3.1.1.1 函数的概念 导学案——2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1函数的概念第1课时 预习提要 1.回顾一元二次不等式的实际应用； 2.阅读课本P44—P46内容，自主探究函数的概念，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．利用一元二次不等式解决实际问题的通用步骤： （1）设，根据题意列出对应的一元二次不等式； （2）将不等式整理为二次项系数的标准形式； （3）计算判别式，求解对应一元二次方程的； （4）结合二次函数图象写出不等式的； （5）根据实际问题的约束条件（如变量取正数、整数等）筛选出最终结果. 2．实际问题中解出不等式解集后，一定要结合对变量进行范围取舍，比如产量、车速这类物理量必须取数，产量这类量通常还要取数. 二、知新 1．函数的共同特征： （1）包含两个实数集； （2）存在确定的； （3）对集合中一个数，在集合中有确定的数与之对应. 2．函数定义：设为非空实数集，若对中任意一个数，按对应关系，在中有唯一确定的与之对应，则称是从到的一个函数，记作. 其中叫做，的取值集合叫做函数的；与对应的叫做；函数值构成的集合叫做函数的，且值域是集合的. 课前自测 1.已知集合，，下列对应关系中，从A到B的函数为( ). A. B. C. D. 2.下列图象中，可以表示函数的为( ) A. B. C. D. 3.判断下列对应是否为从A到B的函数： （1），，对任意的，； （2），，对任意的，； （3），对任意的，； （4）A为正实数集，，对任意的，的算术平方根. 4.如图，在1张边长为的正方形铁皮的4个角上，各剪去1个边长是的小正方形，折成1个容积是的无盖长方体铁盒.试写出用x表示y的函数关系式，并指出它的定义域. 反思 最早拥有函数雏形思想的是解析几何之父笛卡尔.他在研究坐标系中的曲线时，发现一个变量发生变化，另一个变量会随之产生对应数值，他把这种变量间的联动关系记录下来，但并没有给出＂函数＂这一名称.真正提出＂函数＂术语、完善变量对应规则的是瑞士数学家欧拉，也是我们现代函数概念的奠基人.17世纪，欧拉在研究力学、天体轨道计算时意识到：不能只依靠图象描述变量关系，需要一套严谨定义区分＂对应关系＂.他最初把由变量构成的代数式称作函数，后经过几代数学家完善，发展为课本中的现代定义：设是非空实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，就称是集合到集合的一个函数.欧拉还规范了我们至今仍在使用的函数记号，清晰区分自变量、函数值、对应法则三个核心要素.他强调函数最关键的特征：任意自变量，有且只有唯一的函数值与之匹配，这也是判断对应关系能否构成函数的核心标准. 答案及解析 一、温故 1．未知数；为正；实数根；解集 2．实际意义；正；整 二、知新 1．非空；对应关系；任意；唯一 2．；自变量；定义域；函数值；值域；子集 课前自测 1.答案：D 解析：由，，，得D符合. 2.答案：B 解析：选项A，C，D的函数图象中存在x，对应多个不同的函数值， 故不可以表示函数，故B正确.故选：B. 3.答案：（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是 解析：（1）集合A中的数5所对应的数为10，但集合B中没有10，所以不是A到B的函数； （2）集合，集合A中的数1，2，3，4对应的数为3，5，7，9，都属于集合B，所以是A到B的函数； （3）集合A中的数取1时，对应的数应为0，不属于，所以不是A到B的函数； （4）任何正实数的算术平方根都是实数，所以是A到B的函数. 4.答案：函数关系式为，定义域为 解析：，其中即. 则y与x之间的函数关系式为，定义域为. 学科网（北京）股份有限公司 $