1.2 空间向量基本定理教学设计和课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 学习目标 第一步：分析教材原文 本节核心知识点包括： 空间向量基本定理的陈述与理解（三个不共面向量构成基底，任意向量可唯一线性表示）； 基底、基向量、单位正交基底（如 ）的概念； 正交分解的含义（在单位正交基底下将向量表示为 ）； 定理的几何意义与代数表达的统一性，以及其作为向量运算工具的基础作用。 学习目标 第二步：提炼学习目标（紧扣原文、符合课标、简洁明确） 1.理解空间向量基本定理的内容，掌握“不共面三向量可作为空间基底”的结论。 2.认识基底、基向量及单位正交基底 的定义与特征。 3.能将任意向量在单位正交基底下表示为 ，理解其几何意义。 4.体会空间向量基本定理对实现向量运算代数化、简化空间问题解决过程的重要作用。 课堂导入 同学们，回顾平面向量基本定理：任一平面向量可唯一表示为两个不共线向量的线性组合。类比思考：空间中一个向量能否由三个向量唯一确定？观察教室的墙角——长、宽、高方向的三条棱，它们两两垂直、不共面，任意一点的位置都可由这三个方向的“分量”唯一刻画。这正是空间向量基本定理的核心思想：若 不共面，则对任意向量 ，存在唯一实数组 ，使 。它为空间向量的坐标化与运算奠定了理论基础。 我们已经学习了平面向量基本定理，知道平面内任意一个向量都可以由两个不共线的向量唯一线性表示，那么空间中的任意向量能否进行类似的分解呢？ 设 , , 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点 。对于任意一个空间向量 ，如图1.2-1所示： 我们可以把向量 按投影分解：设 为 在 , 所确定的平面上的投影向量，根据向量加法的三角形法则，可得 。 观察 ，由于它垂直于 , 所确定的平面，因此 与 共线，根据共线向量的性质，存在唯一的实数 ，使得 ，因此 。 而在 , 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 ，使得 。代入上式可得： 由此我们得到第一个结论：如果 , , 是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 。 我们称 , , 分别为向量 在 , , 上的分向量。 一、从特殊情形推导：两两垂直向量的空间分解 二、推广到一般情况：空间向量基本定理 刚才我们推导了三个两两垂直向量的特殊情况，类似平面向量基本定理，我们可以把结论推广到一般的不共面向量，得到空间向量基本定理： 如果三个向量 , , 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 。 从定理中我们需要注意：定理的前提条件是“三个向量不共面”，若三个向量共面，那么它们只能表示它们所在平面内的向量，无法表示空间中所有的向量，因此这个条件是必不可少的。 三、空间基底的概念 根据空间向量基本定理，如果三个向量 , , 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 。这个集合可看作由向量 , , 生成的，我们把 叫做空间的一个基底， , , 都叫做基向量。 由此可知：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 四、单位正交基底与正交分解 有一类特殊的基底在实际应用中非常方便，我们单独对它进行定义： 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示。 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向量 , , ，使 。像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 五、空间向量基本定理的意义 由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来。进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决空间几何问题带来了方便。 如图1.2-2， 是四面体 的侧面 的中点，点 在线段 上，点 在线段 上，且 ， ，用向量 ， ， 表示 。 例1题目 解答 本题目标是将向量 用基底 线性表示。由于 不共面（构成四面体），这三个向量线性无关，可作为空间的一组基底，因此 必可唯一表示为： 我们通过“路径分解法”逐步拆解 ： 第一步：从 到 的路径选择 观察图形， 在 上，而 和 都与 相连，最自然的路径是： 已知 ，所以： 代入得： 解答 第二步：将 用已知向量表示 ，所以： 第三步：求 点 在 上，且满足 。设 ，则 ，故 ，即： （也可由 ） 第四步：求 是 中点，故： 因此： 第五步：代回 表达式 结论： 解答 总结 1.题目考查内容 ①空间向量基本定理：任意空间向量可用三个不共面向量唯一线性表示； ②向量的线性运算（加法、数乘）及几何意义（中点、线段比例）； ③基底思想的应用——将复杂向量分解为简单基向量的组合。 2.题目求解要点 ①明确基底：识别 不共面，可作基底； ②路径拆解：利用向量加法法则，将目标向量按几何路径逐步分解（如 ）； ③比例转化：将线段比例关系（如 ）准确转化为向量比例（ ）； ④中点公式： 为 中点 ； ⑤代入化简：逐层代入、合并同类项，确保系数计算无误。 如图1.2-3，在平行六面体 中， ， ， ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点。求证 。 例2题目 解答 要证两直线垂直，即证其方向向量的数量积为0： 由题设， 起点均为 ，且不共面（构成平行六面体的三条邻棱），故可作为空间一组基底。设： 第一步：表示 点 为 中点，点 为 中点。 先写出各点位置向量（以 为原点）： 为原点 则： ⇒ 为 中点 ⇒ ⇒ 为 中点 ⇒ 于是： 解答 第二步：表示 如前所述： 第三步：计算数量积 利用数量积交换律 ，合并： 代入已知长度与夹角： ， 注意：上式中 项已抵消（ ），故只需计算： 因此： 总结 1.题目考查内容 ①空间向量基本定理在几何证明中的应用（基底表示）； ②向量数量积的定义与运算性质（分配律、交换律）； ③空间垂直关系的向量判定方法（数量积为0）。 2.题目求解要点 ①合理选取基底：以公共起点（如 ）出发的三条不共面棱向量为基底； ②中点向量表示：利用 或路径法； ③向量差求方向： ； ④数量积展开时注意项的抵消（如 与 ）； ⑤代入数值前先化简代数式，避免冗余计算，提高准确性。 如图1.2-4，正方体 的棱长为1， ， ， 分别为 ， ， 的中点。 (1) 求证： ； (2) 求 与 所成角的余弦值。 例3题目 解答 正方体中所有棱互相垂直且等长，自然选择单位正交基底： 设 ， ， ，则 是单位正交基底，满足： 以 为坐标原点建立空间直角坐标系，则各点坐标为： 为 中点： 为 中点： 为 中点： 第(1)问：证 计算方向向量： 观察得： 验证： 故 与 共线，即 。 解答 解答 第(2)问：求 与 所成角的余弦值 先求向量： 计算数量积与模长： 所以： 故 与 所成角的余弦值为 。 总结 1.题目考查内容 ①单位正交基底的构建与坐标化表示； ②向量平行的判定（共线向量：存在实数 使 ）； ③空间异面直线所成角的定义与余弦值计算（转化为方向向量夹角）。 2.题目求解要点 ①建系优先：正方体天然适配右手直角坐标系，选顶点为原点，沿棱设单位向量； ②中点坐标公式： 为 中点 ； ③向量坐标写法：点坐标差即向量坐标，注意起点终点顺序； ④平行判定：不需计算模长，只需验证是否存在比例系数； ⑤夹角余弦公式： ，务必保证向量方向对应题意（如 与 ）。 题目 第1题：已知 是空间的一组基底，则不能与 构成另一组基底的是（  ） A． ， B． ， C． ， D． ， 解答 要判断哪一组向量不能与 构成空间的一组基底，需明确： 空间中三个向量能构成基底 它们不共面 它们线性无关（即不存在不全为零的实数 ，使得 ）。 等价地，若三个向量中有一个可由另外两个线性表示，则它们共面，不能构成基底。 已知 是基底 ⇒ 线性无关，且任意一个都不能由另两个表示；同时，它们两两不共线，三者不共面。 我们逐项分析选项中给出的两个向量与 是否线性相关（即是否共面）： 解答 选项A： ， 与 考虑三个向量： ， ， 。 设存在实数 ，不全为零，使得 整理得： 由于 线性无关，系数必须全为0： 只有零解 ⇒ 三向量线性无关 ⇒ 可构成基底。✅ 解答 选项B： ， 与 设 展开： 由线性无关性： 解方程组： 由①得 ；代入③得 ；代入②得 ⇒ 。 唯一零解 ⇒ 线性无关 ⇒ 可构成基底。✅ 解答 选项C： ， 与 设 合并同类项： 由线性无关性： 取 ，则 ， ，不全为零，满足： 验证： ，成立。 ⇒ 存在非零解 ⇒ 三向量线性相关 ⇒ 共面 ⇒ 不能构成基底。❌ 解答 选项D： ， 与 设 展开： 令系数为0： 由①得 ；由③得 ；代入②： ⇒ 。 唯一零解 ⇒ 线性无关 ⇒ 可构成基底。✅ 综上，只有选项C中的三个向量线性相关，不能构成基底。 总结 1.题目考查内容 ①空间向量基本定理的核心概念：基底的定义（三个不共面向量）； ②向量线性相关与线性无关的判定方法； ③利用基底 的线性无关性，通过系数恒为0建立方程组； ④向量共面 ⇔ 三向量线性相关 ⇔ 存在不全为零的实数组使线性组合为零向量。 2.题目求解要点 ①明确目标：判断“给定两个向量”与“固定向量 ”是否线性无关； ②设线性组合为零向量，展开并按基底 分组整理； ③利用 线性无关 ⇒ 各系数必须为0，列出方程组； ④判断方程组是否有非零解：有 ⇒ 线性相关 ⇒ 不能作基底；无 ⇒ 线性无关 ⇒ 可作基底。 3.同类型题目解题步骤 1. 写出待判别的三个向量（通常含已知基向量的线性组合）； 2. 设它们的线性组合等于零向量： ； 3. 将所有向量用原基底 表示，并合并同类项； 4. 根据原基底线性无关性，令各基向量前的系数为0，列出三元一次方程组； 5. 解该齐次方程组：若仅有零解 → 线性无关 → 可作基底；若存在非零解 → 线性相关 → 不可作基底。 题目 第2题：已知 是四面体 的棱 的中点，点 在线段 上，且 ， 为线段 的中点，若 ，则 （  ） A．  B．  C．  D． 解答 本题本质是用基底 表示向量 ，并求系数和。注意：点 是公共起点，故以 为原点建立向量关系最方便。 设 ， ， 。 则点 的位置向量（相对于 ）分别为 。 解答 是 中点 ⇒ 在 上，且 ⇒ ⇒ 所以点 的位置向量（相对于 ）为： 的位置向量为 ， 为 ， 是 中点 ⇒ 解答 对照 ，得： 所以 总结 1.题目考查内容 ①空间向量基本定理的应用：任意向量可用不共面三点（含公共起点）的向量线性表示； ②向量的中点公式、定比分点公式（内分点）； ③以某点（如 ）为起点，将所有位置向量统一用基底 表示； ④向量加减与数乘运算的坐标化思想（虽未建系，但已具坐标雏形）。 2.题目求解要点 ①选定公共起点（本题选 ），将所有点的位置向量表示为基向量的线性组合； ②利用几何条件（中点、比例）逐步写出中间点向量：  → 为 中点 ⇒ ；  → ⇒ ；  → 为 中点 ⇒ ； ③合并同类项，直接读出系数 ，再求和。 3.同类型题目解题步骤 1. 明确基底（通常选共点的三条不共面向量，如从同一顶点出发的三条棱）； 2. 将题中所有关键点（中点、分点、重心等）的位置向量用基底表示； 3. 利用向量运算法则（加法、数乘、中点公式 、定比分点公式 ）逐层推导目标向量； 4. 整理成基底的线性组合形式，提取系数； 5. 按题目要求计算系数和、某系数值或验证关系。 题目 第3题：斜三棱柱 中， 是边长为2的正三角形，侧棱 ， ，点 为棱 上动点，则异面直线 与 所成角的最小值为（  ） A．  B．  C．  D． 解答 本题涉及异面直线所成角的定义与最值问题。根据定义： 两条异面直线所成角，是指过空间任一点分别作它们的平行线，所得相交直线的锐角或直角，其范围是 。 计算时，常用向量法：若 分别为两异面直线的方向向量，则所成角 满足 本题中： 方向固定，取 为方向向量； 中 固定， 在 上运动 ⇒ 随 变化，其方向向量为 ，而 在 方向上变动。 为便于计算，建立空间直角坐标系。 由已知条件： ，且 ， ，说明点 在以 为顶点、对称于 的锥面上。又 为正三角形，可将 置于原点，使计算简化。 建系如下： 设点 为坐标原点 ； 因 是边长为2的正三角形，令： ， （因正三角形高为 ， 横坐标为 中点即1）； 设 ，满足： ； ：向量 ， ， ； ： ， ， ，故 ，代入 得： ； 再由 ： （取正值，因棱柱向上延伸）。 所以： 因为是棱柱，故 ，所以： 点 在 上，设参数 ，使 ，则 于是： 异面直线 与 所成角 满足： 因 （ 在线段 上），故 ， 令 ， 。 求 的最小值 ⇔ 求 的最大值（因 在 单调减）。 ， 故 在 上单调增 ⇒ 最大值在 处， ， 对应 总结 1.题目考查内容 ①异面直线所成角的定义与向量求法； ②空间向量基本定理的实践应用：通过建系将几何对象坐标化，所有向量均可由单位正交基底 表示； ③利用参数方程描述动点轨迹（线段上的点）； ④函数最值与反三角函数的结合（ 最大 ⇒ 最小）。 2.题目求解要点 ①合理建系：优先选取已知长度与角度关系明确的点（如共点的 ）为原点； ②利用向量夹角公式 ，注意取绝对值保证锐角； ③将动点 参数化（如 ），写出 ； ④化简 表达式，转化为单变量函数最值问题； ⑤利用单调性或导数判断最值位置，再求对应角度。 3.同类型题目解题步骤 1. 分析几何结构，选择合适原点与坐标轴（常使已知边落在坐标轴或坐标平面）； 2. 利用长度、角度、平行、中点等条件，确定各关键点坐标； 3. 设动点参数（如线段上用 ，射线上用 ），写出其坐标及对应向量； 4. 写出两异面直线的方向向量，代入夹角余弦公式； 5. 化简得关于参数的函数，求其在定义域内的最值（注意定义域是否闭区间）； 6. 由最值反求角度（或正弦、余弦值），注意结果必须是锐角或直角。 课堂总结 【题文】如图，平行六面体 的所有棱长为2，四边形 是正方形， ，点O是 与 的交点，则 的长为（        ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 课堂练习 课堂练习 【题文】定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 ，存在不全为零的实数 ， ， ，使得 ，其中O为原点，已知 ，则 的充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【题文】如图，在平行六面体 中，M为 与 的交点，若 ，则下面向量中与 相等的向量是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 课堂练习 感谢聆听 THANK YOU $ 1.2 空间向量基本定理 教材分析 本节课通过正交向量组的投影分解引出空间向量基本定理，进而推广到任意不共面三向量构成基底的情形，明确基底、基向量、正交分解等核心概念。教材先以单位正交基底 为特例，借助几何投影直观推导分解式 ，再抽象为一般基底情形，体现从特殊到一般的数学思想。本节是平面向量基本定理在三维空间的自然延伸，与前节空间向量的线性运算及后节空间直角坐标系、向量坐标表示紧密衔接；有助于学生建立空间向量的代数化表达意识，提升几何直观与逻辑推理能力，为后续学习立体几何中的距离、夹角、位置关系等问题提供向量工具基础。 学情分析 学生在必修二已学习平面向量基本定理，掌握了向量共线、共面的判定及平面向量的线性表示，具备用基向量表示任意向量的初步经验；同时立体几何中对空间位置关系（如平行、垂直、不共面）的理解为本节奠定了几何直观基础。高二学生抽象思维能力逐步提升，但对三维空间中向量的分解与唯一性仍存在认知难点，尤其对“不共面”作为基底存在性前提的理解易流于表面，逻辑严谨性有待加强。本节课要求学生类比平面向量基本定理，理解空间向量可由三个不共面向量唯一线性表示的本质，掌握基底、基向量、正交分解等核心概念，发展空间想象与逻辑推理能力，并为后续空间向量坐标运算及立体几何问题代数化解决提供理论支撑。 教学目标 1. 理解空间向量基本定理的内容，掌握基底和基向量的概念，能用不共面的三个向量表示空间任意向量，达到数学抽象核心素养水平一的要求。 2. 通过类比平面向量基本定理，推导空间向量基本定理，体会从二维到三维的推广过程，达到逻辑推理和直观想象核心素养水平二的要求。 3. 能运用正交分解解决简单的空间向量问题，理解单位正交基底的意义，达到数学运算核心素养水平一的要求。 重点难点 教学重点：空间向量基本定理的内容及应用，单位正交基底与正交分解的概念。 教学难点：理解“不共面”是构成基底的充要条件，掌握空间向量在任意基底下的唯一分解及坐标表示。 课堂导入 课堂导入 同学们，我们已经学习过平面向量基本定理：平面内任意向量都能唯一表示为两个不共线向量的线性组合。那如果把场景从平面拓展到三维空间呢？ 比如教室里的一盏吊灯，它受到的拉力向量，能不能用几个不共面的向量来表示？如果可以，需要几个这样的向量？又是否像平面向量那样，存在唯一的线性组合形式？ 带着这些问题，今天我们就来探究空间中的向量基本定理，看看空间向量的“分解密码”是什么。 空间向量基本定理 探究新知 （一）知识精讲 如图1.2-1，设 、 、 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点 。对于任意一个空间向量 ，设 为 在 、 所确定的平面上的投影向量，则 。又向量 与 共线，因此存在唯一的实数 ，使得 ，从而 而在 、 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 ，使得 从而 因此，如果 、 、 是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 我们称 、 、 分别为向量 在 、 、 上的分向量。 类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理： 定理　如果三个向量 、 、 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 由此可知，如果三个向量 、 、 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 这个集合可看作由向量 、 、 生成的，我们把 叫做空间的一个基底， 、 、 都叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向量 、 、 ，使 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 （二）师生互动 教师：刚才我们看到，当三个向量两两垂直时，任意空间向量都能唯一地表示为它们的线性组合。那么，请大家思考：如果三个向量不是两两垂直，而是仅仅满足“不共面”，是否仍然能实现这种唯一表示？为什么“不共面”这个条件如此关键？ 学生：（可能回答）如果共面，就只能表示该平面内的向量，无法表示“跳出”这个平面的向量…… 教师：很好！那再进一步想一想：若已知 构成一个基底，而另一个向量组 也满足不共面，那么它们是否也能作为基底？同一个向量 在这两组基底下的坐标 会不会相同？ 学生：应该不一定相同，因为分解依赖于基向量的方向和长度…… 教师：非常准确！这说明——基底的选择不是唯一的，但一旦选定，任意向量的表示就是唯一的。那么，你能举出一个不是单位正交基底，但仍是空间基底的例子吗？ （三）设计意图 本环节聚焦空间向量基本定理的核心内涵，通过从特殊（单位正交基底）到一般（任意不共面向量组）的逻辑递进，帮助学生建立“基底—唯一表示—线性组合”之间的本质联系；在知识目标上，落实对空间向量基本定理的准确理解与规范表述，明确“不共面”是构成基底的充要条件；在能力培养上，引导学生从投影分解的几何直观出发，逐步抽象出代数表达，发展几何直观与代数表征相互转化的思维能力；在学习方式上，依托已有平面向量基本定理的认知基础，通过类比迁移实现知识结构化生长；在价值导向上，强调数学结论的确定性（存在性与唯一性）与前提条件的严谨性（如“不共面”不可替换为“不共线”或“两两不平行”），潜移默化培育逻辑严密、言必有据的理性精神。 新知应用 例1题目： 如图1.2-2， 是四面体 的侧面 的中点，点 在线段 上，点 在线段 上，且 ， ，用向量 ， ， 表示 。 解答： 我们以点 为起点，将 作为空间的一个基底（因为 不共面，故这三个向量不共面），目标是把 唯一地表示为它们的线性组合： 分步推导如下： 第一步：表达 与 的关系 点 在 上，且 ，即 ，所以 第二步：将 用 表示 代入得： 第三步：求 （ 在 上，且满足 ） 设 ，则 ，而 ，所以 又 是 中点，故 因此 第四步：代回 表达式 即 总结： 1.题目考查内容 ① 空间向量基本定理的应用——利用不共面向量构成基底，将任意向量唯一线性表示； ② 向量的线性运算（加法、数乘）及中点、比例点的向量表达； ③ 几何关系（如中点、线段上的分点）转化为向量等式的能力。 2.题目求解要点 ① 明确基底选择： 是天然基底（因 构成四面体，三点不共线，四点不共面）； ② 分层拆解路径：从 ，引入中间点 和 ，逐级用已知基向量表示； ③ 准确处理比例关系：由 推出 ，从而得 （不可误为 ）； ④ 中点向量公式要熟练： （因 为 中点，且起点为 ）。 例2题目： 如图1.2-3，在平行六面体 中， ， ， ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点。求证： 。 解答： 要证两直线垂直，转化为证明对应方向向量的数量积为0： 第一步：选取基底 设 由于 - 是平行六面体， 不共面，构成空间一个基底。 第二步：用基底表示 观察图形： · 与 平行且相等，而 ，故 ； · 为 中点 ⇒ ； · 与 平行且相等，而 ？不对！更直接：在上底面 中， （因 ，方向相同），所以 ； · 为 中点 ⇒ ； · 而 ，其中 （因 在 上， 为终点）， 所以 （注：教材解答写为 ，方向取决于起点选取；但数量积结果不变，我们采用此形式并验证一致性） ✅ 实际上，若以 为起点、 为终点，从图中可得：从 向右到 为 ，再向上（按 反向）到 为 ，故 —— 与教材一致。 第三步：用基底表示 路径： ，即 （因为 ， ） 第四步：计算数量积 利用已知模长与夹角： · , ； · ； · ； · ； · ， ； · 代入： 故 ，即 。 总结： 1.题目考查内容 ① 空间向量基本定理在几何证明中的应用——将几何关系转化为向量运算； ② 向量数量积的定义与计算（含模长、夹角）； ③ 平行六面体中向量路径分解与基底表示能力。 2.题目求解要点 ① 基底选取要合理：选从同一点出发的三条不共面棱向量（如 ），便于统一表达所有向量； ② 准确写出目标向量的路径分解（如 ），避免漏项或方向错误； ③ 数量积展开时注意交换律（ ），同类项合并简化计算； ④ 充分利用题设角度信息统一计算各点积，体现“形→数”的转化思想。 例3题目： 如图1.2-4，正方体 的棱长为1， ， ， 分别为 ， ， 的中点。 (1) 求证： ； (2) 求 与 所成角的余弦值。 解答： 正方体中所有棱两两垂直且等长，自然选用单位正交基底： 设 则 是单位正交基底，且 ， 。 建立坐标系：以 为原点，则 · → · → · → 其余点可依此写出坐标（但本题直接用向量运算更简捷）。 (1) 证明 需证 ，即存在实数 使 。 先求 ： 再求 ： · 为 中点： 坐标 ， ⇒ · 为 中点： ， ⇒ · 故 所以 ，即两向量共线 ⇒ 。 （教材中写 ，因 ，结果一致） (2) 求 与 所成角的余弦值 异面直线所成角定义为它们方向向量的夹角（锐角或直角），故求： 但题干未强调“锐角”，而例题答案为 （正值），说明直接用向量夹角公式（不取绝对值），且结果为正，故 为锐角。 先求向量： · ⇒ · 为 中点 ⇒ ⇒ ⇒ 计算数量积： 模长： · · 所以 即 与 所成角的余弦值为 。 总结： 1.题目考查内容 ① 单位正交基底在正方体中的建模与应用； ② 向量共线（平行）的判定（比例关系）； ③ 异面直线所成角的向量定义与余弦值计算。 2.题目求解要点 ① 基底设定要统一且符合右手系习惯（如 ），确保坐标与向量对应无误； ② 中点向量直接用“首尾平均”：如 为 中点 ⇒ ，但更推荐坐标法辅助验证； ③ 计算数量积时，正交基底下交叉项为0，仅保留同基向量的平方项，大幅简化运算； ④ 异面角余弦值公式中分母为两向量模长乘积，分子为数量积（不取绝对值，因题干未限定锐角，且结果为正，符合几何直观）。 新知巩固 题目： 第1题：已知 是空间的一组基底，则能与 构成另一组基底的是（  ） 选项： A． ， B． ， C． ， D． ， 解答： 要判断哪一组向量能与 共同构成空间的一组基底，需明确基底的定义： 三个向量构成空间基底 它们不共面 它们线性无关 不存在不全为零的实数 ，使得 ；等价地，三向量的混合积（标量三重积）不为零： 。 本题中，已知 是基底 ⇒ 不共面，即线性无关，且混合积 。 我们逐项检验：设待选的两个向量为 ，则需判断 是否线性无关。即：是否存在不全为零的实数 ，使得 若该式仅当 时成立，则三向量线性无关，可作基底。 选项A： ， 考虑线性组合： 整理得： 因为 线性无关，所以系数必须全为0： 解方程组： 由第一式得 ；代入第三式： ；代入第二式： ，进而 。 ⇒ 只有零解 ⇒ 三向量线性无关 ⇒ 可构成基底。✅ 选项B： ， 组合： 得方程组： 由第三式： ；代入第二式： ；与第一式一致 ⇒ 有非零解，如取 ，则 ， ，满足全部方程。 ⇒ 存在非零解 ⇒ 线性相关 ⇒ 不能构成基底。❌ 选项C： ， 组合： 得： 取 ，则 , ，非零解存在 ⇒ 线性相关 ⇒ ❌ 选项D： ， 组合： 得： 由第三式： ；代入第一式： ；与第二式一致 ⇒ 有非零解（如 , , ）⇒ ❌ 综上，仅选项A满足条件，答案为A。 总结： 1.题目考查内容 本题考查空间向量基本定理的核心应用——基底的判定，重点落实以下概念： · 空间向量基底的定义：三个不共面（即线性无关）的向量； · 已知一组基底 ，判断新向量组是否仍为基底，本质是判断其线性无关性； · 利用原基底的线性无关性，将新向量用 线性表示后，转化为关于系数的齐次线性方程组，通过解的唯一性（仅有零解）判定线性无关。 2.题目求解要点 · 不跳步转化：将待判定向量组与 一起写出一般线性组合，合并同类项，按 分组； · 紧扣基底本质：因 线性无关，故其系数必须同时为0，列出方程组； · 解的存在性分析：若方程组只有零解 ⇒ 线性无关 ⇒ 可作基底；若存在非零解 ⇒ 线性相关 ⇒ 不可作基底； · 避免误判：不可仅凭“看起来不同”判断，必须严格代数验证；特别注意选项C中 与 看似独立，但与 组合后出现系数耦合，导致相关。 3.同类型题目解题步骤 1. 明确目标：判断给定向量组 能否作为空间基底； 2. 利用已知基底表示：将 全部用已知基底 线性表示（本题中已直接给出或可直接写出）； 3. 列线性相关方程：设 ，代入表达式，按 整理； 4. 列系数方程组：令各基向量前系数为0，得到关于 的齐次线性方程组； 5. 判断解的情况： 　　- 若方程组仅有零解 ⇒ 向量组线性无关 ⇒ 可作基底； 　　- 若有非零解 ⇒ 线性相关 ⇒ 不可作基底； 6. 快速验证技巧（进阶）：计算混合积 ，若结果非零（且可化为 的非零倍数），则为基底。 板书设计 空间向量基本定理 ├─ 基本条件： 不共面 ├─ 定理结论：对任意向量 ，存在唯一实数组 ，使 ├─ 基底概念 │ ├─ 定义： 称为一个基底 │ ├─ 基向量： │ └─ 任意三个不共面向量均可作基底 ├─ 单位正交基底 │ ├─ 特征：两两垂直、模为1，记为 │ └─ 正交分解： └─ 应用价值 ├─ 向量表示：所有空间向量由基向量线性表示 └─ 运算转化：向量运算转化为基向量的线性运算 课堂练习 第1题 【题文】如图，平行六面体 的所有棱长为2，四边形 是正方形， ，点O是 与 的交点，则 的长为（        ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 第2题 【题文】定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 ，存在不全为零的实数 ， ， ，使得 ，其中O为原点，已知 ，则 的充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 第3题 【题文】如图，在平行六面体 中，M为 与 的交点，若 ，则下面向量中与 相等的向量是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 教学反思 本节课先从两两垂直的 , , 出发，通过投影推导特殊情形下空间向量的分解，再推广得到空间向量基本定理，讲解了基底、单位正交基底等概念，完成了既定教学任务，多数学生能理解定理内容及基底的意义。成功之处在于借助平面向量基本定理类比引入，降低了空间向量定理的理解难度，通过投影过程直观展示了向量分解逻辑；不足之处在于对“不共面”的本质挖掘不够深入，部分学生对基底的判断仍存在困惑，且未充分结合实例让学生体会定理的应用价值。 学科网（北京）股份有限公司 $