1.2.1 有理数的概念 教案 学案 课件 2026-2027学年人教版七年级数学上册

1.2.1有理数的概念学案 年级：七年级 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 学习目标 1.结合现实情境，理解有理数概念，了解有理数的历史来源。 2.掌握有理数两套分类标准，分清整数、分数，理解0的特殊地位。 3.可以辨析数学概念，会说理、举反例。 任务一 生活情境思考 情境素材 ①气温气象：冬季某地昼夜气温：； ②海拔高度：海平面记为；山峰海拔；深海海沟； ③家庭日常记账：工资收入元，水电支出元；分摊房租，每人分担元； ④物资分配：将水果平均分给4个人，每人分得。 提取场景数字 思考问题 1.说一说每个数字代表的现实含义。 2.小学学过整数、分数，引入负数后出现负小数、负分数，旧的数的体系能不能收纳全部这些数？ 3.我们需要怎样一套规则整理这些数字？ 我的想法：________________________________________ 任务二 动手探究新知 阅读数学史料： 我国古代利用负数记录记账盈亏；有理数本意叫做“可比数”。 定义：可以写成（p、q均为整数，）的形式的数，叫做有理数。 填空：________和________统称为有理数。 整数分为 ；分数分为 。 活动目标 依据有理数定义，给生活提取数字打上两套身份标签属于打√。 待归档数字 整数 分数 正有理数 0 负有理数 0 思考填空 1.上表当中的整数有：  上表当中的分数有： 2.两套分类角度 ①按照数的形式划分，分为整数、分数； ②按照符号划分，分为正数、0、负数。 课内典型例题 把下列数字归类： 正整数： 负分数： 整数： 正有理数： 答案：正整数： 负分数： 整数： 正有理数： 我的疑问 任务三 易错辨析 判断对错，并且书写理由，可举生活实例辅助 ①.0属于整数。 □对 □错  理由：_________ ___ ②.有限小数可以转化成分数，属于分数。□对 □错  理由：_________ ___ ③.圆周率是有理数。□对 □错  理由：_________ ___ ④.带有负号，所以它是负分数。□对 □错  理由：_________ ___ ⑤.有理数分为正有理数、负有理数两大类。□对 □错  理由：_________ ___ 第①题：纠正误区：很多同学以为0什么都不是，既不算整数也不算分数；明确0属于整数。 ​第②题：强化：只要能够写成（p、q均为整数，）形式，就属于分数，有限小数可以转化。 第③题：区分：无法写成两个整数之比，不属于有理数，区分开有限小数、无限循环小数、无限不循环小数。 第④题：高频错点：看到负号就当成负分数；是负整数，不是分数；符号不决定类别，要看数字本身形式。 第⑤题：纠正分类遗漏：0独立一类，不能并入正或者负；同时点明易错：做分类习题，全程只能使用一套分类标准，不能同时混用“按定义、按正负”两套标准。 小科普 有理数不是“有道理的数”，本意是可比数，可写成两整数之比（p、q均为整数，）。 我的个人易错笔记 任务四 课堂基础练习 1.请写出三个正整数： ；三个负分数： 。 答案：；（答案不唯一） 2. 请将下列各数分类： 正整数有 ； 负分数有 ； 整数有 ； 有理数有 。 答案：正整数有； 负分数有； 整数有； 有理数有。 任务五 课堂小结填空 1.有理数包括________和________。 2.两套分类标准：按________划分；按________划分。 3.0是整数，既不是________，也不是________。 任务六 课后作业 必做： 完成课本对应基础习题 选做： 变式1：观察一组数：， 8，， 0，，， 2027， ，， (1)请从上面数中找出一个负分数，说一说你判断的依据。 (2)小明说：“非负整数就是去掉所有负数之后剩下的整数，所以非负整数就是正整数。”他的说法是否正确？如果错误，请从上面的数据中举出反例。 教师参考答案 (1)示例：是负分数；依据：它可以改写为，满足两个整数之比，符号为负，属于负分数。（也可写） (2)不正确；反例：数据中的0是整数，不属于负数，属于非负整数，但0不是正整数。数据中的是无限不循环小数，不属于整数。 变式2：下列说法正确的有________。 ①一个有理数，不是整数就一定是分数 ②0是有理数，但不是正有理数，也不是负有理数 ③有限小数不属于有理数 ④负有理数就是负分数 答案：①② 实践拓展： 观察家庭生活：摘抄5个生活中出现有理数（天气预报、购物小票、海拔等），把它们按照有理数定义完成分类。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1 有理数的概念（教案） 学科 数学 年级 七年级上册 课时 1 课型 新授课 备课教师 日期 一、教学前置分析 1. 教材定位（人教版） 本节是第一章有理数第二节，承接《正数与负数》，本节课完成整数、分数系统化归类，正式建立有理数完整概念；既是小学整数、分数知识的延伸，也是负数概念的巩固。为后续数轴、相反数、绝对值、有理数运算搭建概念底座。本节课渗透分类讨论思想，完成学生从算术思维向代数思维的过渡。 2. 学情预判 已有基础 ①掌握正数、负数意义，知道0既不是正数也不是负数； ②小学熟悉整数、分数，接触过有限小数、无限循环小数、无限不循环小数。 学生高频易错点 ①主观认为小数不属于分数，分不清有限小数、无限循环小数、无限不循环小数的区别； ②分类练习习惯性遗漏数字0； ③片面认为有理数只分正、负两类，忽略0的独立地位； ④混淆“整数”“正整数”，把0归入正数或者负数。 课堂风险预判 ①分类探究活动中学生分类标准混乱，重复或者漏数； ②小组讨论脱离学习任务，闲聊跑题； ③部分学生无法理解“小数为什么属于分数”，只记住结论，不懂现实来源。 3. 核心素养目标 符号意识☑ 数感☑ 推理能力☑ 运算能力☑ 应用意识☑ 几何直观□ 模型观念□ ①知识技能：理解有理数定义，掌握两套分类标准；能够识别生活情境中的有理数，把现实数量抽象成有理数； ②过程方法：经历“现实实例—抽象数字—分类归纳”完整过程；通过课堂动手分类实践，掌握分类讨论思想，做到分类不重复、不遗漏； ③情感‑育人目标：结合数学史了解数系扩充真实背景，体会数字来源于生活生产需要；感受数学严谨性，理解数学是用来刻画现实世界的工具。 4. 教学重难点 重点 有理数概念；有理数两套分类体系；识别生活当中的有理数。 难点 理解有限小数、无限循环小数本质属于分数；分类做到不重不漏；理解0在现实场景中的多重含义。 5. 教学资源 PPT 打印学案 课堂实践任务小卡片（可选，把数字打印在小纸条，学生动手分类） 现实素材：海拔、记账收支、气温素材等 数学史阅读片段 二、教学实施（总40min） 环节1 情境导入，锚定问题（4min）【现实生活导入】 教师活动 学生活动 ①气温气象：冬季某地昼夜气温：； ②海拔高度：海平面记为；山峰海拔；深海海沟； ③家庭日常记账：工资收入元，水电支出元；分摊房租，每人分担元； ④物资分配：将水果平均分给4个人，每人分得。 把以上场景数字出现的数字提取出来： 抛出驱动问题： 设问1：回顾小学，我们学过整数、分数。现在多出来负数，还有带负号的小数、带负号的分数。我们原来数的体系还装得下这些新数吗？ 设问2：这么多各式各样的数，我们需要一套统一的规则给它们命名、归类，那该怎样划分？ 本节课核心任务抛出： 今天我们就来给扩充之后的一整套数建立统一概念与分类规则。 独立思考，简短口头作答。 预设生成（学生可能错误回答）： 学生能读懂温度、收支含义，但会困惑：带负号的小数、负分数到底算什么数？0又该放在哪一类，产生认知疑问。 过渡话术： 人类并不是凭空发明数字，整数来自计数，分数来自分配丈量，负数来自记账盈亏。随着生活需要，数字家族不断扩大，小学的整数、分数已经不够描述全部现实数量。今天我们就学习扩充之后完整数家族——有理数。 环节2 新知建构·探究+动手实践活动（15min）【数字身份档案馆+数学史片段穿插】 教师活动 学生活动 第一步：穿插微型数学史，生成有理数定义（3min） 同学们，环节1我们看到现实生活诞生了很多新数字。人类并不是一下子就认识这些数。 史料讲述： 我国古代秦汉时期，记账统计盈亏，最先使用负数；古希腊学者研究整数、分数。后来数学家发现：只要能够写成两个整数之比（p、q均为整数，）形式的数，统称为有理数，翻译本意是“可比数”，并不是“有道理的数”。 由此得到定义：整数和分数统称为有理数。 板书定义：整数和分数统称为有理数； 整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。 过渡引导：知道定义之后，我们回到刚刚生活里面出现的一组数字，我们化身数字档案馆管理员，依据刚刚学到的定义，给这些来自生活的数字完成身份归档。 第二步：数字身份档案馆实践，复用环节1生活数字（5min） 待归档数字（来自环节1生活实例）： 活动任务：给每一个数字打上两套标签 标签A【看形式】：整数、分数 标签B【看符号】：正有理数、 0、负有理数 操作要求： 1.独立思考2分钟，在学案表格完成每个数字标签填写； 2.同桌两人一组，互相审核归档结果，对照有理数定义说一说自己判断依据； 3.选取2—3名“档案馆管理员”展示学案表格，汇报归档结果。 第三步：依托归档表格，建构两套分类框架（4min） 教师递进设问，依托学生填完的档案表格生成分类，树状图由学生的归档结果推导而来，不是直接灌输。 设问1：观察归档表，哪些数字归属于整数？哪些归属于分数？ 设问2：如果我们按照数字本身的形式，把有理数分成两大类，可以怎么划分？ 设问3：换角度，抛开形式，只观察数字的正负符号，又可以怎样划分？ 在学生发言基础之上，教师板书两套完整分类框架，并且着重强调： ⚠两套是完全独立的分类标准： ①按定义（形式）划分：只看这个数是整数还是分数，不关心正负； ②按正负（符号）划分：只看符号，不关心它是整数还是分数； 同一个数字拥有双重身份。举例：：形式上属于负整数；符号上属于负有理数。 第四步：细化课堂预案，详细罗列课堂可能出现情况以及教师引导话术 【预案1】学生认为有限小数不属于分数 学生表现：归档表格中将小数既不打勾整数，也不打勾分数，不知道归到哪里。 教师引导话术：“可以写成，可以写成，都满足（p、q均为整数，）的形式，所以有限小数属于分数。” 【预案2】学生把0划分到正有理数或者负有理数一栏 学生表现：归档表格0填进正有理数或者负有理数。 教师引导话术：“回顾生活实例，0代表海平面基准、，它既不代表盈余也不代表亏损。0是整数，但既不是正有理数，也不是负有理数，要单独划为一类。” 【预案3】学生把当成整数 学生表现：将勾选整数。 教师引导话术：“不能化成整数，只能化成无限循环小数，是分数形式，属于分数，不是整数。” 【预案4】学生分类标准混乱，同一表格同时混用两套标准 学生表现：填表一部分看形式，一部分看符号，分类出现重复、遗漏。 教师引导话术：“我们归档时两套标签分开填写，标签A只判断整数、分数；标签B只判断正负符号，两套标准不要混在一起。分类记住原则：标准统一，不重复、不遗漏。” 【预案5】部分基础薄弱学生不会区分什么是有理数，什么不是有理数 教师引导话术：记住判断标尺：能不能写成两个整数之比（p、q均为整数，），能就是有理数。 第五步：本环节课内典型例题（3min） 例题：把下列数字归类： 正整数： 负分数： 整数： 正有理数： 答案：正整数： 负分数： 整数： 正有理数： 阅读数学史，识记有理数定义；独立填表归档；同桌互查；代表展示成果。 独立完成例题，口头作答，订正笔记。 板书核心内容 定义：整数和分数统称为有理数；整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。 按定义分 按正负属性分 课堂即时干预预案（学生不会怎么引导）： 提问引导：“，这个小数是否能够改写成分数形式？能够写成分数，就属于分数范畴。” 环节3 概念辨析·错例拆解（9min） 教师活动 学生活动 出示辨析题目，请学生判断并且说明理由，结合生活例子解释。 ①0是整数（） 提示：0℃不是没有温度，海平面0米不代表没有高度，0是作为基准的整数。 ②有限小数可以改写成分数，属于分数范畴（） ③无限不循环小数属于有理数（） ④带有负号，因此它是负分数（） ⑤有理数可以简单划分成正有理数、负有理数两大类（） 第①题：纠正误区：很多同学以为0什么都不是，既不算整数也不算分数；明确0属于整数。 ​第②题：强化：只要能够写成（p、q均为整数，）形式，就属于分数，有限小数可以转化。 第③题：区分：无法写成两个整数之比，不属于有理数，区分开有限小数、无限循环小数、无限不循环小数。 第④题：高频错点：看到负号就当成负分数；是负整数，不是分数；符号不决定类别，要看数字本身形式。 第⑤题：纠正分类遗漏：0独立一类，不能并入正或者负；同时点明易错：做分类习题，全程只能使用一套分类标准，不能同时混用“按定义、按正负”两套标准。 引导学生总结两条核心准则： 1.判断有理数：看是否可以写成两个整数之比（）；有限小数、无限循环小数可以转化；无限不循环小数不可以。 2.分类两大铁律：标准要统一；做到不重复、不遗漏。 逐题判断，口头说理，剖析错误原因，整理笔记，记录自己容易踩坑的地方。 方法归纳 1.凡是可以写成（p、q均为整数，）形式的数，都是有理数； 2.有限小数、无限循环小数能够转化为分数，属于有理数；无限不循环小数不属于有理数，例如。 环节4 分层当堂训练 + 生活化实践习题（10min） 基础（全体必做） 1.请写出三个正整数： ； 三个负分数： 。 答案：；（答案不唯一） 2.请将下列各数分类： 正整数有 ； 负分数有 ； 整数有 ； 有理数有 。 答案：正整数有； 负分数有； 整数有； 有理数有。 变式（大部分完成） 辨析观点：“任意一个有理数，不是正数就一定是负数”，写出你的判断理由，举生活例子辅助说明。 拓展（学有余力选做·生活实践任务） 从现实生活找出3个负整数例子；找出2个属于分数的小数实例。 教师活动 学生活动 课堂巡视收集现场典型错题，只讲评班级共性错误，个别学生问题课后单独辅导。 独立完成习题，同桌互相核对订正。 环节5 课堂闭环小结（1min） 引导问题 学生活动 ①有理数的定义是什么？ ②存在哪两套分类标准？ ③分类最容易忽略哪个数字？ 口头归纳总结。 环节6 作业布置（1min） 必做 教材课后对应习题，严控刷题量 选做 变式1：观察一组数：， 8，， 0，，， 2027， ，， (1)请从上面数中找出一个负分数，说一说你判断的依据。 (2)小明说：“非负整数就是去掉所有负数之后剩下的整数，所以非负整数就是正整数。”他的说法是否正确？如果错误，请从上面的数据中举出反例。 教师参考答案 (1)示例：是负分数；依据：它可以改写为，满足两个整数之比，符号为负，属于负分数。（也可写） (2)不正确；反例：数据中的0是整数，不属于负数，属于非负整数，但0不是正整数。数据中的是无限不循环小数，不属于整数。 变式2：下列说法正确的有________。 ①一个有理数，不是整数就一定是分数 ②0是有理数，但不是正有理数，也不是负有理数 ③有限小数不属于有理数 ④负有理数就是负分数 答案：①② 实践拓展作业（重点） 观察家庭生活：摘抄5个生活中出现有理数（天气预报、购物小票、海拔等），把它们按照有理数定义完成分类。 三、板书设计 核心新知 例题演算 易错警示栏+生活提示 有理数：整数、分数统称 两套分类：按定义；按正负属性 史料：有理数=整数之比 例题 ⚠0是整数，非正非负；没有温度 ⚠有限小数、无限循环小数归属分数 ⚠分类原则：不重不漏 四、课后二次备课（课后填写） 本节课目标达成情况 实际课堂出现的意外生成 班级共性错题记录 下节课补救调整策略 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1有理数的概念学案 年级：七年级 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 学习目标 1.结合现实情境，理解有理数概念，了解有理数的历史来源。 2.掌握有理数两套分类标准，分清整数、分数，理解0的特殊地位。 3.可以辨析数学概念，会说理、举反例。 任务一 生活情境思考 情境素材 ①气温气象：冬季某地昼夜气温：； ②海拔高度：海平面记为；山峰海拔；深海海沟； ③家庭日常记账：工资收入元，水电支出元；分摊房租，每人分担元； ④物资分配：将水果平均分给4个人，每人分得。 提取场景数字 思考问题 1.说一说每个数字代表的现实含义。 2.小学学过整数、分数，引入负数后出现负小数、负分数，旧的数的体系能不能收纳全部这些数？ 3.我们需要怎样一套规则整理这些数字？ 我的想法：________________________________________ 任务二 动手探究新知 阅读数学史料： 我国古代利用负数记录记账盈亏；有理数本意叫做“可比数”。 定义：可以写成（p、q均为整数，）的形式的数，叫做有理数。 填空：________和________统称为有理数。 整数分为 ；分数分为 。 活动目标 依据有理数定义，给生活提取数字打上两套身份标签属于打√。 待归档数字 整数 分数 正有理数 0 负有理数 0 思考填空 1.上表当中的整数有：________________________________  上表当中的分数有：________________________________ 2.两套分类角度 ①按照数的形式划分，分为________、 ； ②按照符号划分，分为 、 、 。 课内典型例题 把下列数字归类： 正整数： 负分数： 整数： 正有理数： 我的疑问 任务三 易错辨析 判断对错，并且书写理由，可举生活实例辅助 ①.0属于整数。 □对 □错  理由：_________ ___ ②.有限小数可以转化成分数，属于分数。□对 □错  理由：_________ ___ ③.圆周率是有理数。□对 □错  理由：_________ ___ ④.带有负号，所以它是负分数。□对 □错  理由：_________ ___ ⑤.有理数分为正有理数、负有理数两大类。□对 □错  理由：_________ ___ 小科普 有理数不是“有道理的数”，本意是可比数，可写成两整数之比（p、q均为整数，）。 我的个人易错笔记 任务四 课堂基础练习 1.请写出三个正整数： ；三个负分数： 。 答案：；（答案不唯一） 2. 请将下列各数分类： 正整数有 ； 负分数有 ； 整数有 ； 有理数有 。 任务五 课堂小结填空 1.有理数包括________和________。 2.两套分类标准：按________划分；按________划分。 3.0是整数，既不是________，也不是________。 任务六 课后作业 必做： 完成课本对应基础习题 选做： 变式1：观察一组数：， 8，， 0，，， 2027， ，， (1)请从上面数中找出一个负分数，说一说你判断的依据。 (2)小明说：“非负整数就是去掉所有负数之后剩下的整数，所以非负整数就是正整数。”他的说法是否正确？如果错误，请从上面的数据中举出反例。 变式2：下列说法正确的有________。 ①一个有理数，不是整数就一定是分数 ②0是有理数，但不是正有理数，也不是负有理数 ③有限小数不属于有理数 ④负有理数就是负分数 实践拓展： 观察家庭生活：摘抄5个生活中出现有理数（天气预报、购物小票、海拔等），把它们按照有理数定义完成分类。 学科网（北京）股份有限公司 $1.2.1有理数的概念 人教版七年级数学上册 数系的扩充——从生活到数学 复习旧知——正数与负数 1.大于0的数叫做正数 2.正数前面添加负号“‑”，得到负数 3.0既不是正数，也不是负数 学习目标 1. 了解有理数历史来源，理解有理数概念 2. 掌握有理数两种分类标准，认清0的特殊地位 3. 学会辨析概念，能说理、举反例 重点：有理数概念、有理数的两种分类 难点：小数的归类；不混用两套分类标准 生活中的数字—气温 冬季某地区气温： 生活中的数字—海拔 海平面记作0m 山峰海拔：520.8m 海底海沟海拔：-265m 生活中的数字—记账 收入：4500元 水电支出：-126.5元 合租分摊房租每人： 元 生活中的数字—物资分配 将25kg水果平均分给4个人，每人分得 汇总研究数字 1. 说一说每个数字代表怎样的现实意义？ 2. 小学只学习整数、分数，引入负数之后，出现负小数、负分数。旧的数体系，能不能收纳全部这些数？ 3. 我们需要怎样的规则，系统整理这一组数字？ 思考 数学溯源 我国秦汉时期，记账统计盈亏，最早使用负数。盈利记正数，亏损记负数。 古希腊数学家研究整数、分数 有理数定义 可以写成 形式的数，叫做有理数。 核心定义：整数和分数统称为有理数 ⚠️小科普：有理数翻译本意是“可比数”≠ “有道理的数” 怎么分？ 有限小数、无限循环小数可以改写成分数，归属于分数 不能写成分数形式，不属于分数，也不属于有理数 实践活动： 数字身份档案馆 任务目标： 依据刚刚学习的有理数定义，给数字打上两套身份标签。 两套标签： 标签A【看形式】：整数、分数 标签B【看符号】：正有理数、0、负有理数 归档数字 整数 分数 正有理数 0 负有理数 1. 独立2分钟，完成学案表格 2. 同桌互审，对照定义说出判断依据 3. 学生代表展示归档结果 观察归档表格，思考？ 1：表格当中哪些数属于整数？哪些属于分数？ 2：如果只看数的形态，有理数如何分类？ 3：抛开形态，仅仅观察正负符号，有理数如何分类？ 有理数按形态细分 有理数 整数 正整数 0 负整数 分数 正分数 负分数 有理数按正负细分 注意：0独立一类，不属于正、负有理数 有理数 正有理数 正整数 正分数 0 负有理数 负整数 负分数 1. 两套分类标准相互独立 2. 同一个数字，具备双重身份 举例：-3 形式上：负整数 符号上：负有理数 ！ ✅分类铁律：标准统一，不重复、不遗漏 趁热打铁·例题 把下列数字归类： 正整数： ； 负分数： ； 整数： ； 正有理数： 。 火眼金睛·易错辨析 判断对错，并且书写理由，可举生活实例辅助 ①.0属于整数。 □对 □错  理由： ； ②.有限小数可以转化成分数，属于分数。□对 □错  理由： ； ③.圆周率 是有理数。□对 □错  理由： ； ④. 带有负号，所以它是负分数。□对 □错  理由： ； ⑤.有理数分为正有理数、负有理数两大类。□对 □错  理由： ； 第①题：纠正误区：很多同学以为0什么都不是，既不算整数也不算分数；明确0属于整数。 第②题：强化：只要能够写成 （p、q均为整数， ）形式，就属于分数，有限小数可以转化。 第③题：区分： 无法写成两个整数之比，不属于有理数，区分开有限小数、无限循环小数、无限不循环小数。 第④题：高频错点：看到负号就当成负分数； 是负整数，不是分数；符号不决定类别，要看数字本身形式。 第⑤题：纠正分类遗漏：0独立一类，不能并入正或者负；同时点明易错：做分类习题，全程只能使用一套分类标准，不能同时混用“按定义、按正负”两套标准。 分类两条铁律①一套题目只用一种分类标准，不能混用；②分类做到：不重复、不遗漏。 课堂小结 1. 有理数 = 整数 + 分数 2. 两套分类：按形式分类；按符号分类 3. 0是整数；0既不是正有理数，也不是负有理数 4. 有限小数、无限循环小数属于分数；无限不循环小数不是有理数 课堂训练 1.请写出三个正整数： ； 三个负分数： 。 2.请将下列各数分类： 正整数有 ； 负分数有 ； 整数有 ； 有理数有 。 谢谢观赏 $