26.4 第1课时 几何图形的最大面积（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数解决几何图形最大面积问题，通过物体抛空情境导入，衔接二次函数顶点与最值知识，搭建从函数性质到实际应用的学习支架，帮助学生逐步掌握建模方法。 其亮点在于以问题链驱动探究，如引例追问变量关系、顶点意义，结合变式训练（墙长限制）培养数学思维的推理与运算能力。通过矩形面积建模、中考链接题，强化数学语言的模型意识，课堂小结提炼“关键”与“注意”，助力学生掌握方法，也为教师提供清晰教学流程与实例支持。

26.4 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积 第26章 二次函数 人教版 九年级（上） 1 1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系；（难点） 2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值； 3. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. （重点） 素养目标 将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？ 情境导入 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h (单位：m) 与起跳后的时间 t (单位：s)之间的关系式是 h = -4.9t2 + 2.8t + 11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位) 新知探究 追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 运动员的重心相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 之间的关系 引例： h = -4.9t2 + 2.8t + 11． 追问2：如何判断运动员起跳后经过多长时间达到最高点？ 画出二次函数图象. h= -4.9t2+2.8t+11 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 新知探究 追问3：根据观察，小球的最高点对应函数图象的哪个点呢？ 追问4：小球的运动中最大高度对应函数中的哪个值？ 顶点. 顶点的纵坐标. 引例： h = -4.9t2 + 2.8t + 11. h= -4.9t2+2.8t+11 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 新知探究 解：对于二次函数h = -4.9t2+2.8t+11，当 时，h 有最大值 因此，运动员起跳后大约 0.3 s 时，其 重心达到最高点，最大高度为 11.4 m. 追问5 如何求出小球的最大高度？ h= -4.9t2+2.8t+11 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 新知探究 函数 h = -4.9t2 + 2.8t + 11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ h= -4.9t2+2.8t+11 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 新知探究 【想一想】 思考1 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 最小值 最大值 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. x y O x y O 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 新知探究 思考2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？ 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 新知探究 思考3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值. 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 新知探究 例1 求下列函数的最大值与最小值： x O y 解： -3 1 （1） ∴ 当 时，有 当 时，有 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 新知探究 解： O x y 1 -3 （2） ∴ 当 x = -3 时，有 ∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小. 当 x = 1 时，有 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 新知探究 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 思考 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 矩形面积与一边长的关系. 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 新知探究 20 - 2x x x ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 解：设垂直于墙的一边长为 x m， 则平行于墙的边长为 (20 − 2x) m， 矩形菜园的面积 S = x(20 − 2x)， ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ∴0＜x＜10. x＞0 20 − 2x＞0 即 S = −2x2 + 20x (0＜x＜10). 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 新知探究 ③ 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值. 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 m². 20 - 2x x x 当 时，S 有最大值 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 新知探究 变式：如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 60 - 2x x x 解：设垂直于墙的一边长为 x m， 由 (1) 知 S = −2x2＋60x = −2(x2 − 30x) = −2(x − 15)2 + 450. ∴21≤x＜30. 60 − 2x≤18， x＞0 60 − 2x＞0 是否依然在 x = 15 时，S 取得最大值？ 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 新知探究 O x y 30 21 ∵ 15＜21， x = 15 ∴ 当 21≤ x＜30 时， S 随 x 的增大而减小， 故当 x = 21 时，S 取得最大值， 此时 S最大值 = −2×(21 − 15)2 + 450 = 378 (m2). 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 新知探究 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式 求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式， 然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的 范围求函数最值. 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 新知探究 【链接中考】1. 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢? 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题： (1) 求 S 与 x 的函数关系式. 直接写出 x 的取值范围； (2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大? A B C D 15m 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 新知探究 解：设 BC 的边长为 x m， 解：(1) 由题意得， (0＜x≤15). (2) ∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大， 而 0＜x≤15. ∴ 当 x = 15 时，S 有最大值， 即矩形 ABCD 的面积最大. A B C D 15m x 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 新知探究 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 最值有时不在顶点处，要利用函数的增减性来确定 课堂小结 2. 已知一个直角三角形两直角边的和为 30，则 这个直角三角形面积的最大值为 ⁠. 1. 用长度一定的绳子围成一个矩形，若矩形的一边长x (m)与面积 y (m2)满足函数关系式y＝－(x－12)2＋144 (0＜x＜24)，则该矩形的面积最大为 ⁠. 144m2　 112.5　 当堂反馈 3. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击 出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.若不考虑空 气阻力，小球的飞行高度 h (单位：m) 与飞行时间 t (单位：s) 之间具有函数关系 h＝20t－5t2，则小球飞 行的最大高度为 ⁠. 20m　 当堂反馈 4. 如图，用总长度为12m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，求矩形框架ABCD的最大面积. 当堂反馈 书写通关 解：设 ⁠. 根据题意得 ⁠ ⁠. 当x＝ 时，S矩形ABCD取得最大值，最大面积 为 ⁠. 答： ⁠. AB＝xm　 S矩形ABCD＝AB·AD＝x·＝－x2＋ 4x＝－(x－2)2＋4　 2　 4m2　 矩形框架ABCD的最大面积为4m2　 当堂反馈 5. 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 4，将它剪去 4个全等的直角三角形，得到四边形 EFGH. 设 AE 的长为 x，四边形EFGH的面积为 y. (1)求 y 关于 x 的函数解析式. 当堂反馈 解：(1)∵正方形纸片ABCD的边长为4， 4个直角三角形全等， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，BE＝AH＝4－x， ∠A＝∠D＝90°， EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD. ∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°. ∴∠EHG＝90°.∴四边形EFGH是正方形. ∴y＝EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16 (0＜x＜4). 当堂反馈 (2)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在， 求出最小值；若不存在，请说明理由.＝ 0， ∴y有最小值，最小值为8.即四边形EFGH的面积存 在最小值， 最小值为8. 解：(2)存在.∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，2＞0， ∴y有最小值，最小值为8. 即四边形EFGH的面积存在最小值， 最小值为8. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $