第30章学业质量评价（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了圆的核心知识，涵盖直线与圆的位置关系、三角形内心外心、切线判定与性质、正多边形与圆等内容，通过选择、填空、解答题串联知识点，构建完整的圆知识网络。 其亮点在于融入独轮车、司南等新情境，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过切线证明、外切四边形角度推理发展数学思维，分层设计不同难度题目满足个性化复习需求，有效巩固知识，助力教师精准教学。

《学练优》·九年级数学上·RJ 第三十章学业质量评价 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 已知☉O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则 下列能够反映直线l与☉O位置关系的图形是(　D　) D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. 三角形的内心是(　B　) A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高所在直线的交点 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3. 如图，直线AB经过☉O上的点C，并且OA＝OB， 下列条件中不能判定直线AB是☉O切线的是(　D　) A. CA＝CB B. ∠AOC＝∠BOC C. ∠ACO＝∠BCO D. OA＝2OC D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. 如图，四边形ABCD外切于☉O，且AB＝10，CD ＝15，则四边形ABCD的周长为(　D　) A. 60 B. 55 C. 45 D. 50 第4题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 如图，PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，点C 为优弧AB上一点.若∠P＝40°，则∠ACB的度数为 (　A　) A. 70° B. 50° C. 20° D. 40° 第5题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 如图，AB是☉O的直径，BM与☉O相切于点B， ∠A＝27°，半径OE的延长线交BM于点M，则∠M 的度数是(　A　) A. 36° B. 38° C. 40° D. 43° 第6题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7. 如图，正五边形ABCDE内接于☉O，连接OC， OD，则∠OCB＋∠ODE＝(　D　) A. 72° B. 98° C. 102° D. 108° 第7题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好 构成一个直角三角形，两直角边分别为3m和4m.按 照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道， 则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中 心O为点)是(　B　) A. 2m B. 3m C. 4m D. 6m 第8题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的☉P的圆 心P的坐标为(－3，0)，将☉P沿x轴正方向平移，使 ☉P与y轴相切，则平移的距离为(　A　) A. 1或5 B. 1或3 C. 3或5 D. 1 第9题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. 在△ABC中，AB＝AC，当△ABC的内切圆的半 径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的 半径(　D　) A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题(每小题3分，共18分) 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，☉A的半径 为3，则BC边所在直线与☉A的位置关系是 ⁠ ⁠. 12. 如图，A，B是☉O上的两点，如果∠AOB＝ 100°，那么当∠CAB＝ °时，直线AC与☉O 相切. 相 离　 50　 第12题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13. 如图，PA，PB分别切☉O于A，B两点，点C为 上一点，过点C作☉O的切线分别交PA，PB于 M，N两点.若△PMN的周长为10，则切线长PA等 于 ⁠. 第13题图 5　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 如图，点O为△ABC的内心.若∠BOC＝125°， 则∠A的度数为 ⁠. 第14题图 70°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 如图，AB是☉O的弦，点C是☉O上一点，过点C 的切线与AB的延长线交于点D. 若∠A＝38°，则 ∠BCD的度数为 ⁠. 第15题图 38°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 魏晋时期数学家刘徽于3世纪中期在《九章算术注》中系统提出“割圆术”，其核心思想是通过倍增正多边形的边数，使其周长无限接近圆周长.通过计算正3072边形，得出圆周率约为3.1416(徽率)，比传统的“周三径一”精确得多.该方法蕴含了早期极限思想，提出“割之弥细，所失弥少”的数学原理.其外推技术(如面积差分比)早于西方16世纪类似方法，对后世祖冲之计算圆周率至小数点后七位奠定基础.假设圆的半径是1个单位长度，若刘徽在上述计算过程中，设所取的圆内接正3×2n边形(n为某正整数)的边长为xn，此圆的内接正3×2n＋1边形的边 长为xn＋1，且满足＝2－，则n＝ ⁠. 1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题(共72分) 17. (8分)已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且 OM＝5cm，以M为圆心，以r为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？ (1)r＝2cm； 解：如图，作MC⊥OA于C，则∠OCM＝90°. ∵∠AOB＝30°， ∴MC＝OM＝2.5cm， 即圆心到直线OA的距离d＝2.5cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (1)当r＝2cm时，d＞r，∴☉M与直线OA相离. 三、解答题(共72分) 17. (8分)已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且 OM＝5cm，以M为圆心，以r为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？ (1)r＝2cm； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (1)当r＝2cm时，d＞r， ∴☉M与直线OA相离. 17. (8分)已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且 OM＝5cm，以M为圆心，以r为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？ (2)r＝4cm； (2)当r＝4cm时，d＜r，∴☉M与直线OA相交. (3)r＝2.5cm. 解：如图，作MC⊥OA于C，则∠OCM＝90°. (3)当r＝2.5cm时，d＝r，∴☉M与直线OA相切.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. (8分)如图，在△ABC中，以BC为直径的☉O 交AC于点D，∠ABD＝∠ACB，求证：AB是☉O 的切线. 证明：∵以BC为直径的☉O交AC于点D， ∴∠BDC＝90°. ∴△BDC中，∠ACB＋∠DBC＝180°－∠BDC＝90°. ∵∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝∠ABC＝90°. ∴AB⊥BC. ∵BC为直径，∴AB是☉O的切线.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. (8分)如图，☉O的半径为4. (1)尺规作图：作圆的内接正方形ABCD； 解：(1)圆的内接正方形ABCD如图所示.(4分) 解：(1)圆的内接正方形ABCD如图所示.(4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. (8分)如图，☉O的半径为4. (2)求正方形ABCD的面积. 解：(2)∵☉O的半径为4，∴☉O的直径为8. ∴正方形ABCD的面积＝×8×8＝32.(8分) 解：(2)∵☉O的半径为4，∴☉O的直径为8. ∴正方形ABCD的面积＝×8×8＝32.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. (8分)如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形， 切点分别为E，F，G，H，连接OA，OB，OC， OD. (1)若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则DA的长为 ⁠； (3分) 3　 (3分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)求证：∠AOD＋∠BOC＝180°. 证明：如图，连接OE，OF，OG，OH. ∵四边形ABCD是☉O的外切四边形， 切点分别为E，F，G，H， 证明：如图，连接OE，OF，OG，OH. ∵四边形ABCD是☉O的外切四边形， 切点分别为E，F，G，H， 20. (8分)如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形， 切点分别为E，F，G，H，连接OA，OB，OC， OD. ∴OE⊥AB，OF⊥BC，∠OBE＝∠OBF. ∴∠BOE＝∠BOF. 同理可得∠COF＝∠COG， ∠DOG＝∠DOH，∠AOE＝∠AOH， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴OE⊥AB，OF⊥BC，∠OBE＝∠OBF. ∴∠BOE＝∠BOF. 同理可得∠COF＝∠COG， ∠DOG＝∠DOH，∠AOE＝∠AOH， ∴∠AOD＋∠BOC＝(∠EOH＋∠GOH)＋(∠EOF ＋∠GOF)＝×360°＝180°.(8分) ∴∠AOD＋∠BOC＝(∠EOH＋∠GOH)＋(∠EOF ＋∠GOF)＝×360°＝180°.(8分) (2)求证：∠AOD＋∠BOC＝180°. 证明：如图，连接OE，OF，OG，OH. 20. (8分)如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形， 切点分别为E，F，G，H，连接OA，OB，OC， OD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. (8分)如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC 的外心. (1)在图①中，请仅用没有刻度的直尺在上找一个 点D，使得BD＝ID，并说明理由； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(1)如图①，连接AI并延长，交☉O于点D， 则点D为所求.理由如下：连接BI， ∵点O是△ABC的外心，∴☉O是△ABC的外接圆. ∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI. ∵＝，∴∠CAD＝∠CBD. ∴∠BAD＝∠CBD. ∴∠DBI＝∠CBD＋∠CBI＝∠BAD＋∠ABI＝∠BID. ∴BD＝ID. (4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. (8分)如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC 的外心. (2)试判断点D是图中哪三个点构成的三角形的外 心，并说明理由.(如需画草图，请使用图②) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(2)点D是图中△BCI的外心，理由如下：连接 CD，CI， 由(1)知∠BAD＝∠CAD，∴＝，即BD＝ CD. ∴BD＝ID＝CD. ∴点B，I，C在以点D为圆心，BD为半径的圆上， 即点D是△BCI的外心.(8分) 解：(2)点D是图中△BCI的外心， 理由如下：连接CD，CI， 由(1)知∠BAD＝∠CAD， ∴ ，即BD＝CD. ∴BD＝ID＝CD. ∴点B，I，C在以点D为圆心，BD为半径的圆上， 即点D是△BCI的外心.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. (10分)新情境 独轮车 如图①，独轮车俗称“手 推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的 一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍 然广泛使用.如图②所示为从独轮车中抽象出来的几 何模型.在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作 ☉O，交AC于点P，PD是☉O的切线，且PD⊥BC， 垂足为点D. (1)求证：∠A＝∠C； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (1)证明：如图，连接OP. ∵PD是☉O的切线， ∴OP⊥PD. ∵PD⊥BC， ∴OP∥BC. ∴∠1＝∠C. ∵OA＝OP，∴∠1＝ ∠A. ∴∠A＝∠C. (5分) (1)证明：如图，连接OP. ∵PD是☉O的切线， ∴OP⊥PD. ∵PD⊥BC， ∴OP∥BC. ∴∠1＝∠C. ∵OA＝OP， ∴∠1＝∠A. ∴∠A＝∠C. (5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)若☉O的半径为4，∠A＝30°，求PD的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)解：如图②，连接PB. ∵AB是直径，∴∠APB＝ 90°. ∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°.∴∠3＝∠1＝∠A＝ 30°. ∵AB＝2r＝8，∠A＝30°，∴PB＝AB＝4. ∵∠3＝30°，∴BD＝PB＝2.∴PD＝2.(10分) (2)解：如图②，连接PB. ∵AB是直径，∴∠APB＝90°. ∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°. ∴∠3＝∠1＝∠A＝30°. ∵AB＝2r＝8，∠A＝30°，∴PB＝AB＝4. ∵∠3＝30°，∴BD＝PB＝2.∴PD＝2.(10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. (10分)如图，BD是☉O的直径，A是BD延长线上 的一点，点E在☉O上，BC⊥AE，交AE的延长线于 点C，BC交☉O于点F，且点E是的中点. (1)求证：AC是☉O的切线； (1)证明：如图，连接OE. ∵点E是的中点，∴＝. ∴∠EBC＝∠DBE. ∵OB＝OE，∴∠DBE＝∠BEO. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∵点E是的中点，∴＝. ∴∠EBC＝∠DBE. ∵OB＝OE，∴∠DBE＝ ∠BEO. ∴∠EBC＝∠BEO. ∴BC∥OE. ∵BC⊥AC， ∴OE⊥AC. ∵OE是☉O的半径，∴AC为☉O的切 线.(5分) ∴∠EBC＝∠BEO. ∴BC∥OE. ∵BC⊥AC， ∴OE⊥AC. ∵OE是☉O的半径， ∴AC为☉O的切线.(5分) 23. (10分)如图，BD是☉O的直径，A是BD延长线上 的一点，点E在☉O上，BC⊥AE，交AE的延长线于 点C，BC交☉O于点F，且点E是的中点. (1)求证：AC是☉O的切线； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)解：设☉O的半径为r. 23. (10分)如图，BD是☉O的直径，A是BD延长线上 的一点，点E在☉O上，BC⊥AE，交AE的延长线于 点C，BC交☉O于点F，且点E是的中点. (2)若AD＝3，AE＝5，求AB的长度. 在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝AO2， ∴(5)2＋r2＝(r＋3)2.解得r＝.∴BD＝. ∴AB＝BD＋AD＝.(10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. (12分)司南是我国古代辨别方向用的一种仪器， 早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始 祖(如图①).司南中心为一圆形，圆心为点O，直径 为20cm，根据八个方位将圆形八等分(图②中的点 A～H)，连接DG，BH并延长交于点P. (1)点P位于点D的北偏东 的方向上； (3分) 67.5°　 (3分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)求PH的长； 解：(2)如图，连接BD，DH，则DH为直径， 解：(2)如图，连接BD，DH，则DH为直径， ∴∠B＝90°，DH＝20cm.由(1)知∠BDP＝67.5°， ∴∠P＝90°－67.5°＝22.5°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴∠B＝90°，DH＝20cm.由(1)知∠BDP＝ 67.5°， ∴∠P＝90°－67.5°＝22.5°. ∵所对的圆心角为45°，∴∠HDG＝×45°＝ 22.5°. ∴∠P＝∠HDP. ∴PH＝DH＝20cm.(7分) ∵所对的圆心角为45°， ∴∠HDG＝×45°＝22.5°. ∴∠P＝∠HDP. ∴PH＝DH＝20cm.(7分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (3)连接BG，比较线段BG与PH的大小(写出你作出 判断的理由). 解：(3)PH＞BG. 理由如下：如图，连接BG，OG， BF， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 过G作GM⊥BF交BF于点M， ∵∠GOM＝45°，OG＝10cm，∴GM＝OM＝5cm. ∴BM＝OB＋OM＝(10＋5)cm. 在Rt△BGM中，BG2＝BM2＋GM2＝200＋100＜400. ∵PH2＝400，∴PH2＞BG2，故PH＞BG. (12分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $