1.1.2 勾股定理的证明及简单应用 课时练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 该同步练通过A/B/C三级分层设计（题量6:2:5），构建从勾股定理基础证明到复杂实际应用的巩固路径，融合数学眼光（几何直观）、思维（推理运算）与语言（模型表达），适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|勾股定理证明（赵爽弦图）、简单应用（路径/长度计算）|基础概念辨析与直接应用，培养抽象能力和空间观念| |B组|综合证明（达·芬奇方法）、动态问题（风筝高度与收线）|跨情境整合与过程性分析，发展运算能力和推理意识| |C组|复杂实际情境（考古挖掘/测速/消防云梯）|真实问题解决与模型构建，强化应用意识和创新意识|

1.1.2勾股定理的证明及简单应用 A组 基础巩固 1.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.若图中直角三角形较短的直角边长是8，小正方形的边长是7，则大正方形的面积为　　. 2.小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图(如图)，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走6 km，最后往东走 1 km 找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是(　　) A.20 km B.14 km C.11 km D.10 km 第2题图 3.如图，一根17 cm的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是9 cm，内壁高12 cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的取值范围是(　　) A.2≤x≤5 B.6≤x≤9 C.9≤x≤12 D.12≤x≤15 第3题图 4.我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”.三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(　　) 5.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2，BC＝7，则AB2＋CD2等于(　　) A.45 B.49 C.50 D.53 6.如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 25 m，结果他在水中实际划了65 m，求该河流的宽度. B组 能力提升 7.意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理.左图中空白部分由边长分别为a，b的两个正方形和斜边为c的两个直角三角形组成，若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是(　　) A.S1＝a2＋b2＋2ab 　B.S1＝a2＋b2＋ab C.S2＝c2＋2ab 　D.S2＝c2＋ab 8.小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①如图，测得水平距离BD的长为15 m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m；③测得牵线放风筝的小明的身高为1.6 m. (1)风筝的垂直高度CE为　　m. (2)若小明想让风筝沿CD方向下降12 m，则他应该往回收线多少米？ C组 思维拓展 9.如图，一文物被探明位于A点地下48 m处，由于A点地面下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点14 m的B处斜着挖掘，那么要找到文物至少要挖(　　) A.14 m B.48 m C.50 m D.60 m 10.根据道路交通管理条例的规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速60 km/h.如图，已知测速点M到测速区间的端点A，B的距离分别为50 m，34 m，M距公路l的距离(即MN的长)为30 m.现测得一辆汽车从A到B所用的时间为5 s，通过计算判断此车是否超速. 11.如图①，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人.如图②，已知云梯最多只能伸长到15 m(即AB＝CD＝15 m)，消防车高3 m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12 m(即BE＝12 m)高的B处救人后，还要从15 m(即DE＝15 m)高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？(提示：如图②，延长AC交DE于点O，AO⊥OE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3 m). 12.如图，长13 m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角5 m，求梯子的顶端离地面的距离. 13.如图，小王在距离东西向公路800 m的A处测算某汽车的速度，某一时刻汽车在他正北方向，20 s后汽车与他相距1 000 m，求汽车的速度. 1.1.2勾股定理的证明及简单应用 A组 基础巩固 1.　289　. 2. (　D　) 3. (　A　) 4. (　D　) 5. (　D　) 6. 解：因为AC＝65 m，BC＝25 m， 所以由勾股定理，得AB2＋252＝652，解得AB＝60 m. 因此，该河流的宽度为60 m. B组 能力提升 7. (　B　) 8.(1)　21.6　m. (2)解：如图，取CF＝12 m，连接BF. 在Rt△BFD中，由勾股定理，得BF2＝BD2＋FD2＝152＋(20－12)2， 所以BF＝17 m.25－17＝8(m).所以他应该往回收线8 m. C组 思维拓展 9.　C　 10.解：在Rt△AMN中，AM＝50 m，MN＝30 m， 由勾股定理，得AM2＝MN2＋AN2，即502＝302＋AN2. 所以AN＝40 m. 在Rt△MNB中，BM＝34 m，MN＝30 m， 由勾股定理，得BM2＝MN2＋BN2，即342＝302＋BN2. 所以BN＝16 m. 所以AB＝AN＋BN＝40＋16＝56(m). 汽车从A到B的平均速度为56÷5＝11.2(m/s). 因为11.2 m/s＝40.32 km/h＜60 km/h，所以此车没有超速. 11.解：在Rt△ABO中，AB＝15 m，OB＝12－3＝9(m)， 由勾股定理，得AB2＝OA2＋OB2，即152＝OA2＋92. 所以OA＝12 m. 在Rt△COD中，CD＝15 m，OD＝15－3＝12(m)， 由勾股定理，得CD2＝OC2＋OD2，即152＝OC2＋122. 所以OC＝9 m.所以AC＝OA－OC＝3 m. 因此，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为3 m. 12.解：在Rt△ABC中，BC＝5 m，AC＝13 m， 所以AB2＝AC2－BC2＝132－52＝122. 所以AB＝12 m. 因此，梯子的顶端离地面的距离为12 m. 13.解：由题意，得△ABC为直角三角形. 由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝360 000， 所以BC＝600 m.所以600÷20＝30(m/s). 因此，汽车的速度是30 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $