13.1 三角形的概念课后同步练习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、思维拓展三层设计，以三角形概念为核心，从单一识别到综合应用，培养几何直观与推理意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形定义、对边对角、分类识别|单选题1-3直接考查概念，填空题10-11强化基本要素认知，培养抽象能力| |提升|等腰三角形分类、反证法、坐标图形|单选题5-8结合生活情境与坐标，解答题14-16综合图形分析，发展推理意识| |拓展|规律探索、平移性质应用|解答题18-19通过平移计算与点分割规律，渗透模型意识与创新思维|

13.1 三角形的概念 课后同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 2．观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设（    ） A．一个三角形中不能有两个角为锐角 B．一个三角形中不能有两个角为钝角 C．一个三角形中能有两个角为锐角 D．一个三角形中能有两个角为钝角 5．将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（三角形的性质）在三角形中，三个内角是、、，若，那么这个三角形一定是（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 7．图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 二、填空题 10．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 11．如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 12．从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________． 13．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 三、解答题 14．如图，一共有多少个三角形？其中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？分别用数学符号表示这些三角形． 15．如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 16．请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 17．利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： (1)在第一个方框中画锐角三角形； (2)在第二个方框中画直角三角形； (3)在第三个方框中画钝角三角形． 18．如图，等腰是由沿箭头方向平移得到的，，点在一条直线上． (1)若，求的大小； (2)若，，，求的长及点移动的距离． 19．通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … (1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； (2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； (3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B C D D B A C D 1．【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 3．【答案】C 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：C ． 4．【答案】D 【知识点】反证法证明中的假设、三角形的分类 【分析】本题考查反证法，三角形的分类，根据命题一个三角形中不能有两个钝角的否定为三角形的内角至少有两个钝角，从而得出结论． 【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设“一个三角形中能有两个角为钝角”, 故选D． 5．【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形定义． 根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解： 是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查了三角形的性质， 根据三角形内角和为180度得出，在结合，即可得出，则可得出答案． 【详解】解：因为， 所以 所以， 所以这个三角形是直角三角形， 故选：B． 7．【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键． 根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为：两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形． ∴Q表示的是等边三角形． 故选：A． 8．【答案】C 【知识点】坐标与图形综合、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，的长为半径画圆，以B为圆心，的长为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与x轴的交点即为C点的位置． 【详解】解：∵， ∴； 如图所示，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 以点B为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 作线段的垂直平分线与x轴交于点（与原点重合），可构成等腰， 综上所述，一共有4个点C满足题意， 故选：C． 9．【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 10．【答案】钝角 【知识点】三角形的分类 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 11．【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 12．【答案】 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形个数问题，在找三角形时，要做到不重不漏．根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 【详解】解：所有三角形为：共个． 从大小判断，青蛙不能落在中，其它均可，即个． 故答案为：． 13．【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可． 【详解】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，． 当为腰时，另一腰也为，底边长为， ∴优美比腰长/底边长． 当为底边时，腰长为， ∴优美比腰长/底边长． 故答案为：或． 14．【答案】一共有6个三角形． 锐角三角形有2个：、； 直角三角形有3个：、、； 钝角三角形有1个：． 【知识点】三角形的分类、三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的分类，由锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义，即可求解. 【详解】解：一共有6个三角形：、、、、、； 锐角三角形有2个：、； 直角三角形有3个：、、； 钝角三角形有1个：． 15．【答案】(1)5，，，，， (2)， (3) (4)， 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的相关定义． （1）利用三角形的定义进行求解即可； （2）利用三角形的相关概念进行求解即可； （3）利用三角形的相关概念进行求解即可； （4）利用三角形的相关概念进行求解即可． 【详解】（1）解：图中一共有5个三角形，分别是： ，，，，， 故答案为：5，，，，，； （2）解：和的公共角是，公共边是， 故答案为：，； （3）解：的对边是， 故答案为：； （4）解：是边和的对边， 故答案为：，． 16．【答案】见解析 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的知识，掌握三角形的有关概念是解题的关键．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；三条线段是三角形的边，两条线段构成的角是三角形的内角，据此即可得到答案． 【详解】解：图中三角形有：、、、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 17．【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查的是画三角形，三角形的分类； （1）根据锐角三角形的定义画锐角三角形的即可； （2）根据直角三角形的定义画直角三角形的即可； （3）根据钝角三角形的定义画钝角三角形的即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 18．【答案】(1) (2)， 【知识点】利用平移的性质求解、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了平移的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）由平移的性质结合等腰三角形的性质即可得出答案； （2）由平移的性质可得，，计算出的长度，即可得解． 【详解】（1）解：等腰是由沿箭头方向平移得到的，， ∴ （2）解：∵等腰是由沿箭头方向平移得到的， ∴，， ∵， ∴， ∴点移动的距离为． 19．【答案】(1)7；9 (2)；2； (3)最多可以得到个三角形 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索、三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的个数问题，数字规律，图形类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先充分理解题意，再调整图形，运用数形结合思想，进行作答即可； （2）先充分理解题意，观察式子特征，进行总结归纳，即可作答． （3）先充分理解题意，模仿（1）（2）的解题过程，且作图分析，进行总结归纳，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是，如图所示： 依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是7，如图所示： ∴， 同理：三角形内点的个数，最多三角形的个数是9，如图所示： 即当三角形的内部取4个点时，最多可以得到9个三角形； （2）解：观察和比较下面的式子：，，， 则下一个式子为 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加2个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到个三角形； （3）解：当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， …… 依次类推：十边形内点的个数为时，则最多三角形的个数， 即保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到个三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $