26.8 专题7 二次函数与几何的综合（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级二次函数与几何综合专题，涵盖线段及面积最值、特殊图形存在性等核心问题。通过从一次函数与几何的联系导入，逐步过渡到二次函数解析式求解、参数表示线段长度及面积计算，构建知识递进的学习支架。 其亮点在于采用一题多解与思路点拨，如用参数法和平行法解决PH长度最值，结合几何直观与数学思维，培养学生推理能力。通过例题分层讲解与方法总结，帮助学生掌握综合应用，教师使用可提升教学效率，助力学生形成解决复杂问题的能力。

《学练优》·九年级数学上·RJ 第二十六章　二次函数 专题7　二次函数与几何的综合 类型一　与线段、面积有关的最值问题 例1：如图①，已知直线y＝－x＋4与x轴、y轴分 别交于点A，C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点 A，C，与x轴交于另一点B，点P是第一象限内抛 物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点T(t，0)，交 直线AC于点Q. (1)填空：A( ， )，C( ， )，并 求抛物线的解析式. 解：(1)将A(4，0)和C(0，4)代入抛物线y＝－x2＋bx ＋c， 得解得 4　 0　 0　 4　 解：(1)将A(4，0)和C(0，4)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c， 得解得 (2)用含t的代数式表示线段PQ的长度，并求PQ长度 的最大值及此时点P的坐标. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4. 解：(2)∵PQ⊥x轴于点T(t，0)， 解：(2)∵PQ⊥x轴于点T(t，0)， ∴P(t，－t2＋3t＋4)，Q(t，－t＋4). ∴PQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4. ∵0＜t＜4，∴当t＝2时，PQ取最大值，最大值为4， 此时点P的坐标为(2，6). (3)一题多解 如图②，过点P作PH⊥直线AC于点H， 当点P的坐标为多少时，PH的长度最大？ [思路1]参数法：利用坐标设参，表示出线段PH的长 度与t之间的函数关系，利用函数的性质解决. 解：∵OA＝OC＝4，∴∠CAO＝45°， 即∠PQH＝∠TQA＝45°.∵PH⊥AC， ∴△PQH为等腰直角三角形.易得PH＝PQ. 由(2)可知PQ＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4， ∴PH＝PQ＝－(t－2)2＋2. ∴当t＝2时，PH最大，此时点P的坐标为(2，6). 解：∵OA＝OC＝4，∴∠CAO＝45°， 即∠PQH＝∠TQA＝45°.∵PH⊥AC， ∴△PQH为等腰直角三角形.易得PH＝PQ. 由(2)可知PQ＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4， ∴PH＝PQ＝－(t－2)2＋2. ∴当t＝2时，PH最大，此时点P的坐标为(2，6). [思路2]平行法：利用直线平移，当直线与抛物线只 有一个公共点时，PH的长度取最大值解决. 解：过点P作直线l∥AC，当直线l与抛物线只有 一个公共点时， PH取最大值.设直线l的解析式为y＝－x＋n， 联立得整理得x2－4x＋n－ 4＝0. ∵Δ＝42－4(n－4)＝32－4n＝0， ∴n＝8.此时方程x2－4x＋n－4＝0的解为x1＝x2 ＝2. 当x＝2时，y＝－2＋8＝6.即点P的坐标为(2，6) 时，PH最大. 解：过点P作直线l∥AC，当直线l与抛物线只有 一个公共点时， PH取最大值.设直线l的解析式为y＝－x＋n， 联立得整理得x2－4x＋n－ 4＝0. ∵Δ＝42－4(n－4)＝32－4n＝0， ∴n＝8.此时方程x2－4x＋n－4＝0的解为x1＝x2＝2. 当x＝2时，y＝－2＋8＝6.即点P的坐标为(2，6)时， PH最大. (4)一题多解 如图③，连接PA，PC，当△PAC的面积 最大时，求点P的坐标. [思路1]割补法：连接OP，则S△PAC＝S△OCP＋S△OAP －S△AOC. 解：由(1)得A(4，0)，C(0，4)，由(2)得P(t，－t2＋ 3t＋4). ∴S△OCP＝×4×t＝2t， S△OAP＝×4×(－t2＋3t＋4)＝－2t2＋6t＋8， S△AOC＝×4×4＝8. ∴S△PAC＝S△OCP＋S△OAP－S△AOC＝2t－2t2＋6t＋8－8 ＝－2t2＋8t＝－2(t－2)2＋8. 解：由(1)得A(4，0)，C(0，4)， 由(2)得P(t，－t2＋3t＋4). ∴S△OCP＝×4×t＝2t， S△OAP＝×4×(－t2＋3t＋4)＝－2t2＋6t＋8， S△AOC＝×4×4＝8. ∴S△PAC＝S△OCP＋S△OAP－S△AOC＝2t－2t2＋6t＋8－8 ＝－2t2＋8t＝－2(t－2)2＋8. ∵0＜t＜4，∴当t＝2时，S△PAC最大，此时点P的坐 标为(2，6). ∵0＜t＜4，∴当t＝2时，S△PAC最大， 此时点P的坐标为(2，6). [思路2]铅垂法：由PQ⊥x轴于点T，交直线AC于点 Q，再结合三角形的面积公式解决. 解：由(2)可知PQ＝－t2＋4t. 由题图可知S△PAC＝S△PAQ＋S△PCQ＝PQ·｜xA－xC｜ ＝2PQ＝－2t2＋8t＝－2(t－2)2＋8. ∵0＜t＜4，∴当t＝2时，S△PAC最大，此时点P的坐 标为(2，6). 解：由(2)可知PQ＝－t2＋4t. 由题图可知S△PAC＝S△PAQ＋S△PCQ＝PQ·｜xA－xC｜ ＝2PQ＝－2t2＋8t＝－2(t－2)2＋8. ∵0＜t＜4，∴当t＝2时，S△PAC最大， 此时点P的坐标为(2，6). 类型二　与特殊图形有关的存在性问题 例2：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴分 别交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0， －3)，P，Q为抛物线上的两点. (1)该二次函数的表达式为 ⁠. y＝x2－2x－3　 (2)当P，C两点关于抛物线的对称轴对称，△OPQ是 以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标. 解：∵抛物线y＝x2－2x－3的对称轴为直线x＝1， 点P，C(0，－3)关于抛物线的对称轴对称， ∴点P(2，－3). 设Q(m，m2－2m－3). ∵△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形， ∴∠OPQ＝90°. ∴OP2＋PQ2＝OQ2. ∴[(0－2)2＋(0＋3)2]＋[(2－m)2＋(－3－m2＋2m＋ 3)2]＝(0－m)2＋(0－m2＋2m＋3)2. 解：∵抛物线y＝x2－2x－3的对称轴为直线x＝1， 点P，C(0，－3)关于抛物线的对称轴对称， ∴点P(2，－3). 设Q(m，m2－2m－3). ∵△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形， ∴∠OPQ＝90°. ∴OP2＋PQ2＝OQ2. ∴[(0－2)2＋(0＋3)2]＋[(2－m)2＋(－3－m2＋2m＋3)2] ＝(0－m)2＋(0－m2＋2m＋3)2. 整理得3m2－8m＋4＝0，解得m1＝，m2＝2(舍 去)， ∴m＝.∴Q(，－). 点拨 利用距离公式表示三边长，再结合勾股定理列方程 解决，注意分类讨论直角顶点的三种情况. 整理得3m2－8m＋4＝0，解得m1＝，m2＝2(舍去)， ∴m＝.∴Q(，－). (3)若点N是抛物线对称轴上的一动点，是否存在以 点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存 在，请求出满足条件的点N的坐标；若不存在，请 说明理由. 解：存在.设N(1，n)，∵A(－1，0)，C(0，－3)， ∴AC2＝10，AN2＝4＋n2，CN2＝1＋(n＋3)2. ∵△ACN为等腰三角形， ∴有两边相等.①当AC＝AN时，10＝4＋n2，解得n ＝±； 解：存在.设N(1，n)，∵A(－1，0)，C(0，－3)， ∴AC2＝10，AN2＝4＋n2，CN2＝1＋(n＋3)2. ∵△ACN为等腰三角形， ∴有两边相等.①当AC＝AN时，10＝4＋n2，解得n ＝±； ②当AC＝CN时，10＝1＋(n＋3)2，解得n1＝0，n2＝ －6. 当n＝－6时，A，C，N三点共线，舍去；③当AN＝ CN时， 4＋n2＝1＋(n＋3)2，解得n＝－1.综上所述， 点N的坐标为(1，)或(1，－)或(1，0)或(1，－ 1). ②当AC＝CN时，10＝1＋(n＋3)2，解得n1＝0， n2＝－6.当n＝－6时，A，C，N三点共线，舍去； ③当AN＝CN时，＋n2＝1＋(n＋3)2， 4解得n＝－1.综上所述， 点N的坐标为(1，)或(1，－)或(1，0)或(1，－1). 点拨 ①参数法设出点N的坐标；②两点间的距离公式： AB＝，其中A(x1，y1)， B(x2，y2)；③列方程求参数的值. (4)点E是抛物线上位于第四象限的一个动点，过 点E作x轴的垂线交直线BC于点F，在y轴上是否 存在点P，使得以E，F，P，C为顶点的四边形是 菱形？若存在，直接写出该菱形的边长；若不存 在，说明理由. 解：存在.菱形的边长为2或3－2. 解：存在.菱形的边长为2或3－2. 解析：设点E的横坐标为t(0＜t＜3)，则E(t，t2－2t－ 3). 由B(3，0)，C(0，－3)易得直线BC的表达式为y＝x －3， 则F(t，t－3).∵以点E，F，P，C为顶点的四边形是 菱形， 且易知EF∥PC，∴只需EF＝PC＝CE或EF＝PC＝ CF. 解析：设点E的横坐标为t(0＜t＜3)，则E(t，t2－2t－3). 由B(3，0)，C(0，－3)易得直线BC的表达式为y＝x－3， 则F(t，t－3).∵以点E，F，P，C为顶点的四边形是 菱形， 且易知EF∥PC，∴只需EF＝PC＝CE或EF＝PC＝ CF. ①当EF＝PC＝CE时， [t－3－(t2－2t－3)]2＝t2＋[t2－2t－3－(－3)]2，解得t＝2， 此时E(2，－3)，F(2，－1)，P(0，－1)符合题意， 菱形的边长为2.②当EF＝PC＝CF时， [t－3－(t2－2t－3)]2＝t2＋[t－3－(－3)]2， 解得t＝3－或t＝3＋(舍去)， 此时E(3－，2－4)， F(3－，－)，P(0，－1－3)符合题意， 菱形的边长为3－2.综上所述，菱形的边长为2或 3－2. 更多练习见电子版 $