1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 课件-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系，系统讲解其建立、点与向量的坐标表示，通过课前自学衔接平面直角坐标系知识，结合知识梳理构建从平面到空间的认知支架，帮助学生理解坐标概念及应用。 其亮点是以数学抽象、直观想象和数学运算为核心素养，通过正四棱锥顶点坐标、正方体向量坐标等实例，采用题型解析与探究总结结合的教学方法，结构化呈现建立坐标系原则、对称点规律等内容。学生能提升空间观念和运算能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 素养目标 1.了解空间直角坐标系．(数学抽象)2.掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念．(直观想象)3.能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标．(数学运算) 课前自学 3 要点1　空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念： 在空间选定一点O和一个______________基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为______________、以它们的长为______________建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做______________，i，j，k都叫做______________，通过______________的平面叫做坐标平面，分别称为______________平面，______________平面，______________平面，它们把空间分成八个部分． 单位正交 正方向 单位长度 原点 坐标向量 每两条坐标轴 Oxy Oyz Ozx 第页 (2)空间直角坐标系的画法和右手直角坐标系： ①空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝______________，∠yOz＝______________． ②右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______________的正方向，食指指向______________的正方向，如果中指指向______________的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 135°(或45°) 90° x轴 y轴 z轴 第页 有序实数组(x，y，z) A(x，y，z) x y z 第页 (x，y，z) 第页 在空间几何图形中建立空间直角坐标系的要点： (1)观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线． (2)让尽量多的点落在坐标轴上或坐标平面内． (3)充分利用几何图形的对称性． 第页 1．什么是右手直角坐标系？ 答：右手直角坐标系是指让右手的拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向所建立的坐标系；高中阶段所用的空间直角坐标系都是右手直角坐标系． 第页 2．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？ 答： 3.空间向量的坐标和空间向量终点的坐标有什么关系？ 答：当空间向量的起点在原点时，空间向量的坐标恰好是空间向量终点的坐标． 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 返 回 课时学案 11 例 1 在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点的坐标； 题型一　 求空间点的坐标 第页 12 第页 (2)写出棱PB的中点M的坐标． 第页 探究1 (1)建立空间直角坐标系的原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M的坐标的方法： 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标为x，纵坐标为y，即点M的横坐标为x，纵坐标为y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即M点的竖坐标为z，于是得到M点的坐标(x，y，z)． 第页 思考题1　已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 第页 第页 例 2　在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4)． (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； 题型二　 求对称点的坐标 【解析】　(1)由于点P关于x轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)． 第页 18 (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； 【解析】　(2)由于点P关于Oxy平面对称后，它的横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4)． 第页 (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 【解析】　(3)设对称点为P3(x，y，z)，连接PP3，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12)． 第页 探究2 (1)在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：   对称轴或对称中心、对称平面 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) Oxy平面 (a，b，－c) Oyz平面 (－a，b，c) Ozx平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 第页 思考题2　点P(－3，2,－1)关于Ozx平面的对称点是______________ ________________，关于z轴的对称点是________________，关于M(1，2，1)的对称点是____________． (－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5，2，3) 第页 例 3 题型三　 求空间向量的坐标 第页 23 第页 第页 探究3 空间坐标系中确定向量的方法 用坐标形式表示向量需解决两个问题：一是建立恰当的空间直角坐标系，通常选取互相垂直的直线为坐标轴，图形的顶点或棱的中点为原点；二是正确求出向量的坐标．确定向量的坐标一般有两种方法：(1)运用基底法，即把空间向量正交分解，用相互垂直的三个向量为一个基底表示某一向量，进而得坐标．(2)运用投影法，求出起点和终点坐标． 第页 第页 1．课本上建立的空间直角坐标系称为右手直角坐标系． 2．空间任意一点M与三个有序的实数之间，建立起一一对应的关系，即M(x，y，z)． 3．只需有三条两两垂直的直线就可以建立相应的空间直角坐标系． 4．空间问题往往可类比平面问题． 返 回 课后巩固 29 1．点P(2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是在(　　) A．y轴上　　　　　　　　 B．Oxy面上 C．Ozx面上 D．Oyz面上 √ 解析　点P的纵坐标为0，因此点P在Ozx面上，故选C. 第页 2．已知A(3，2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是(　　) A．(－3，－2，3) B．(－3，2，－3) C．(－3，2，3) D．(－3，－2，－3) √ 解析　由空间直角坐标系中，关于y轴的对称点只有纵坐标不变，横坐标与竖坐标均相反可知选C. 第页 解析　由点P(－1，－2，－3)到平面Oyz的距离是横坐标的绝对值可知选A. √ 第页 4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为(　　) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，10，12) D．(4，2，3) √ 第页 5．已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为____________． (2，－3，1) 解析　点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2，－3，1)． 返 回 请做：课时作业（五） 教师备用资料 要点2　空间中点的坐标和空间向量的坐标 (1)点的坐标： 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \o(OA,\s\up16(→))，且点A的位置由向量eq \o(OA,\s\up16(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \o(OA,\s\up16(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq \o(OA,\s\up16(→))对应的______________________，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作______________，其中______________叫做点A的横坐标，______________叫做点A的纵坐标，______________叫做点A的竖坐标． (2)空间向量的坐标： 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝______________． 【解析】　如图，连接AC，BD交于点O，连接PO. ∵四棱锥P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a， ∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD. ∴OA＝eq \r(2)a， ∴PO＝eq \r(PA2－OA2)＝eq \r(（2a）2－（\r(2)a）2)＝eq \r(2)a. 以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． (1)正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(eq \r(2)a，0，0)，B(0，eq \r(2)a，0)，C(－eq \r(2)a，0，0)，D(0，－eq \r(2)a，0)，P(0，0，eq \r(2)a)． 【解析】　 (2)∵M为棱PB的中点，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0,2)，\f(\r(2)a＋0,2)，\f(0＋\r(2)a,2)))，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a)). 【解析】　如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，OO1，易知BO⊥AC，OO1⊥AC，OO1⊥BO，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． ∵三棱柱各棱长均为1， ∴OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝eq \f(1,2)，OB＝eq \f(\r(3),2). ∵A，B，C均在坐标轴上， ∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)). ∵点A1与C1在Oyz平面内， ∴A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1)). ∵点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1＝1， ∴B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1))，即该三棱锥各顶点的坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1))，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1)). (2)在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))). 【解析】　点P(－3，2，－1)关于Ozx平面的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3，2，－1)关于M(1，2，1)的对称点为(x，y，z)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－3,2)＝1，,\f(y＋2,2)＝2，,\f(z－1,2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2，,z＝3.))故点P(－3，2，－1)关于点M(1，2，1)的对称点为(5，2，3)． 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AA1,\s\up16(→))}为正交基底，求下列向量的坐标： (1)eq \o(AE,\s\up16(→))，eq \o(AF,\s\up16(→))，eq \o(AG,\s\up16(→))； 【解析】　在正交基底{eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AA1,\s\up16(→))}下， (1)连接AE，AF，AG，∵eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))，eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))，eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))， ∴eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0)). (2)eq \o(EF,\s\up16(→))，eq \o(EG,\s\up16(→))，eq \o(DG,\s\up16(→)). 【解析】　(2)连接EF，∵eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))－eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))， ∴eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))). 连接EG，∵eq \o(EG,\s\up16(→))＝eq \o(AG,\s\up16(→))－eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))， ∴eq \o(EG,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2))). 连接DG，∵eq \o(DG,\s\up16(→))＝eq \o(AG,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))，∴eq \o(DG,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，0)). 思考题3　如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系，并写出向量eq \o(MN,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))的坐标． 【解析】　如图，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设eq \o(DA,\s\up16(→))＝e1，eq \o(AB,\s\up16(→))＝e2，eq \o(AP,\s\up16(→))＝e3，以{e1，e2，e3}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz. 因为eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＝e2，eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \o(PN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,2)e2＋e3＋eq \f(1,2)(－e3－e1＋e2)＝－eq \f(1,2)e1＋eq \f(1,2)e3，所以eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq \o(DC,\s\up16(→))＝(0，1，0)． 3．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面Oyz的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D.eq \r(14) 解析　设点A对应的向量为eq \o(OA,\s\up16(→))，则eq \o(OA,\s\up16(→))＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．故选A. $