21.3.1 二次函数与一元二次方程的关系（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线与x轴交点实例导入，衔接二次函数图象与一元二次方程解法，以基础题搭建学习支架，帮助学生理解两者内在联系。 其亮点是分层设计学习理解、应用实践、迁移创新模块，结合易错变式和新定义题型，培养抽象能力、推理意识与模型意识。如易错变式区分一次与二次函数情况，新定义“图象数”强化数学表达，助力学生巩固知识提升思维，方便教师教学实施。

《学练优》·九年级数学上·HK 第21章　二次函数与反比例函数 21.3　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程的关系 目 录 CONTENTS 01 A学习理解 02 B应用实践 03 C迁移创新 知识点　二次函数与一元二次方程的关系 1. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)和B(－3，0)两点，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是 (　C　) A. x＝1 B. x＝－3 C. x1＝1，x2＝－3 D. x＝－1 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 2. (2026·安庆月考)二次函数y＝ax2－3x＋2的图象与x轴有两个不同的交点，则a可以是(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 3. 已知抛物线y＝x2－2kx＋2k＋8与x轴有唯一的一个公共点，则k的值为(　D　) A. －2 B. 4 C. 2或－4 D. －2或4 易错变式 函数y＝ax2＋x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则a的值为 　0或 　. D 0或 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 4. 若二次函数y＝2x2－x＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 　m≤ 　. m≤ 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 5. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是x＝2，且二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴是直线x＝1，则方程ax2＋bx＋c＝0的另一个解为 　x＝0　. x＝0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 条件变式 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是 　x1＝－1，x2＝3　. x … －1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … x1＝－1，x2＝3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 6. (2026·六安裕安区期中)已知二次函数y＝x2－2kx－(2k＋1). (1)求证：无论k为何值，该二次函数的图象与x轴都有公共点；点. (1)证明：对于一元二次方程x2－2kx－(2k＋1)＝ 0，Δ＝(－2k)2－4×1×[－(2k＋1)]＝4k2＋8k＋4 ＝4(k2＋2k＋1)＝4(k＋1)2≥0， ∴方程必有两个实数根. ∴无论k为何值，二次函数y＝x2－2kx－(2k＋1) 的图象与x轴都有公共点. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)若该二次函数图象的对称轴为直线x＝1，求它与x轴的交点坐标. (2)解：∵二次函数y＝x2－2kx－(2k＋1)图象的对称轴为直线x＝1， ∴k＝1，即y＝x2－2x－3. 依题意，令y＝0，则x2－2x－3＝0， ∴(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1. ∴它与x轴的交点坐标分别为(3，0)，(－1，0). (2)解：∵二次函数y＝x2－2kx－(2k＋1)图象的对 称轴为直线x＝1， ∴k＝1，即y＝x2－2x－3. 依题意，令y＝0，则x2－2x－3＝0， ∴(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1. ∴它与x轴的交点坐标分别为(3，0)，(－1，0). 6. (2026·六安裕安区期中)已知二次函数y＝x2－2kx－(2k＋1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 7. 已知二次函数y＝x2－ax＋b在x＝－1和x＝5时的函数值相等. (1)求二次函数y＝x2－ax＋b图象的对称轴； 解：(1)由题意得对称轴为直线x＝ ＝2. 解：(1)由题意得对称轴为直线x＝ ＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)若二次函数y＝x2－ax＋b的图象与x轴只有一个交点，求b的值. 解：(2)由(1)得对称轴是直线x＝2＝－ ， ∴a＝4. ∴抛物线为y＝x2－4x＋b. ∵二次函数y＝x2－4x＋b的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝16－4b＝0. ∴b＝4. 7. 已知二次函数y＝x2－ax＋b在x＝－1和x＝5时的函数值相等. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 8. (2026·淮南期中)已知抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与直线y＝kx＋b交于点A(－1，3)和点B(5，－2)，则关于x的方程ax2－kx＋c－b＝0的解是(　D　) A. x1＝2，x2＝－3 B. x1＝－2，x2＝3 C. x1＝1，x2＝－5 D. x1＝－1，x2＝5 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 9. 【新视角·创新设问】若将二次函数y＝(x－2025)(x－2026)＋5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P，Q，则PQ的长度为 　1　. 1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 10. 【新考向·定义新概念】新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的“图象数”，如：y＝x2－2x＋3的“图象数”为[1，－2，3].若“图象数”是[m，2m＋4，2m＋4]的二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 　－2或2　. －2或2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 11. (2025·连云港中考)已知二次函数y＝x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3，a为常数. (1)若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围； (1)解：∵二次函数y＝x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3 中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上. ∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点， ∴函数的最小值小于2a2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 则 ＝2a2－4a＋2＜2a2. 解得a＞ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； (2)解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ＝4(a＋1)2－4×1×(3a2－2a＋3)＝－8a2＋16a －8＝－8(a－1)2≥0. ∴8(a－1)2≤0. 又∵8(a－1)2≥0， ∴8(a－1)2＝0. 解得a＝1. 11. (2025·连云港中考)已知二次函数y＝x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3，a为常数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (3)求证：该二次函数的图象不经过原点. (3)证明：∵当x＝0时，y＝3a2－2a＋3＝3(a－ )2＋ ＞0， ∴二次函数的图象不经过原点. (3)证明：∵当x＝0时，y＝3a2－2a＋3＝3(a－ )2 ＋ ＞0， ∴二次函数的图象不经过原点. 11. (2025·连云港中考)已知二次函数y＝x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3，a为常数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 12. 【新视角·模块综合】已知二次函数y＝x2－4x＋m的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，若x1＋3x2＝6，则m的值为(　A　) A. 3 B. －3 C. 2 D. －2 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 13. 已知抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝a(a≥0)相交于A，B两点(xA＜xB). (1)当a＝0时，直接写出A，B两点的坐标； 解：A(－3，0)，B(1，0). (2)【数形结合思想】将直线y＝a向上平移5个单位长度，并与此抛物线交于C，D两点(xC＜xD).比较xA，xB，xC，xD的大小： 　x C＜xA＜xB＜xD　(用“＜”连接). 解：A(－3，0)，B(1，0). xC＜xA＜xB＜ xD 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 拓展变式 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，比较x1，x2，x3，x4的大小： 　x1＜x3＜x4＜x2　(用“＜”连接). x1＜x3＜x4＜x2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 $