01解三角形求定值专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形求定值，通过题型分类（正余弦定理应用、边角互化）与变式训练，构建从基础到综合的知识逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01|5题（2例3变式）|正余弦定理直接应用|三角形基本量计算→四边形综合| |题型02|5题（2例3变式）|边角互化策略|边化角/角化边→面积与角的求解| |基础训练|5题|核心公式简单应用|巩固定理直接计算能力| |能力提升|3题|综合应用（面积、半径等）|从单一求解到多知识点融合|

解三角形求定值专项练习（一） 题型01：正弦与余弦定理解三角形 【例1】1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,bC,若 =2,c=3,C= 3, 则cosB= 【例2】2在RIABC中，∠C=90°.AB=3,∠ABC= 4,设以A为圆心，以2为半径的 BC E,F EF 圆与交所在直线交于两点，则的长度为一 【变式1】3.在凸四边形ABCD中，已知∠BAD+∠BCD=π，四边形对角线为 AB=AD=2,BD=2N5,BC=3,AC,BD交于点M.则四边形ABCD的面积为 【变式2】4在△ABC中，AB=2N2,BC=V5,∠A=45°，D为AC上一点，2AD=DC,则 BD的长度为 【变式3】5.如图2所示，在凸四边形ABMN中，已知∠ABM=30°，∠BAN=45°， ∠WMN=60,∠MN=90,AB=25,则M的长度为 图2 题型02：边角互化解题策略 5asin4+B=csin4 【例1】1.在△ABC中，内角AB,C的对边分别为4，b,C,且 2 ,则内角C 的值为。 【例2】2.在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,且c-2 bsinC=0,b=1,a=V5,则 △ABC的面积为一 2v3 【变式1】3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为4，b,c,它的外接圆半径为3，且 3v3csin A=4v3 sin B-3a cos C 则角4= 【变式2】4记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos A+bcos(A+C)=0, b=1,c=√3，则△ABC的面积为一： 【变式3】5.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若b=1且 (a2+b)sin(A-B)=(a2-b)sin(A+B),则a的值为 基础训练 1记ABC的内角C的对放分为4OG,有BC的面积为S3松+c2- 则内角A的值为 2.在4ABC A,B,C a,b,c 2bsinA=3a 中，角 所对的边分别为 .己知 则角B的值为 B 3在AMBC中，内角4、A、C的对边分别为ab、c,且a=bc0sC+V5csi血B,则B= 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=3,4 bcos A+-4 acos B=3b,则a= 5在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a+b+c=6, (sin 4+sin B)cosC=sin 2C,C 2,则c=一，若C= 4,则△4BC的面积S= 能力提升 1在aBC中，角么BC的对边分别为a么c,满足cosS+ceos号=。 2 220,且 AB AC 1 1AB1AC12,若b=2,求△ABC的面积 2i记6BC的内角么B,C的对边分别为a,b.c已知4是锐角。c02A= 8 a+c (1)若a=bsin4,求b的值： ②四若a=25,b=2cCD,AD平分∠BC,求△1CD的面积 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a+b+c=6, (sin 4+sin B)=2sinC.C 3,则△ABC的内切圆半径与外接圆半径的比值为一 《解三角形专项练习》参考答案 题型01：正弦与余弦定理解三角形 3-√6 1.【答案】 6 a,==25=2sinA=5 【详解】由正弦定理，sinA sinC sinA, 3 由题可知大边对大角， 因为 a<cA∈(0,3 √6 osA= 所以 3 所以 cosB=-cos(4+C)--(cos-si V351V63-√6 sin A)= 2 23236 2.【答案】万 【详解】设BE=,BF=x, 在△ABE中， 则3)2=x+32-2×3xcos4 在△ABF中， 1}=x32+32-2×3x,cos45 由上式可知是方程舒=x+3-2×3xco4西 的根， 方程整理得4x2-12V2x+11=0, EF=X2-X= 瓜-288-176=√万 由韦达定理可知 F E 173+9W7 3.【答案】 8 【详解】在△ABD中，由余弦定理得 COS ZBAD=AD+4B-BD:_4+4-12 1 2AD·AB 8 2 因为∠BAD∈(0，). BAD=2 DCB= 所以 .所以 3公 cos∠DCB=DC2+BC2-BD1 在△BCD中，由余弦定 2DC.BC 2 nDC=3+27 即DC2-3DC-3=0,DC>0,解得 2. S=S.m+SD-)AB-ADsin∠D1B+号BC.CDsin∠DCB x2x2xsin232 in9 32 2 “38 √6i 4.【答案】√5或3 C0sA=AC+4B-BC2 【详解】由余弦定理可知， 2AC·AB 2 于是可得，AC2-4AC+3=0,解得AC=1或AC=3. 在△ABD中，BD'=AB+AD2-2AB.ADcosA 百AC-3时奶D8+1-2x22x1X2今，B06 2 当4C=1时.D-.9D-8+写2x25x×0 9 329,所以BD=V 3 5【答案】5(V5+1) 【详解】由腿设B1M=105,∠1BM=30,则∠B=45,而4B=25 G=、AM,则AM=Bsin∠ABM 25x1 所以AB 2=0 sin∠AMB 2 sin∠AMB sin∠ABM 2 由MBN=120,∠B1N=45,则NB=15,而4B=25 又sin15° 1-c0s30 8-43√6-√2 2 16 4, 、AN,则AN=Bsin ABN 3v5x3 所以AB =310+30 sin∠ANB √6-2 sin∠ANB sin.∠ABN 4 MN=AM+4N-24MAN-COS MAN-10+30(+0x(3130) =V100+50W5=5(√3+1). 题型02：边角互化解题策略 2π 1.【答案】3 【详解1因为V5asin4;B=6sind, 2 由正弦定理，5 sin sin”,C=sin Csind 2 因为sin4≠0，结合诱导公式，可得V5cosS=simC 2 C sin C=2sin-cos- c0s≠0 又因为 2 2， 2 C-3 所以sin C 22,又因为2 ∈(0，。)，所以Cs7 3· √55 2.【答案】4或2 【详解】由正弦定理，sinC-2 sin BsinC=0 =1B=交5π sin B= 又因为sinC≠0，所以 2, 6或6. 1)当B= 6时，cos π_a2+c2-b23+c2-1 62ac 2W3c, 即c2-3c+2=0,解得c=l或2 当c=1时心=2aCs1n5=2V3×V3 24 当c=2时，S acsinB=5x{-5 2 22 2yB=.cos5-a+c2-63+c2-1 6 62ac2√3c 即c+3c+2=0 此时0=-或2，舍去 √5√5 综上，三角形面积为4或2· 3.【答案】6 【分析】根据正弦定理将原式进行边化角，再根据三角形中三角函数的诱导公式展开原式 进行计算即可 c=4v3 【详解】由正弦定理得， 3 sinc a-4 3 sin4 f代入3W5csin4=4V5sinB-3 acosC 化简得si血CsinA=5inB-5 sim AcosC, 3 3 sin CsinC sin cosc in doosc o sincsin ooCos sinC :C∈(0，π)，.sinC≠0，∴V3sinA=cosA,即 tan A=V3 3， 又Ae0动，4=君 √3√2 4.【答案】2或2 acos A+bcos(4+C)=0 【详解】由 ,得a cos A--bcos B=0 由正弦定理得sin AcosA--sin B cos B=0,所以sin2A=sin2B, 因为0<2A<2π，0<2B<2π，所以2A=2B或2A+2B=元， 所以A=B或A+B=C= 当A=B时，则a=b=lc=5,cC=+-C+13-！ 2ab 2×1×12 所以sinC=3 S=absinc- 2， 2 2 Cπ 当2时，则b=1,c=V3,由勾股定理a=VC2-b=√2 所以S=)b=V2 √5√2 21 2综上三角形面积为2或2· 5.【答案】1 【详解】由女+)5in(1-)=(女-小m4+得 b2 [sin(A-B)+sin(A+B)]=a2 [sin(4+B)-sin(A-B)] sin A.cos B a2 a b 即得bsin4,cosB=a2cos4:sinB,即cosA,SinB,再由正弦定理可得sinsinB a sinA 即h sin B' sin A.cos B a2 sin2A 所以 s4:sinB万=sin2B,所以sinA:cosA=sinB.cosB' 即2sin2A=)sin2B 1 1 因为△ABC为锐角三角形，解得A=B或A+B=90°（舍去）。 又因为b=1,所以a=1. 基础训练 1.【答案】3 b2+c2-a2=2bccos A 【详解】由余弦定理 所 2 -bccos A= 2 A= 所以tanA=3,A∈(0，π)，所以a一3. πn2π 2.【答案】3或3 【详解】因为2 bsinA=V3a,所以2 sinBsinA=V3sinA,因为sinA≠0，所以 nB= 2,, 2π 所以8=行或8= 3 3.【答案】6 【详解】由正弦定理，a=bcosC+V3 csin B→sinA=sin BcosC+V3 sinCsinB①， sin A=sin1800-(B+C)=sin(B+C)=sin BcosC+cos BsinC 又 sin Bcos C+cos Bsin C=sin BcosC+3 sin C'sin B 代入式①得： cos BsinC=/3sin CsinBsin C cosB3sin B tan B=3 3,又0<B<π，.6. 4.【答案】4 【详解】b=2,4 bcos A+4 acos B=3b 因为4 bcos A+4 a cos B=3b,由正弦定理， 可得4 sin B cos A+4 sin Acos B=3sinA, 所以4sin(A+B)=3sinA, 又因为A+B=π-C,所以sin(A+B)=sinC, 所以4sinC=3sinA, 区由正弦定理，可得4=2，即as 3c, 因为c=3,所以a=4. 5【答案】C=2,S=3V2-3 【详解】(sinA+sinB)cosC=sin2C=2 sin CcosC C π 又因为2，所以sinA+sinB=2sinC. 由正弦定理sinA+sinB=2sinC→a+b=2c, 结合a+b+c=6,可得C=2. 由余弦定理cos-+b-c2-a+b2-2ab-4 4 2ab 2ab 所以2+v2b=a+b-4=12,解符b=12-65 所u5-samc= ×(12-6V2)=3V2-3 4 能力提升 1【答案)V3 AB AC 1 详解】由4B4C2,得cosA=Ag.AC1 1B可C之，故4= 3. 由倍角公式bc052℃0s2f =6C0sC+1 +cCOSB+1 3a 2 2 化简得bcosC+ccos B=3a-b-c, 又由射影定理a=bcosC+ccos B可得2a=b+c, 由余弦定理d2=b2+c2-2 bccos A-=b2+c2-bc,代入2a=b+c, 化简得b2-2bc+c2=0,即b=c,故△ABC是等边三角形. s=56=5 所以△ABC的面积为4 5+15√15 2.【答案】(1)4；(2)2 【详解】(1)因为0s2A=2c02A-1= 8,所以cos2A=1 16 因为4足能角，所以c>0:所以Qo-子 所以sin4=V-cos2a 12 1-4 s、b a 因为a=bsin4:所以由正弦定理sinsinB得sinB=1: 又因为B∈(0，，所以B=, 2, 因为4+B+c=x,所以4+C= 2 a+c sinA+sinc =sin4+sin4=sin4+cos4=v15+ 所以由正弦定理得b sinB 4 (2)由余弦定理“=分+c-2cos1得20=5c2-c,解得c=5 =2c=25 所以 因为CD‖AB,所以∠CDA=∠BAD=∠CAD, 所以 A=CD=b=2V5 因为CD‖AB,所以∠ACD=π-A, 所以 inACD=sin(-)=sind=15 4, 所以△ACD的面积 .ACD= c4Dsm4cn25x25x年. 4 2 1 3.【答案】2 【详解】由正弦定理sinA+sinB=2sinC→a+b=2c, 结合a+b+c=6,可得c=2, 由余弦定理cos及-a+B-c2_a+b2-2ab-4 3 2ab 2ab ab=(a+b)2-4=12 所以 解得b=4 以5-hnc 4x5-5 1 2 2 2S3 r=- 所以内切圆半径为a+b+c3 R=-c 2 外接圆半径为《2sinc3 1 所以。ABC的内切圆半径与外接圆半径的比值为2 解三角形求定值专项练习（一） 题型01：正弦与余弦定理解三角形 【例1】1.在中，角的对边分别为，若，则 . 【例2】2.在中，，,设以为圆心，以为半径的圆与交所在直线交于两点，则的长度为 . 【变式1】3.在凸四边形中，已知，四边形对角线为 ，交于点.则四边形的面积为 . 【变式2】4.在中，，为上一点，，则的长度为 . 【变式3】5.如图2所示，在凸四边形中，已知，， ，，，则的长度为 . 题型02：边角互化解题策略 【例1】1.在中，内角的对边分别为，且，则内角的值为 . 【例2】2.在中，角的对边分别为，且，则的面积为 . 【变式1】3.已知的内角所对的边分别为，它的外接圆半径为，且，则角______． 【变式2】4.记的内角的对边分别为，若，,则的面积为_____． 【变式3】5.在锐角△ABC中，内角的对边分别为，若且，则的值为____． 基础训练 1.记的内角的对边分别为，若的面积为， 则内角的值为____． 2.在中，角所对的边分别为．已知．则角的值为______． 3.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_______． 4.在中，角的对边分别是，若，则__________． 5..在中，内角的对边分别为，且满足，，则_____，若，则的面积______． 能力提升 1.在中，角的对边分别为，满足，且，若，求的面积 2.记的内角的对边分别为.已知是锐角，. (1)若，求的值： (2)若平分，求的面积. 3.在中，内角的对边分别为，且满足，，则的内切圆半径与外接圆半径的比值为____. 学科网（北京）股份有限公司 $