25.1 一元二次方程的概念（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级“一元二次方程”核心内容，涵盖概念、一般形式、解（根）及实际问题列方程等知识点。通过新课标概念辨析题导入，衔接一元一次方程旧知，搭建从“一元一次”到“一元二次”的认知支架，帮助学生逐步理解新知。 其亮点在于融入新情境（如世界杯赛制）、逆向思维题及整体思想应用，以数学眼光观察现实问题，用数学思维推理（如“a - b + c = 0则方程必有根-1”），借数学语言构建模型（如矩形面积、增长率方程）。学生能提升应用与思维能力，教师可依托分层练习与情境素材优化教学。

《学练优》·九年级数学上·RJ 第二十五章　一元二次方程 25.1　一元二次方程的概念 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 知识点一　一元二次方程的概念及一般形式 1. 新课标 概念辨析 (2026·深圳龙岗区期中)下列方 程中，是一元二次方程的是(　A　) A. 2x2＋3＝0 B. －2x＋4＝0 C. x2－－1＝0 D. x2－y＝0 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 2. (2026·长春调研)将一元二次方程2x2＝x＋8化为一 般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为 (　D　) A. 8 B. 4 C. －8 D. －4 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 3. 将下列一元二次方程化为一般形式(使二次项系 数为正)，并写出其中的二次项系数、一次项系数和 常数项： (1)－x2＝3x； 解：x2＋3x＝0，二次项系数为， 一次项系数为3，常数项为0. 解：x2＋3x＝0，二次项系数为， 一次项系数为3，常数项为0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 3. 将下列一元二次方程化为一般形式(使二次项系 数为正)，并写出其中的二次项系数、一次项系数和 常数项： (2)(x－2)2＝6x2＋3； 解：5x2＋4x－1＝0，二次项系数为5， 一次项系数为4，常数项为－1. (3)2(t＋2)＝(t＋1)2. 解：t2－3＝0，二次项系数为1， 一次项系数为0，常数项为－3. 解：5x2＋4x－1＝0，二次项系数为5， 一次项系数为4，常数项为－1. 解：t2－3＝0，二次项系数为1， 一次项系数为0，常数项为－3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 知识点二　一元二次方程的解(根) 4. 下列是方程5x2－4x－1＝0的解的是(　B　) A. x＝－1 B. x＝1 C. x＝2 D. x＝3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 5. (1)(2025·青海中考)若x＝1是一元二次方程x2－4x ＋c＝0的一个根，则c的值为 ⁠. (2)(2026·上海杨浦区期中)若x＝b是方程x2－ax＋b＝ 0的根(b≠0)，则a－b的值为 ⁠. 易错变式 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0 有一个根为x＝0，则a＝ ⁠. 3　 1　 －1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 知识点三　根据实际问题列一元二次方程 6. 新情境 世界杯 2026年国际足联世界杯亚洲区预 选赛的第二、三阶段均采取小组双循环赛制(即小组 内每两队之间都要比赛两场).若某小组的x支球队间 共进行了30场比赛，则可列方程为(　B　) A. x(x＋1)＝30 B. x(x－1)＝30 C. x(x＋1)＝30 D. x(x－1)＝30 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 7. 新考向 图象信息题 某厂家2026年1至5月份的某 种产品产量统计如图所示.设从2月份到4月份，该厂 家这种产品产量的月平均增长率为x，根据题意可列 方程为 ⁠. 180(1＋x)2＝461　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 8. 一材多题 数学活动课上，同学们各自用一根铁丝 围成一个图形(铁丝刚好用完).根据下列情形列出关 于x的方程，并将所列方程化为一般形式. (1)甲同学用14cm长的铁丝围成了一个面积为12cm2 的矩形，设矩形的长为xcm； 解：(1)根据题意可得x(7－x)＝12，即x2－7x＋ 12＝0. 解：(1)根据题意可得x(7－x)＝12， 即x2－7x＋12＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 8. 一材多题 数学活动课上，同学们各自用一根铁丝 围成一个图形(铁丝刚好用完).根据下列情形列出关 于x的方程，并将所列方程化为一般形式. (2)乙同学用30cm长的铁丝围成一个斜边长为13cm 的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为 xcm. 解：(2)根据题意可得x2＋(30－13－x)2＝132，即x2 －17x＋60＝0. 解：(2)根据题意可得x2＋(30－13－x)2＝132， 即x2－17x＋60＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 9. 新视角 逆向思维 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 满足a－b＋c＝0，则方程必有一根为(　C　) A. 0 B. 1 C. －1 D. 2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 10. (1)(2026·长治期中)若关于x的方程x2－2kx＝4x －1化成一般形式后不含一次项，则k的值为(　B　) A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 (2)若关于x的一元二次方程(m＋3)x2－4x＋mx＝｜ m｜的常数项是－3，则其一次项是(　A　) A. －x B. －1 C. x D. 1或－1 B A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 11. 新情境 生活应用 如图，有一张长方形桌子的桌 面长130cm，宽60cm.有一块长方形台布的面积是这 张桌子桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂 下的长度相等.若设台布垂下的长度为xcm，则可列 出x满足的方程为 ⁠ ⁠. (130＋2x)(60＋2x)＝2×130×60 (或x2＋95x－1950＝0)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 12. 改编题 模块综合 已知关于x的一元二次方程(a＋ 1)x｜a｜＋1－2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为 △ABC三边的长. (1)求a的值； 解：(1)∵方程(a＋1)x｜a｜＋1－2bx＋(a－c)＝0是关 于x的一元二次方程， ∴解得a＝1. 解：(1)∵方程(a＋1)x｜a｜＋1－2bx＋(a－c)＝0是关 于x的一元二次方程， ∴解得a＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 12. 改编题 模块综合 已知关于x的一元二次方程(a＋ 1)x｜a｜＋1－2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为 △ABC三边的长. (2)若x＝1是方程的根，且b＝c，试判断△ABC的形 状，并说明理由. 解：(2)△ABC是等边三角形. 理由如下：由(1)得a＝1， 又∵x＝1是方程的根， ∴2－2b＋(1－c)＝0，即2b＋c＝3. 又∵b＝c，∴b＝c＝1. ∴a＝b＝c. ∴△ABC是等边三角形. 解：(2)△ABC是等边三角形.理由如下：由(1)得a＝1， 又∵x＝1是方程的根，∴2－2b＋(1－c)＝0， 即2b＋c＝3.又∵b＝c，∴b＝c＝1. ∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 一课一得：运用整体思想解方程或求值 1. (2026·泉州期中)若关于x的一元二次方程ax2＋bx ＋2＝0(a≠0)有一根为x＝2025，则一元二次方程a(x －1)2＋bx－b＋2＝0必有一根为(　C　) A. x＝2024 B. x＝2025 C. x＝2026 D. x＝2027 C 2 3 1 2. (2026·石家庄期中)若m为一元二次方程x2＋x－4 ＝0的一个根，则的值为(　C　) A. B. C. D. C 2 3 1 3. 已知m是方程x2－2x－1＝0的一个根，求下列代 数式的值： (1)－2m2＋4m＝ ⁠； (2)m－＝ ⁠； [解析]∵m是方程x2－2x－1＝0的一个根，∴m≠0， m2－2m－1＝0，即m2－1＝2m.∴m－＝＝2. －2　 2　 [解析]∵m是方程x2－2x－1＝0的一个根，∴m≠0， m2－2m－1＝0，即m2－1＝2m.∴m－＝＝2. 2 3 1 (3)m3－5m＋2026＝ ⁠. 辅助设问 [降次转化]m3＝m· ⁠； [整体思想]将m2＝2m＋1代入后化简即可. 2028　 m2　 2 3 1 $