1.3 勾股定理的应用 课时练习 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 本练习通过基础情境应用、提升型图形变换、综合实际问题三层设计，构建勾股定理从直接计算到模型应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理直接应用（如梯子靠墙、树折断距离计算）|以生活情境题（如木梯靠墙）培养数学眼光，强化抽象能力与几何直观| |提升层|折叠问题、空间最短路径、规律探究（如蚂蚁爬行、羊头图案）|结合图形变换与空间展开，发展推理意识与空间观念| |综合层|复杂实际问题（荷花问题、台风影响范围计算）|通过多步骤应用题（如台风持续时间）构建模型，提升应用意识与运算能力|

1.3 勾股定理的应用 课时练习 一.选择题：（共25分） 1.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（　　） A. 0.7米 B. 0.8米 C. 0.9米 D. 1.0米 2.如图，将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 （    ）． A.9cm≤h≤10cm B. 10cm≤h≤11cm C. 12cm≤h≤13cm D. 8cm≤h≤9cm 3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 10cm 4.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（　　） A. 一定不会 B. 可能会 C. 一定会 D. 以上答案都不对 5.已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 二.填空题：（共25分） 6.如图，长方体中，AB=12m，BC=2m，BB=3m，一只蚂蚁从点A出发，以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点C′，至少需要_______分钟。 7.如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为________cm。 8.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是__m/s． 9.如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为__________ cm． 10.如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC=______． 三.解答题：（共50分） 11.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ 12.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明． 13.在印度数学家拜·什迦罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”平平湖水清可鉴，水上一尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位五尺远；能算诸君请解题，湖水深浅知几何？请你用学过的数学知识回答这个问题。 14.如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？ 15.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力。如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线 AB上两点A,B的距离分别为300km和400km，又 AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域。 （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ （解析卷） 一.选择题：（共25分） 1.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（　　） A. 0.7米 B. 0.8米 C. 0.9米 D. 1.0米 【答案】A 【解析】试题分析：由题意分析，满足2.5是该直角三角形的斜边，所以需要满足条件，故选B 2.如图，将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 （    ）． A.9cm≤h≤10cm B. 10cm≤h≤11cm C. 12cm≤h≤13cm D. 8cm≤h≤9cm 【答案】A 【解析】设杯子中筷子长度为xcm, ∵将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中， ∴筷子露在杯子外面的长度最长为：在杯子中筷子最短是等于杯子的高； 筷子露在杯子外面的长度最短为：在杯子中筷子最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，x=12，则h最大值为：22-12=10cm, 当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度是：x= ,则h最小值为22-13=9cm; ∴9cm≤h≤10cm; 故选A。 3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 10cm 【答案】B 【解析】试题分析：先根据勾股定理求出AB的长，再由图形折叠的性质可知，AE=BE，故可得出结论． ∵△ABC是直角三角形，两直角边AC=6cm、BC=8cm， ∴AB===10cm， ∵△ADE由△BDE折叠而成， ∴AE=BE=AB=×10=5cm． 4.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（　　） A. 一定不会 B. 可能会 C. 一定会 D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】解：如图所示，AB=10米，AC=6米，根据勾股定理得， BC===8米＜9米． 故选：A． 5.已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】试题分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB． 解：将点A和点B所在的两个面展开， 则矩形的长和宽分别为6和8， 故矩形对角线长AB==10， 即蚂蚁所行的最短路线长是10． 故选B． 二.填空题：（共25分） 6.如图，长方体中，AB=12m，BC=2m，BB=3m，一只蚂蚁从点A出发，以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点C′，至少需要_______分钟。 【答案】3.25 【解析】试题分析：根据勾股定理可得：点A到点C的最短距离为13cm，则t=13÷4=3.25分钟. 7.如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为________cm。 【答案】8 【解析】试题分析：根据图形以及等腰直角三角形的性质可得：正方形①的边长为64cm；正方形②的边长为32cm；正方形③的边长为32cm；正方形④的边长为16cm；正方形⑤的边长为16cm；正方形⑥的边长为8cm；正方形⑦的边长为8cm. 8.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是__m/s． 【答案】20 9.如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为__________ cm． 【答案】3.4 【解析】试题分析：根据矩形的性质可得：BC=AD=3cm，设AE=xcm，则BE=(5－x)cm，根据折叠图形的性质可得CE=AE=xcm，根据Rt△BCE的勾股定理可得：，解得：x=3.4 10.如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC=______． 【答案】17 【解析】试题分析：以MN为轴作A点对称点A′，连接A′B交MN于C，则A′B就是AC+BC最小值；根据勾股定理求得A′B的长，即可求得AC+BC的最小值． 解：作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，则AC+BC=A′C+BC=A′B，A′B就是AC+BC的最小值； 延长BN使ND=A′M，连接A′D， ∵AM⊥MN，BN⊥MN， ∴AA′∥BD， ∴四边形A′DNM是矩形， ∴ND=AM=3，A′D=MN=15， ∴BD=BN+ND=5+3=8， ∴A′B==17， ∴AC+BC=17， 故答案为17． 三.解答题：（共50分） 11.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ 【答案】15. 【解析】试题分析：首先根据题意，正确画出图形，还要根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算． 试题解析：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30-x）米， 根据题意，得： （30-x）2-（x+10）2=202， 解得x=5． 即树的高度是10+5=15米． 12.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明． 【答案】有危险 【解析】过C作CD⊥AB于D．根据BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，利用根据勾股定理有AB=500米．利用S△ABC=得到CD=240米．再根据240米＜250米可以判断有危险． 13.在印度数学家拜·什迦罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”平平湖水清可鉴，水上一尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位五尺远；能算诸君请解题，湖水深浅知几何？请你用学过的数学知识回答这个问题。 【答案】12尺 【解析】试题分析：设湖水深x尺，则荷叶杆长为（x+1）尺，再根据勾股定理列出方程，再解即可． 试题解析：设湖水深x尺，则荷叶杆长为（x+1）尺， 则根据勾股定理，得．x2+52=（x+1）2， 解得：x=12， 所以湖水深12尺． 14.如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？ 15.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力。如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线 AB上两点A,B的距离分别为300km和400km，又 AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域。 （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港C受台风影响.理由见解析.(2) 7小时. 【解析】试题分析：（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间； 试题解析： （1）海港C受台风影响。 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC=300km，BC=400km，AB=500km， ∴AC2+BC2=AB2. ∴△ABC是直角三角形。 ∴AC×BC=CD×AB ∴300×400=500×CD ∴CD==240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响。 （2）当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口， ∵ED==70(km), ∴EF=140km ∵台风的速度为20km/h， ∴140÷20=7（小时） 即台风影响该海港持续的时间为7小时。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $