25.2.2 第2课时 用公式法解一元二次方程&解题技巧专练 巧用根的判别式解题-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

(2)根据题意，得△=m2一8n=0. n=2,∴.m2一16=0，解得m1=4,m2=一4. 当m=4时，方程为2x2一4x+2=0,解得x1=x2= 1;当m=一4时，方程为2x2十4x十2=0，解得x1= x2=一1.综上所述，此时方程的根为1或一1. 第2课时用公式法解一元二次方程 1.A2.D3.B 4.解：(1)原方程可化为x2一7x十12=0. a=1,b=-7,c=12, ∴.△=b2-4ac=(-7)2-4×1×12=1, x=7±0 2X,解得1=4x,=3. (2)a=1,b=-(2+1),c=√2， ∴.4=(-√2-1)2-4×1×2=3-22=(2-1)2， x=E+1)±(2-1)_2+1)±(2-1D 2×1 2×1 解得x1=√2，x2=1. 5.解：（答案不唯一，可以选择条件②或条件③解答） 选择条件②，则一元二次方程为x2+3x十1=0. .a=1,b=3,c=1, .△=b2-4ac=32-4×1×1=5>0, x=二3±6 2 西1=3+5 2 x,=二3-6 2 解题技巧专练巧用根的判别式解题 1.A2.D 3.C【解析】，一元二次方程m.x2一2x一1=0无实数 根，.m≠0，且△=(-2)-4m·（-1)<0,解得m< 一1，∴.一次函数y=m.x十2的图象经过第一、第二、第 四象限，∴.一次函数y=mx十2的图象不经过第三 象限 4.解：(1)关于x的方程x2-4x十3a一1=0有两个实 数根， 4=(-4)2-4(3a-1)≥0，解得a≤3： 5 5 a的取值范围为a≤3 ②a<名且a为正整数，…a马 .方程x2-4x十3a-1=0可化为x2-4x十2=0， 此方程的根为x1=2十√2，x2=2一√2， 5.解：(1)，关于x的方程x2一2x十4一m=0有两个不 等的实数根， .△=（一2）2-4×1×(4一m)>0,解得m>3. (2).m>3, "31.m-3m+mD2 2· m+1 m-3 m-1 42 九年级数学RJ版 阳9-2 6.解：(1)△ABC是等腰三角形 理由：.x=一1是方程的根， ∴.(a+c)×(-1)2-2b+a-c=0, ∴.a+c-2b+a-c=0, ∴.a一b=0, .a=b, .△ABC是等腰三角形. (2)△ABC是直角三角形 理由：方程有两个相等的实数根， ∴.(2b)2-4(a十c)(a-c)=0, .4b2-4a2+4c2=0, .a2=b2+c2, ∴△ABC是直角三角形. (3),△ABC是等边三角形， ∴.a=b=c, .(a十c)x2十2bx+a一c=0可整理为2a.x2+2a.x =0. .a≠0， x2+x=0, 解得x1=0,x2=一1. 25.2.3因式分解法 1.A2.C3.D 4.(答案不唯一)x2-2x一8=0 5.解：(1)因式分解，得(x-3)(5x-3)=0, .∴.x-3=0或5x-3=0, 3 解得x1=3,x2=5 (2)移项，得2(x十4)-(x十4)2=0. 因式分解，得(x十4)(-x-2)=0, ∴.x十4=0或-x-2=0, 解得x1=-4,x2=一2. 6.D 7.(1)①(2)④⑤(3)③(4)② 8.解：(1)直接开平方，得x十1=士4， 解得x1=3,x2=一5. (2)原方程可化为5.x2-4x-1=0, .5x2-5x+x-1=0, .5x(x-1)+(x-1)=0, .(5x+1)(x-1)=0, 解得=一日=1 9.C【解析】.A2=20, ∴.x(x-1)=20, .x2-x-20=0,即(x-5)(.x+4)=0, ∴.x-5=0或x十4=0， 解得x1=5,x2=-4. 10.3 11.解：(1)x2-2k.x十k-1=0,第2课时 用公式 知识要点扫描 1.一元二次方程的求根公式 当△≥0时，一元二次方程ax2十bx十c= 0(u≠0)的求根公式：r=一b±V公-4aC 2a 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程化为一般形式； (2)写出a,b,c的值； (3)计算b2一4ac的值，并判断b2一4ac的符 号.若b2一4ac≥0，则将a,b,c的值代入求根公 式，求出方程的根；若b2一4αc<0,则方程无解. 已经典例题剖析 【例】用公式法解方程：2x2-4x一1=0. 【点拨】先确定a,b,c的值，再求b2一4ac 的值，判断出b2一4ac>0,然后将a,b,c的值 代入求根公式即可. 【解】.a=2,b=一4，c=一1， .△=(-4)2-4×2×(-1)=16+8= 24>0,∴.此方程有两个不相等的实数根， .x=- (-4)±√244士26 2×2 4 2+√6 2-√6 ∴x1= -,x2= 2 已基础对点训练 知识点① 一元二次方程的求根公式 1.(2025一2026赣州于都期中）在用求根公式 工=b士-ac求一元二次方程的根 2a 时，小君正确地代人了a,b,c得到x= 3±√(-3)2-4×2×(-1) 2×2 ，则她求解的一 元二次方程是 ( A.2x2-3x-1=0B.2x2+4x-1=0 C.-x2-3x+2=0D.3x2-2x+1=0 46 九年级数学RJ版 法解一元二次方程 知识点②用求根公式解方程 2.一元二次方程x2+x一1=0的根是() A.x=1-√5 B.x=-1+5 2 C.x=-1+√5 D.x=-1土5 2 3.小颖解一元二次方程3x2□x一1=0时，发 现一次项系数部分印刷不清楚，查看参考答 案为x=3±2,3 ,则口代表的为 () A.+6 B.-6 C.+3D.+48 4.解方程： (1)x2-7x=-12. (2)x2-(√2+1)x+√2=0. 5.结论开放题设一元二次方程x2十bx十c= 0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根， 并解这个方程. ①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c= -1;④b=2,c=2. 解题技巧专练 巧用根的判别式解题 题型① 利用根的判别式判断一元二次方程 题型③ 利用根的判别式化简 根的情况 5.关于x的方程x2-2x+4一m=0有两个不 1.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第四象限， 等的实数根 则关于x的方程a.x2+bx+c=0的根的情 (1)求m的取值范围 况是 ) 1-m2÷m-1.m-3 A.有两个不相等的实数根 (2)化简：m-3÷2·m+ B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 题型②利用根的判别式求方程中字母的值 或取值范围 2.若关于x的一元二次方程(m一2)x2十4x十 2=0有两个实数根，则m的取值范围是 题型④ 利用根的判别式判断三角形的形状 A.m≤4 B.m≥4 6.(2025一2026南昌西湖区检测)已知关于x C.m≥-4且m≠2D.m≤4且m≠2 的一元二次方程(a十c)x2+2bx十a-c=0, 3.关于x的一元二次方程mx2-2x一1=0无 其中a,b,c分别为△ABC三边的长. 实数根，则一次函数y=mx十2的图象不经 (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC 过 ( 的形状，并说明理由 A.第一象限 B.第二象限 (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 C.第三象限 D.第四象限 △ABC的形状，并说明理由. 4.已知关于x的方程x2-4x+3a一1=0有两 (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一 个实数根 元二次方程的根。 (1)求实数a的取值范围 (2)若a为正整数，求方程的根. 上册第二十五章