得∠CGD=∠AEC, ∴∠CGD=∠AEC≥90°， ∴.同理可证aDGC∽aCEA, .∠CDG=∠ECA, 四边形ABCD是矩形， .对角线互相平分且相等， 设AC,BD交于点O, 则A0=OC=B0=OD .∠BDC=∠ACD .∠GDC+∠BDC=∠ECA+∠ACD=90°， ∴.DG⊥BD 当点E与点B重合时，点G与点H重合，即∠DHC=∠ABC=90°， .CH∥BD 题型二：反“A”字模型 11.C 12.C 13.25 14.见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可. 【详解】证明：，AEAB=ADAC, AE AC .AD AB' 又.∠DAE=∠CAB. .△ADEP△ABC 15.见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.根 据BD,CE分别是AC与AB边上的高，得到∠ADB=∠AEC=90°，根据相似三角形的判定和性质定理即 可得到结论 7/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：证明：BD,CE分别是AC与AB边上的高， .∠ADB=∠AEC=90°， ∠A=∠A, △ADB∽△AEC, AEAC .'AD AB' AEAD 即ACAB' :∠A=∠A, ∴.△ADE△ABC 16.(1)相似，理由见解析 (2)BC=2 【分析】(1)由∠A=∠BCD,∠B=∠B,即可证明△BCD∽△BAC: BD BC 4 (2)由△BCD△BAC可得BCAB,代入BD=3 3’AB=3即可求解 【详解】(1)解：△BCD∽△BAC,理由如下： :∠A=∠BCD,∠B=∠B, ∴.△BCD∽△BAC (2)解：由(1)可得△BCD∽△BAC, 、BDBC BC AB' 4 .BC2=BDAB=号x3=4, 3 .BC=2 17.(1)证明：∠AED=∠C,∠A=∠A, △AED∽△ACB: 份B=号 【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； (2)利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可. 【详解】(1)略： (2)解：aAED∽aACB」 8/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AEAD AC AB' AB=9,AD=6,AC=7, AE6 .79 AE=14 3· 18.(1)4 (2) 证明：：∠BAC=90°，AE⊥CD, .∠AED=∠CAD=90°，∠DAE=∠ACD=90°-∠ADC, .∠ADE=∠CDA」 △ADE∽△CDA, AD DE CD AD .AD2 DE.DC .BD=3AD ..BD2=9AD2 .BD2=9DE·DC: (3)2 【分析】(1)直接由勾股定理求解即可： (2)证明△ADE∽△CDA,得到AD=DE·DC,再由BD=3AD代入求证即可； (3)先证明点F为BC的中点，然后求出AF,EF,再由共高三角形面积比等于底之比求解即可. 【详解】(1)解：：AC=2N5,AE=2,AE⊥CD, .CE=AC2-AE2 =4; (2)略 (3)解：由(2)知∠DAE=∠ACD, :AE⊥CD ∴.∠AED=∠CEA=90°， .△AEDP△CEA, AE DE AD ∴·CE AE AC' 9/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 DE AD …4225' :.DE=1,AD=5, .BD=3AD=35. .AB=AD+BD=45. .AD×AB=V5×4V5=20, :AC2=(25=20, .AC2=AD×AB, AD AC :AC AB' .∠DAC=∠CAB, .△DACACAB, .∠ACD=∠ABC, :∠DAE=∠ACD .∠DAE=∠ABC, .FA=FB, .∠BAC=90°， ∴.∠DAE+∠FAC=∠ABC+∠FCA=90°， .∠FAC=∠FCA, .FC=FA, .FB=FC. .∠BAC=90°， a-8c-xac+B-X5(4可-5， :EF=AF-AE=3, 设S。MDE=S, .BD=3AD」 .S.BDE =38 .SAABE SAADE+SABDE=4S, 10124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE 2 :EF3’ S△ME=AE_2 ·SABEF EF=3. '.S.BEF =6S SA旺_6S=2 ·SARDE3S 19.(1)CBD:ABC; (2)证明：：∠ACD=∠B,∠A=∠A, .△ACDn△ABC, AC AD AB AC' .'AC2=AD.AB; (3)2√2 (4V21 【分析】(I)根据直角三角形两锐角互余，可知∠CAD=∠BCD,即可根据两角分别相等的两个三角形相 似得到结论； (2)根据题意易得△ACD∽△ABC,然后根据相似三角形对应边成比例即可解答； AD 2 (3)先由AC=ADAB,结合点D为AB的中点，可推出AC=2,进而根据ACDABC,列出比 例式即可解答； (4)取BD的中点F,连接CF、EF,根据三角形的中位线性质可知EF ICD,CD=2EF，接着由等角 CD AD 对等边和三线合一可推出CF⊥BD,∠ADC=∠EFD=150,从而证得ADC6EFD,得到DF=EF, 然后由30度直角三角形的性员和@股定理，第合比例武可推出023F-3C中，即可在A4Cg一 3 3 中，利用勾股定理建立方程求得CF,进而得到AD的长 【详解】(1)解：∠ACB=90°，CD⊥AB, :.∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°， ∴.∠CAD+∠CBD=∠BCD+∠CBD=90°， .∠CAD=∠BCD .△ACDACBD. 11/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAD=∠BAC, .△ACDP△ABC, .△ACDACBD∽△ABC: (2)略 (3)解：由(2)可知，△ACD△ABC,AC2=AD·AB, AD CD AC-BC' 又，点D为AB的中点，即AB=2AD, .AC2=AD.2AD=2AD2, AD√2 AC 2 .CB=4, .CD=2√2： (4)解：如图，取BD的中点F,连接CF、EF, C D B ④ :点E为CB的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ..EF II CD,CD=2EF, .∠EFB=LCDB, .∠CDB=∠CBD=30° .CD=CB,∠EFB=∠CDB=30° ∴.CF⊥BD,∠ADC=∠EFD=180°-30°=150°， 又：∠ACD=∠EDB. .△ADC∽△EFD CD AD ·DFEF' .∠CFD=90°，∠CDF=30°， 12124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.CD=2CF,DF=CD2-CF2=3CF, .EF=CF. AD CD 2CF 2 .EF=DF√3CFV3' 4D-25Er=25 3 3 CF, 4F AD+DF=213 -CF+3CF=53 CF, 3 在RIAACF中，AC=7V3,AC2=AF2+CF2, 可-scrc .C=3 2 :(负值已舍)， 4D=23x35 3x2 20.(1)1 a (3)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∠B=∠CDF, ∠B+∠A=180°， ∠B+∠EGC=180°， ∴∠EGD=∠A, .∠EGD=∠DGF, ∠DGF=∠A, :∠FDG=∠EDA, AFDG△EDA, DG DF DA DE' DG DA DE DE' ∠B+∠EGC=180°，∠B=∠CDF, .∠CDF+∠EGC=180°， 13124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠CGD+∠EGC=180°， .∠CGD=∠CDF. :∠DCG=∠FCD, ∴ADCG∽aFCD, DG CD FD CF' DA CD DE CF DE AD CFCD· 【分析】(I)先根据正方形及直角三角形的性质证明△AED≌△DFC,再根据全等三角形的性质得到 DE=CF,即可求得答案： (2)先根据矩形及直角三角形的性质证明△AED∽△DFC,再根据相似三角形的性质求得答案： DG DA DG CD DA CD (3)先证明aFDG∽aEDA'得到DF=DE,再证明DCG-AFCD,可得FD-CF,所以DE-CF, 即可证明结论. 【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形， .∠A=∠FDC=90°，AD=DC, .∠AED+∠ADE=90°， DE⊥CF, .∠DFC+∠ADE=90°， ∴.∠AED=∠DFC, ∴△AED≌△DFC(AAS). :DE=CF DE F=1: (2)解：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠FDC=90°，DC=AB=3, ∠AED+∠ADE=90°， .DE⊥CF .∠DFC+∠ADE=90°， .∠AED=∠DFC, 14124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△AEDP△DFC, DE AD 5 CF DC3 (3)略 题型三：双“A”字模型 21.D 22.(1)证明见解析： (2)△ADE与△ABC的面积比为4：25 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握 相似三角形的判定与性质定理是解题的关键. (I)根据平行相似证明△ADE一△ABC、△EFC∽△ABC,即可得出△ADE∽△EFC: (2)先证明四边形BDEF为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方 的性质解答即可. 【详解】(I)解：DE∥BC, ∴.∠ADE=∠ABC 在△ADE和△ABC中， ∠A=∠A ∠ADE=∠ABC' .△ADE∽AABC 同理： :AB∥EF, .∠EFC=∠ABC :在△EFC和△ABC中， [∠C=∠C ∠EFC=∠ABC: .△EFC∽△ABC ∴.△ADE∽△EFC (2)DE∥BC,AB∥EF, ∴.四边形BDEF为平行四边形， .DE BF. 15124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE:CF=2:3, 设DE=2x,CF=3x, BC=BF+CF=DE+CF=5x ,由(1)得△ADE一△ABC. :S ABC - .△ADE与△ABC的面积比为4：25， 23.(1).AG2=GE.GC, AG GC ·GEAG ∠AGE=∠CGA, ∴.△AGEACGA, .∠GAE=∠GCA」 (2)点G是AB的中点， ..AG=BG BG GC GE BG ∠BGE=∠CGB, .△BGEACGB .∠GBE=∠GCB :∠AED=∠ABE+∠BAE,∠ACB=∠GCB+∠GCA, .∠AED=∠ACB AD//BC. .∠DAC=∠ACB .∠DAC=∠DEA. :∠ADF=∠EDA, .△ADF∽△EDA. AD DE .∴.DEAD .AD2=DF.DE. GE GA 【分析】(1)由GA=GBGC,则GAGc,即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明 16124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △EGA∽aAGC,则∠GAE=∠GCA: (2)先证明△BGE∽aCGB,得∠GBE=∠GCB,则LAED=∠GAE+∠GBE=∠GCA+∠GCB=∠FCB,由 AD‖BC,得∠DAC=∠ACB,进而证明△ADF∽△EDA,则根据相似三角形的性质可求证. 【详解】(1)略 (2)略 24.路灯AB的高度为10.2m 【分析】令AB交CD于点H,设CH=x,推导出PC‖AB,AB∥MN,得到△EPC△EBA, EP_PC FN_MN 0.41.2 AMNF6AHF,则EBAB,F京AH,推导出四边形PBHC是平行四边形，可得到O.4+xAB, 3 1.8 3 1.8 18-x=4B-1.2,推导出AB=1.2+3x,得到18-x1.2+3x-1.2, 解得x=3,则AB=1.2+3×3=10.2(m),即可解答. 【详解】解：如图 H N FD 心用用 令AB交CD于点H,设CH=x, :AB⊥CD,MN⊥CD.CP⊥PQ PC∥AB.AB∥MN, :∴△EPC∽△EBA,△MNFP△AHF, EP PC FN MN EBAB'FHAH· CD∥PQ, .四边形PBHC是平行四边形， ∴PB=CH=x,BH=PC=1.2, ∴.EB=0.4+x,FH=15-x+3=18-x,AH=AB-1.2, 0.41.231.8 0.4+xAB’18-xAB-1.2' 0.4_1.2 由0.4+x-AB,得AB=1.2+3x 17124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 1.8 18-x1.2+3x-1.2 解得x=3, 经检验，x=3是原方程的解， .AB=1.2+3×3=10.2(m). 答：路灯AB的高度为10.2m. 4 25.3 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握知识点是解题的关键。 根据题意作出图形，由平行可得△ADE一△ABC,列出比例式，设DE=2a,GH=3a,代入数值求解即 可. 【详解】解：如图， A D G E C H ·DE∥BC .∠ADE=∠B,∠AED=∠C, .△ADE~△ABC, ,相似三角形的高的比等于相似比， AG DE .AH BC' DE关于BC的横纵比为2：3， .设DE=2a,GH=3a, .AG=AH-GH=3-3a. 3-3a_2a .3 49 2 解得a=3, DE=2x2、4 33· 26.(1)证明见解析； 18/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 48 (25· 【分析】(I)由垂直可得∠AFD=∠AGC=90°，进而利用余角性质可得∠ADF=∠C,据此即可求证： AD AE 5 AF AD （2)由。ADEA4ACB可得AC=ABI2,再证明。4 DFV&ACG,得到AGAC, 据此即可求解； 本题考查了余角的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键， 【详解】(I)证明：，AF⊥DE,AG⊥BC, ∴.∠AFD=∠AGC=90°， :.∠DAF+∠ADF=90°，∠GAC+∠C=90 .∠DAF=∠GAC, ∠ADF=∠C, 又，∠DAE=∠CAB, .△ADEAACB: (2)解：，△ADE△ACB, AD AE 5 ∴ACAB121 .∠AFD=∠AGC=90°，∠ADF=∠C, .△ADF∽△ACG. 、AFAD ∴AGAC, 45 即4G12' :AG=48 5, 48 故答案为：5· 3 27.()2,过程见解析 0 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平 行线构造全等三角形是解题的关键. (1I)先证△AEF≌△CEB,则有AF=BC.设CD=k,则DB=2k,AF=BC=3k,由AF∥BC可得 △APF∽△DPB,然后根据相似三角形的性质求解即可； 19124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD 1 (2)如图：过点A作AF∥DB,交BE的延长线于点R,设DC=k,由BC2得BC=2k, DB=DC+BC=3k.易证△AEF≌△CEB,则有EF=BE,AF=BC=2k.易证△APFADPB,然后根 据相似三角形的性质求解即可. 【详解】(I).AF∥BC, ∠F=∠EBC, ,BE是AC边上的中线， .AE=EC, ∠AEF=∠BEC, .△AEF≌aCEB(AAS), .'AF=BC, 设CD=K,则DB=2k,AF=BC=3k, :AF∥BC, ,△APFP△DPB, PA AF 3 ∴PDBD2 (2)解：如图：过点A作AF∥DB,交BE的延长线于点F, PNE D B CD 1 设DC=k'由BC=2得BC=2k,DB=DC+BC=3k· E是AC中点， .'AE=CE ,AF∥DB, .∠F=∠PBD, 在△AEF和△CEB中， 20124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠F=∠PBD ∠AEF=LBEC, AE=CE ,△AEF≌aCEB(AAS), ∴.AF=BC=2k, AF∥BC, .△APF∽aDPB, PA AF 2k 2 ·PDBD3k3 28.(I)证明：DE∥BC .△AGD∽AAFB,△AFC∽△AGE, DG AG GE AG BFAF,FCAF· DG GE BF FC DG BF EG CF 3 25 d50 DG GE 【分析】(1)由题意得：AAGD∽aAFB'△AFC∽aAGE,根据相似三角形的性质得到BF-FC,进而 证明出结论： (2)过点M作HG∥BC交AB于点H,交AD于点N,交AC于点G,由(1)中结论可得， 3HN=3MN=MG,根据PM∥AC,证明△APOAAFB,△AFCn△AGE,△HPM∽aHAG, 3AG P92 3 根据相似三角形的性质可得PQ+QM2QM_1,整理可得OM= △NQM∽ANAG AG5AG4 AG 4 (3)如图，连接AG并延长交CD于点H,连接BH,证明△AEG∽aHDG,△AFGAHCG,求出HD=a, 由此可得：点H为定点，点G在线段AH上运动，当BG⊥AH时，BG有最小值，利用勾股定理求出 H=VD+AD-5o:自5m号sC=号4H9G,即可求出G的最小佰为a 2 【详解】(1)略 21124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图，过点M作HG∥BC交AB于点H,交AD于点N,交AC于点G, H M G D E 图2 .HG∥BC, HN MN MG 由(1)中结论可得BD=DE EC· .3BD=3DE=CE, ..3HN =3MN MG, :PM∥AC, ∴.△HPM∽aHAG,△NQM∽aNAG. PM HM OM MN AG-HG'AG NG' PO+OM HN+MN OM MN AG HN+MN+MG'AG MN+MG PO+OM HN+HN 2 OM MN -1 AG HN+HN+3HN 5'AG MN+3MN 4' PO OM 2 AGAG5' PO 3 .AG20 .P2= 4G,M0=4G, 3 20 4 3 G P=20 3 OM G 1 5: (3)解：如图，连接AG并延长交CD于点H,连接BH, 22124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 】 H B 图3 由矩形的性质可得AB‖CD,AB=CD. .∴AAEG∽△HDG,△AFG∽△HCG, 68, AF AG HC HG AEAF HD HC' AF =2AE, .HC=2HD, AB=CD=3a, ∴.HD=a, ∴点H为定点，点G在线段AH上运动， 由垂线段最短可知，当BG⊥AH时，BG有最小值， ·HD=a,AD=2a .AH=HD2+AD2=5a, BG⊥AH, .Sw-AB-BC-G. :BG=4B.8C-55a, AH 5 即BG的最小值为5a, 23124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24124