函数的奇偶性专练专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以定义为根基，分模块构建“判断-性质-图象对称”三阶训练体系，通过典例提炼定义法、性质综合应用等可迁移方法，逻辑链条清晰，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |奇函数偶函数的判断|8小题|定义法（定义域+f(-x)与f(x)关系）、单调性结合判断|从概念辨析到简单应用，夯实奇偶性判定基础| |奇函数偶函数的性质|8小题|奇偶性与单调性/周期性综合、参数求解（f(-x)=±f(x)）|性质推导与应用，建立知识间逻辑联系| |奇偶函数图象的对称性|8小题|图象对称转化（中心对称/轴对称）、周期与对称综合|从形到数，深化数形结合思想，拓展应用维度|

函数的奇偶性专练 一．奇函数偶函数的判断（共8小题） 1．（2026春•红桥区期末）下列函数中是偶函数的是（　　） A．f（x）＝log2x B．f（x）＝ex C．f（x）＝﹣x2 D． 2．（2026春•浦东新区校级期末）下列函数中是奇函数的是（　　） A．y＝x•sinx B． C．y＝x+sinx D．y＝x+cosx 3．（2026•五华区校级模拟）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（　　） A．y＝x3 B．y＝|x|+1 C．y＝﹣x2+1 D．y＝2﹣|x| 4．（2025秋•射阳县校级期末）下列函数是偶函数，且在区间（0，+∞）上是减函数的是（　　） A． B．y＝|x| C．y＝3x2+x+1 D．y＝2x+1 （多选）5．（2025秋•荔湾区校级期末）已知函数，则（　　） A．f（﹣x）＝f（x） B．f（﹣x）＝﹣f（x） C． D． 6．（2026春•普陀区校级期末）函数是　 　 函数（填“奇”或“偶”）． 7．（2025秋•随州期末）已知函数． （1）当a＝0时，判断f（x）的奇偶性； （2）若实数x1，x2为方程x2+2ax﹣1＝0的两根，求的值． 8．（2025秋•虹口区期末）已知． （1）求函数y＝f（x）的最小值． （2）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并证明你的结论． 二．奇函数偶函数的性质（共8小题） 9．（2026•南京模拟）已知函数为奇函数，则a＝（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 10．（2026春•龙湖区校级期末）已知f（x+1）﹣1是定义在R上的奇函数，且f（2+x）＝f（2﹣x），当1≤x≤2时，f（x）＝3﹣2x，则（　　） A． B． C． D． 11．（2026春•六盘水月考）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（2x+1）为偶函数，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 12．（2026春•怀化期末）已知定义在R上的函数f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1）．则不等式在区间[0，2]上的解集为（　　） A． B． C． D． 13．（2026春•南阳期末）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）是奇函数，f（﹣2）＝1，则f（10）＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 14．（2026春•香坊区校级期末）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，f（x）+f（x﹣2）＝0，且当时，f（x）＝x2+2ax+b，则（　　） A．a＝﹣2，b＝﹣3 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝﹣4，b＝﹣3 D．a＝﹣4，b＝3 15．（2026春•承德期末）已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，满足f（﹣1）＝﹣1，当﹣3＜x≤0时，． （1）求实数a，b的值； （2）求函数f（x）的解析式； （3）若f（3m﹣2）+f（2m﹣1）＞0，求实数m的取值范围． 16．（2025秋•静安区校级期末）已知函数为偶函数，其中a＞0． （1）求a的值； （2）若f（x）﹣m≥0对∀x∈R恒成立，求实数m的取值范围． 三．奇偶函数图象的对称性（共8小题） 17．（2026•安徽校级二模）已知f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于点（1，2）对称，g（x）＝f（x﹣2）+3x，且g（x）的图象关于点（1，0）对称，则g（19）＝（　　） A．99 B．78 C．66 D．52 18．（2026春•宝坻区期末）下列函数的图象关于y轴对称的是（　　） A．y＝|lgx| B．y＝ln|x| C．y＝xcosx D．y＝x2sinx 19．（2026春•重庆月考）已知幂函数，若函数f（x）与函数g（x）的图象关于直线x＝2对称，则g（﹣4）＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 20．（2025秋•徐汇区校级期末）已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，3是它的一个周期．若f（2）＝0，则函数y＝f（x）在区间[0，6]上零点个数的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 21．（2025秋•杭州期末）已知函数，则函数f（x）（　　） A．关于点（1，1）对称 B．关于直线x＝1对称 C．在R上单调递增 D．值域为（0，2） （多选）22．（2026•南京模拟）已知定义在R上的可导函数f（x）是偶函数，且满足f（2﹣x）+f（x）＝0，则下列结论一定正确的是（　　） A．4是f（x）的一个周期 B．f（x）的图象关于点（1，0）中心对称 C．f′（x）的图象关于x＝2对称 D．f′（2024）＝0 23．（2026春•株洲期末）已知函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，也关于直线x+y＝0对称，且当0≤x≤1时，f（x）＝2x﹣1，则　 　 ． 24．（2025秋•辽宁期末）设函数f（x）＝ax+2（x﹣1）3． （1）证明：曲线y＝f（x）为中心对称图形； （2）若f（x）＞0当且仅当x＞1，求a的值． 参考答案与试题解析 一．奇函数偶函数的判断（共8小题） 1．【分析】根据偶函数的定义逐项判断． 【解答】解：对于A：f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）是非奇非偶函数，A错误； 对于B：f（x）的定义域为R，，不是偶函数，B错误； 对于C：f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝f（x），f（x）是偶函数，C正确； 对于D：f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，f（x）是奇函数，D错误． 故选：C． 2．【分析】先求出各个函数的定义域，再根据f（﹣x）与f（x）的关系即可做出判断． 【解答】解：对于A，函数f（x）的定义域为R， 且f（﹣x）＝（﹣x）•sin（﹣x）＝xsinx＝f（x），f（x）是偶函数，故A错误； 对于B，函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） 且，所以g（x）是偶函数，故B错误； 对于C，函数h（x）的定义域为R， 且h（x）＝（﹣x）+sin（﹣x）＝﹣（x+sinx）＝﹣h（x），所以h（x）是奇函数，故C正确； 对于D，函数p（x）的定义域为R， 且p（﹣x）＝（﹣x）+cos（﹣x）＝﹣x+cosx， p（﹣x）≠p（x），p（﹣x）≠﹣p（x），所以p（x）是非奇非偶函数，故D错误． 故选：C． 3．【分析】由题意逐一考查所给函数的奇偶性和单调性即可求得最终结果． 【解答】解：逐一考查所给的选项： A．y＝x3是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意； B．y＝|x|+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增； C．y＝﹣x2+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意； D．y＝2﹣|x|是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意． 故选：B． 4．【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可求解． 【解答】解：根据幂函数性质可知，y为偶函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，A正确； y＝|x|在区间（0，+∞）上是增函数，B错误； y＝3x2+x+1，y＝2x+1不是偶函数，CD错误． 故选：A． 5．【分析】根据给定的函数式，逐项计算判断即可． 【解答】解：因为函数， 对于AB，，A正确，B错误； 对于CD，由，C错误，D正确． 故选：AD． 6．【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设f（x）＝sin（x）， 则f（x）＝cosx，其定义域是R， 有f（﹣x）＝cos（﹣x）＝cosx＝f（x），则f（x）为偶函数． 故答案为：偶． 7．【分析】（1）求解f（x）与f（﹣x）根据奇函数与偶函数的定义即得； （2）由韦达定理得到相关式子，代入化简即可． 【解答】解：（1）当a＝0时，为奇函数，理由如下： ， 故f（x）为奇函数． （2）若实数x1，x2为方程x2+2ax﹣1＝0的两根， Δ＝4a2+4＞0，x1+x2＝﹣2a，x1x2＝﹣1， ， 故 ． 8．【分析】（1）利用基本不等式直接求最值即可． （2）利用函数奇偶性的定义证明即可． 【解答】解：（1）函数中，2x＞0对所有实数x成立． 根据基本不等式（当且仅当a＝1时取等号），令a＝2x，则f（x）≥2． 当2x＝1，即x＝0时，等号成立，故函数的最小值为2． （2）函数f（x）是偶函数． 证明如下：函数的定义域为R，关于原点对称． ， 因此f（x）为偶函数． 二．奇函数偶函数的性质（共8小题） 9．【分析】对任意的x＜0，﹣x＞0，求出f（﹣x）的等式，根据f（﹣x）＝﹣f（x）可求出实数a的值． 【解答】解：函数， 对任意的x＜0，﹣x＞0，则， 因为函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x）， 故当x＜0时，由f（﹣x）＝﹣f（x）可得，即， 所以﹣a＝2，解得a＝﹣2． 故选：D． 10．【分析】利用f（x+1）﹣1是定义在R上的奇函数且f（2+x）＝f（2﹣x），可得到f（x）＝2﹣f（x+2），即可得，由f（x）＝3﹣2x可求，即可得． 【解答】解：由题可得：f（﹣x+1）﹣1＝﹣[f（x+1）﹣1]，即f（x+1）＝2﹣f（﹣x+1）＝2﹣f（1﹣x）．所以f（x）＝2﹣f（2﹣x）． 又因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（x）＝2﹣f（x+2）． 所以． 当1≤x≤2时，f（x）＝3﹣2x，所以． 所以． 故选：A． 11．【分析】先根据奇函数性质和偶函数的性质，推导f（x）的对称性与周期性，再逐一验证各选项即可． 【解答】解：因为f（2x+1）为偶函数，所以f（﹣2x+1）＝f（2x+1）， 令t＝2x可得f（1﹣t）＝f（1+t），即f（x）的图象关于直线x＝1对称， 故对任意x∈R，f（x）＝f（2﹣x）． 因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以对任意x∈R，有f（﹣x）＝﹣f（x）； 所以f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）， 所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数． 选项A，，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，，故C错误； 选项D，，故D错误． 故选：B． 12．【分析】结合函数的奇偶及周期性进行转化即可求解． 【解答】解：当x∈[0，1]时，由，得log2， 所以； 因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）， 当x∈[﹣1，0]时，则﹣x∈[0，1]，所以f（x）＝f（﹣x）＝log2（﹣x+1）， 因为函数f（x）是周期为2的周期函数，所以f（x）＝f（x﹣2）， 当x∈[1，2]，则x﹣2∈[﹣1，0]，所以f（x）＝f（x﹣2）＝log2（﹣x+2+1）＝log2（﹣x+3）， 由，得，解得， 不等式在区间[0，2]上的解集为． 故选：B． 13．【分析】根据题意，可得f（x）为周期为4的偶函数，根据性质求值． 【解答】解：由f（x+1）是奇函数，可得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）， 由f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（﹣x）＝f（x）， 则f（2﹣x）＝f（﹣（x﹣1）+1）＝﹣f（（x﹣1）+1）＝﹣f（x）， 所以f（2+x）＝﹣f（﹣x）＝﹣f（x）， 所以f（x+4）＝f（（x+2）+2）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 则f（10）＝f（2+2×4）＝f（2）＝f（﹣2）＝1． 故选：C． 14．【分析】先根据已知条件推出函数f（x）的周期，再利用偶函数的性质和给定区间上的函数表达式来确定a、b的值． 【解答】解：已知f（x）+f（x﹣2）＝0，即f（x）＝﹣f（x﹣2）， 可得f（x+2）＝﹣f（x）＝f（x﹣2）， 令t＝x﹣2，则x＝t+2，那么f（t+4）＝f（t），所以函数f（x）的周期是4， 因为f（x）是定义域为R的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）． 可得， 令x＝1，代入f（x）+f（x﹣2）＝0得f（1）+f（﹣1）＝0， 又因为f（x）是偶函数，f（﹣1）＝f（1），所以2f（1）＝0，即f（1）＝0， 再根据周期性质f（1）＝f（1+4）＝f（5），同时f（5）＝f（5﹣4）＝f（1），且f（1）＝f（﹣3）＝f（3），所以f（3）＝0． 当时，f（x）＝x2+2ax+b， 和代入函数得：3a+b5a+b， 解得a＝﹣2， 再将x＝3，a＝﹣2代入f（x）＝x2+2ax+b，且f（3）＝0，得32+（﹣4）×3+b＝0，解得b＝3， 综上，a＝﹣2，b＝3． 故选：B． 15．【分析】（1）根据条件可得f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣1，解方程组即可； （2）先由（1）求得﹣3＜x≤0时f（x）的解析式，再利用f（x）是奇函数，有f（x）＝﹣f（﹣x）即可得f（x）的解析式； （3）先判断f（x）的单调性，再结合f（x）的定义域，列出关于m的不等式组，求解不等式组即可． 【解答】解：（1）由函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，满足f（﹣1）＝﹣1， 可得，解得a＝2，b＝0； （2）由（1）可知，当﹣3＜x≤0时，． 当0＜x＜3时，﹣3＜﹣x＜0，所以． 故当0＜x＜3时，． 所以； （3）因为当﹣3＜x≤0时，在（﹣3，0]上单调递增． 因为f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，所以f（x）在（﹣3，3）上单调递增． 由题意，得不等式f（3m﹣2）+f（2m﹣1）＞0，即f（3m﹣2）＞f（1﹣2m）， 所以﹣3＜1﹣2m＜3m﹣2＜3． 解得，即实数m的取值范围是． 16．【分析】（1）根据偶函数的定义化简求值； （2）根据基本不等式求得f（x）min，根据恒成立问题可求得实数m的取值范围． 【解答】解：（1）由题可得f（x）＝f（﹣x）， 即，亦即， 因为a＞0，所以ax+1＞0，约分可得，即ax＝4x，解得a＝4． （2）由（1）得， 又2x＞0，由基本不等式得，当且仅当，即x＝0时等号成立， 又f（x）﹣m≥0对∀x∈R恒成立，所以m≤f（x）min＝2， 所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]． 三．奇偶函数图象的对称性（共8小题） 17．【分析】求出f（x+4）＝f（x）+10，f（1）＝2，g（19）＝f（17）+57＝f（1）+40+57，即可得出结论． 【解答】解：由f（x）的图象关于点 （1，2）对称可得 f（﹣x）+f（2+x）＝4， 即f（﹣x）＝4﹣f（2+x）， 由 g（x）的图象关于点（1，0）对称可得 g（2﹣x）+g（x）＝0， 又 g（x）＝f（x﹣2）+3x， 所以f（﹣x）+3（2﹣x）+f（x﹣2）+3x＝0， 即f（﹣x）＝﹣f（x﹣2）﹣6， 故4﹣f（2+x）＝﹣f（x﹣2）﹣6， 即f（2+x）＝f（x﹣2）+10， 故f（x+4）＝f（x）+10． 在f（﹣x）+f（2+x）＝4中，令x＝﹣1，得f（1）＝2， 故g（19）＝f（17）+57＝f（1）+40+57＝99． 故选：A． 18．【分析】结合基本初等函数的奇偶性检验各选项即可求解． 【解答】解：选项A：y＝|lgx|，定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不满足要求，A错误； 选项B：y＝ln|x|，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称； 且f（﹣x）＝ln|﹣x|＝ln|x|＝f（x），是偶函数，图象关于y轴对称，符合要求，B正确． 选项C：y＝xcosx，f（﹣x）＝（﹣x）cos（﹣x）＝﹣xcosx＝﹣f（x），是奇函数，图象关于原点对称，C错误； 选项D：y＝x2sinx，f（﹣x）＝（﹣x）2sin（﹣x）＝﹣x2sinx＝﹣f（x），是奇函数，图象关于原点对称，D错误． 故选：B． 19．【分析】通过两函数的对称性得到g（x）＝f（4﹣x），即可求解． 【解答】解：因为函数f（x）与函数g（x）的图象关于直线x＝2对称， 对于g（x）上任意一点（x，g（x）），关于x＝2的对称点（4﹣x，g（x））一定在f（x）上， 即 g（x）＝f（4﹣x）， 则g（﹣4）＝f[4﹣（﹣4）]＝f（8）， 又，可得f（8）4， 因此g（﹣4）＝4． 故选：B． 20．【分析】利用奇函数的性质、周期函数的定义，结合零点的定义得出结论． 【解答】解：已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，故f（0）＝0． 又3是它的一个周期，即f（x+3）＝f（x）对所有x∈R成立． 由已知f（2）＝0，根据周期性，f（2+3）＝f（5）＝0，故x＝5是零点； 由奇函数性质，f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，再由周期性，f（﹣2+3）＝f（1）＝0，故x＝1是零点； 进一步，f（1+3）＝f（4）＝0，故x＝4是零点； f（3）＝f（0+3）＝f（0）＝0，故x＝3是零点； f（6）＝f（3+3）＝f（3）＝0，故x＝6是零点． 综上，函数y＝f（x）在区间[0，6]上的零点为0，1，2，3，4，5，6，共7个． 故函数y＝f（x）在区间[0，6]上零点个数的最小值为7． 故选：C． 21．【分析】结合函数的对称性检验选项AB，结合函数单调性检验选项CD． 【解答】解：因为函数， 则f（2﹣x）f（x），则f（x）的图象关于x＝1对称，A错误，B正确； 因为f（1），f（2），f（1）＞f（2），C显然错误； 函数111， 因为54+5＝9，当且仅当x＝1时取等号，所以1＜1，D错误． 故选：B． 22．【分析】利用函数f（x）是偶函数及f（2﹣x）+f（x）＝0可得f（x+4）＝f（x）；利用f（2﹣x）+f（x）＝0可得f（x）的图象关于点（1，0）中心对称；利用f′（2﹣x）＝f′（x），f′（2+x）＝﹣f′（x）可得f′（2﹣x）≠f′（2+x）；利用f′（﹣x）＝﹣f′（x）得f′（0）＝0，再利用f′（x+4）＝f′（x）即可计算f′（2024）． 【解答】解：对于A，由f（x）是偶函数得f（﹣x）＝f（x）， 又因为f（2﹣x）+f（x）＝0，所以f（2+x）+f（﹣x）＝0， 则f（2+x）+f（x）＝0，即f（x+2）＝﹣f（x）． 所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）的一个周期为4，故A正确； 对于B，由f（2﹣x）+f（x）＝0，得f（2﹣x）＝﹣f（x）， 所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，故B正确； 对于C，由f（2﹣x）+f（x）＝0，得﹣f′（2﹣x）+f′（x）＝0，即f′（2﹣x）＝f′（x）． 由f（2+x）+f（x）＝0得f′（2+x）+f′（x）＝0，即f′（2+x）＝﹣f′（x）． 因为x∈R，所以f′（2﹣x）≠f′（2+x），即f′（x）的图象不关于x＝2对称，故C错误； 对于D，由f（﹣x）＝f（x）得﹣f′（﹣x）＝f′（x），即f′（﹣x）＝﹣f′（x）． 所以f′（0）＝﹣f′（0），即f′（0）＝0． 由f（x+4）＝f（x）得f′（x+4）＝f′（x），所以函数f′（x）的周期为4． 所以f′（2024）＝f′（4×506+0）＝f′（0）＝0，故D正确． 故选：ABD． 23．【分析】利用函数的对称性与单调性可得． 【解答】解：设，则f（x）的图象过点． 设B（x1，y1）与关于（1，1）对称，可得B（，2﹣t）； 设点C（x2，y2）与关于x+y＝0对称，可得C（t﹣2，）； 设点D（x3，y3）与关于点（1，1）对称，可得D（4﹣t，）． 由于f（x）在[0，1]上单调递增，值域为[0，1]， 根据f（x）图象的对称性可知，f（x）在R上单调递增， 当0≤x≤1时，0≤f（x）≤1． 因为，所以点的横坐标在区间[0，1]内，即0≤4﹣t≤1． 所以，所以， 故t＝5﹣log23． 故答案为：5﹣log23． 24．【分析】（1）设g（x）＝f（x+1）﹣a，先证明g（x）为奇函数，再由f（x+1）+f（﹣x+1）＝2a得证； （2）根据函数的连续性可得f（1）＝0，求解后检验即可． 【解答】解：（1）证明：令g（x）＝f（x+1）﹣a＝ax+2x3， 则g（﹣x）＝a（﹣x）+2（﹣x）3， g（x）+g（﹣x）＝ax+a（﹣x）+2x3+2（﹣x）3＝0，g（x）为奇函数． 即f（x+1）+f（﹣x+1）＝2a， 故y＝f（x）为关于点（1，a）对称的中心对称图形． （2）由题意可得f（1）＝0，即f（1）＝a+2（1﹣1）3＝a＝0， 检验，当a＝0时，f（x）＝2（x﹣1）3， 满足f（x）＞0当且仅当x＞1， 故a＝0． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $