专题08 等边三角形的性质与判定（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

专题08 等边三角形的性质与判定 （题型突破·举一反三） 题型01 利用等边三角形的性质求线段长 题型02 利用等边三角形的性质求角度 题型03 利用等边三角形的性质证明 题型04 等边三角形的判定 题型05 等边三角形与折叠问题 题型06 等边三角形与多结论问题 题型07 等边三角形与动点问题 题型08 等边三角形的性质与判定的综合 题型09 构造等边三边三角形证明线段之间的关系 ▌题型01 利用等边三角形的性质求线段长 1. 核心性质：三边完全相等，已知任意一边，直接得出另外两边长度； 2. 三线合一：高、中线、角平分线重合，中线平分底边，可直接得到一半长度； 3. 线段运算：线段和、线段差、中点等分线段等量代换； 4. 搭配全等三角形：全等对应边相等转移线段长度； 【典例1】如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长 为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【变式1-1】如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【变式1-3】如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． ▌题型02 利用等边三角形的性质求角度 1. 基础角度：三个内角都是； 2. 三线合一角度：角平分线平分内角，得到角； 3. 角度基础定理：三角形内角和、平角、对顶角相等； 4. 辅助推导：平行线同位角 / 内错角相等、三角形外角 = 不相邻两内角和； 5. 全等三角形对应角相等，用来等量替换角度。 【典例2】（2026·江苏连云港·二模）如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·山西临汾·三模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】正三角形中，，与交于点P，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． ▌题型03 利用等边三角形的性质证明 1. 证线段相等：等边三边相等、三线合一平分线段、全等对应边相等； 2. 证角相等：内角均、三线合一平分内角、全等对应角相等； 3. 证垂直：三线合一，中线 / 角平分线同时垂直底边； 4. 证线段倍分：三线合一分出角直角三角形，对边 = 斜边一半； 5. 通用思路：等边提供等边、等角，构造全等完成证明。 【典例3】如图，已知等边三角形，延长至点，延长至点，使，连接，．求证：． 【变式1-1】如图，是等边三角形，点是边上一点，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由． 【变式1-2】如图和都为等边三角形，点、、不在同一直线上，与是否相等？请说明理由． 【变式1-3】如图，在等边三角形中，，点在边上，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)点关于直线的对称点为，连接．补全图形并证明． ▌题型04 等边三角形的判定 三大判定（必背） 1. 三边全部相等的三角形是等边三角形； 2. 三个内角都为的三角形是等边三角形； 3. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形（最常用）。 解题必备技巧 1. 先证等腰（两边相等 / 两角相等），再找角； 2. 已知两个内角，用内角和推出第三个角也是； 3. 通过线段等量代换证明三边全部相等。 【典例4】（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形． 【变式1-2】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分，过O点作，使，且． (1)图中有几个等边三角形？ (2)若，你能求出的周长吗？ (3)你还能求出的周长吗？ ▌题型05 等边三角形与折叠问题 1. 折叠不变性：折叠前后对应边相等、对应角相等； 2. 结合等边条件：原有三边相等、内角； 3. 角度计算：折叠等角 ++ 平角 / 三角形内角和列式计算； 4. 线段计算：折叠相等线段 + 等边等线段，用和差、中点等分求长度； 5. 观察折叠后新等腰、小等边三角形，直接用判定定理。 【典例5】（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，等边三角形纸片中，以上的点为顶点，把平角三等分，依次沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以为顶点的直角三角形，则剪出的直角三角形全部展开铺平后，得到的平面图形可能是（    ）    A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．矩形 【变式1-1】如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【变式1-3】（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，将等边三角形折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上一动点，若，，则周长的最小值是（    ） A．4 B．10 C．8 D．6 ▌题型06 等边三角形与多结论问题 1. 基础工具：等边全部性质、判定、全等、直角三角形倍分关系； 2. 分类型判断方法： · 线段相等：找全等、三线合一、等边等线段； · 角度定值：锁定固定角度模型； · 线段关系：线段和、线段差、2倍 / 一半倍分； · 图形判定：判断等腰、等边、直角三角形； 3. 做题技巧：逐个结论单独推导，动点取端点特殊值快速排除错误选项。 【典例6】如图，和均为等边三角形，且点A、B、C在同一直线上，连接交于点，连接交于点，连接，点为与的交点，以下结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．是等边三角形 【变式1-1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点．有以下结论：①；②；③，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（2026·四川南充·二模）如图，在等边中，是边上的动点（不与端点重合），将线段绕点顺时针旋转到，连接．下列说法不正确的是（    ） A． B．平分 C． D．点到的距离与点有关 【变式1-3】分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点H、G，、相交于点F，连接并延长交于M点，则下列结论中正确的是______．（填序号） ①；②；③；④平分；⑤平分． ▌题型07 等边三角形与动点问题 1. 不变条件：等边边长、内角始终不变； 2. 设元表达：设运动时间，用表示动点走过的线段； 3. 分类讨论：动点在线段上、线段延长线上两种情况； 4. 常考题型： · 满足等腰 / 等边三角形时，列等式求； · 求证角度、线段长度为定值； · 全等三角形存在性； 【典例7】如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． ​ （1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 　 　；当M、N运动 　 　秒时，点N追上点M； （2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当___ 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当___时，是直角三角形． 【变式1-2】在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 【变式1-3】在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)直接写出的长， （用含的代数式表示）： (2)当时，求出此时的值； (3)当线段把的周长平分时，求出此时的值； (4)在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． ▌题型08 等边三角形的性质与判定的综合 1. 标准解题逻辑：先用等边性质得到等线段、角→证全等→得到新等边 / 等角→用判定证明新等边三角形； 2. 核心模型：共顶点双等边（手拉手模型），直接有多组全等； 3. 题型组合：角度计算 + 线段证明 + 图形判定结合考查。 【典例8】如图，已知点D为等腰直角内一点，，E为延长线上的一点，且． (1)求证：平分． (2)若点M在上，且，求证：． 【变式1-1】如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【变式1-3】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． ▌题型09 构造等边三边三角形证明线段之间的关系 1. 适用题干：出现角、相等线段，求证线段和、线段差、线段相等； 2. 构造方法：以已知等线段向内 / 向外作等边三角形，截取等线段造等边； 3. 核心原理：构造出新等边，转移相等边、相等角，构造全等三角形； 4. 经典方法：截长补短搭配构造等边，证明三条线段和差关系； 【典例9】（23-24八年级下·陕西榆林·期中）【问题情境】如图，已知是等边三角形，点E是上一动点，点D在的延长线上，连接，，且，将绕点C顺时针旋转至，连接． 【探索求证】（1）如图1，点E在上，求证：． 【问题延伸】（2）如图2，如果点E在的延长线上，线段，，之间又有怎样的数量关系？请说明理由． 【变式1-1】综合与实践 【情境】在学习“三角形”相关知识过程中，爱动脑筋的小鹏发现在如图1所示的图形中，两个等边三角形有一个公共顶点，此时产生了很多有趣的问题． 【模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形中，若把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”． 【操作】 (1)如图1，和都是等边三角形，连接和，试说明：． 【探究】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则和的数量关系是____________，和的位置关系是____________． 【拓展】 (3)如图3，是一个锐角三角形，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，求的度数． 【变式1-2】已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点，点重合）．以为边作等边三角形，连接． (1)如图，当点在边上时． 求证： ； 直接写出线段，与三者之间的数量关系：______（不需证明）； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请画出图形，写出，，三者之间存在的数量关系，并写出证明过程． 【变式1-3】已知：是等边三角形． (1)如图1，点D是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，点F在的右侧，连接，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点E在边上且是等边三角形，与边交于点M，，，求的长度； (3)如图3，当点D是内任意一点，连接，以为边作等边，点F在的右侧，连接并延长交射线于点E（点E与点F不重合），请直接写出与之间的数量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 等边三角形的性质与判定 （题型突破·举一反三） 题型01 利用等边三角形的性质求线段长 题型02 利用等边三角形的性质求角度 题型03 利用等边三角形的性质证明 题型04 等边三角形的判定 题型05 等边三角形与折叠问题 题型06 等边三角形与多结论问题 题型07 等边三角形与动点问题 题型08 等边三角形的性质与判定的综合 题型09 构造等边三边三角形证明线段之间的关系 ▌题型01 利用等边三角形的性质求线段长 1. 核心性质：三边完全相等，已知任意一边，直接得出另外两边长度； 2. 三线合一：高、中线、角平分线重合，中线平分底边，可直接得到一半长度； 3. 线段运算：线段和、线段差、中点等分线段等量代换； 4. 搭配全等三角形：全等对应边相等转移线段长度； 【典例1】如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长 为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C． 【分析】由△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出∠BAC＝60°，BC＝AB＝4，结合∠BAD＝30°，可得出∠CAD＝30°＝∠BAD，进而可得出AD为∠BAC的角平分线，再利用等边三角形的三线合一可得出AD为BC边的中线，结合BC＝4即可求出CD的长． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，BC＝AB＝4． ∵∠BAD＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD， ∴AD为∠BAC的角平分线， ∴AD为BC边的中线， ∴CDBC4＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的三线合一，找出AD为BC边的中线是解题的关键． 【变式1-1】如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 【分析】先根据等边三角形的性质推出∠AFD＝∠BDE，再证△AFD和△BDE全等，得出BD＝AF＝2，BE＝AD，根据等边△ABC的周长求出AB的长，于是得出AD的长，即可求出BE的长． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴∠ADF+∠AFD＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝60°，DF＝ED， ∴∠ADF+∠BDE＝120°， ∴∠AFD＝∠BDE， 在△AFD和△BDE中， ， ∴△AFD≌△BDE（AAS）， ∴BD＝AF＝2，BE＝AD， ∵△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形， ∴AB＝5， ∴AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3， ∴BE＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【变式1-2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积额，利用等积法求解是解答本题的关键．连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 【变式1-3】如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】过D作于F，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，可得，根据等腰三角形的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ▌题型02 利用等边三角形的性质求角度 1. 基础角度：三个内角都是； 2. 三线合一角度：角平分线平分内角，得到角； 3. 角度基础定理：三角形内角和、平角、对顶角相等； 4. 辅助推导：平行线同位角 / 内错角相等、三角形外角 = 不相邻两内角和； 5. 全等三角形对应角相等，用来等量替换角度。 【典例2】（2026·江苏连云港·二模）如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，结合求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴， ， （两直线平行，同位角相等）． 【变式1-1】（2026·山西临汾·三模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作，则，，由 是等边三角形得，故． 【详解】解：如图，过点A作，则， ， ， 是等边三角形， ， ． 【变式1-2】正三角形中，，与交于点P，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定方法，是解题的关键．证明，进而得到，根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【变式1-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用等边三角形的性质得出相等的角和边，证明，得出，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在与中， ∴， ∴， ， 故选：A． ▌题型03 利用等边三角形的性质证明 1. 证线段相等：等边三边相等、三线合一平分线段、全等对应边相等； 2. 证角相等：内角均、三线合一平分内角、全等对应角相等； 3. 证垂直：三线合一，中线 / 角平分线同时垂直底边； 4. 证线段倍分：三线合一分出角直角三角形，对边 = 斜边一半； 5. 通用思路：等边提供等边、等角，构造全等完成证明。 【典例3】如图，已知等边三角形，延长至点，延长至点，使，连接，．求证：． 【答案】证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ． ∴． ∴． 【分析】由等边三角形的性质可得，，再证明出，从而可得，即可得证． 【详解】略． 【变式1-1】如图，是等边三角形，点是边上一点，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】 理由如下： 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】证明，可得，即可求证． 【详解】略 【变式1-2】如图和都为等边三角形，点、、不在同一直线上，与是否相等？请说明理由． 【答案】相等，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先由等边三角形性质得、，且，再通过两角同加，推证夹角，继而证明，最后由全等三角形对应边相等得出． 【详解】略 【变式1-3】如图，在等边三角形中，，点在边上，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)点关于直线的对称点为，连接．补全图形并证明． 【答案】(1)证明：∵等边和等边， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ； (2)补全图形如下： 证明：∵点和点关于对称， 垂直平分， ， ， ∴，即， 由 得， ． 【分析】证明即可求证； 由轴对称可得垂直平分，得到，进而由等腰三角形的性质得，即得到，又由全等三角形的性质得，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型04 等边三角形的判定 三大判定（必背） 1. 三边全部相等的三角形是等边三角形； 2. 三个内角都为的三角形是等边三角形； 3. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形（最常用）。 解题必备技巧 1. 先证等腰（两边相等 / 两角相等），再找角； 2. 已知两个内角，用内角和推出第三个角也是； 3. 通过线段等量代换证明三边全部相等。 【典例4】（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质和已知条件证明 是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解： ，即 是等腰三角形 对于 A，若 ，则 ， 是等边三角形，故 A 不符合题意； 对于 B，若 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 B 不符合题意； 对于 C，若 ，则 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 C 不符合题意； 对于 D，若 平分 ，只能得到 ，无法推出 的内角为 或三边相等，故 D 符合题意． 【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形． 【答案】见详解. 【分析】在△ABC中，AF平分∠CAB、AF＝BF求得∠B＝∠2＝∠1＝60°，根据外角性质可得∠4＝60°，在RT△ADE中可得∠3＝∠5＝60°，进而可知∠4＝∠5＝60°，得证． 【详解】证明：如图， ∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠CAB＝2∠1＝2∠2， ∵AF＝BF， ∴∠2＝∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°，即∠B+2∠1＝∠B+2∠2＝90°， ∴∠B＝∠1＝∠2＝30°， ∵∠4是△ABF的外角， ∴∠4＝∠2+∠B＝60°， ∵CD是AB边上的高， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝60°， ∵∠5＝∠3， ∴∠4＝∠5＝60°， ∴△CEF是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，利用阿拉伯数字加弧线表示角更简单明了． 【变式1-2】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分，过O点作，使，且． (1)图中有几个等边三角形？ (2)若，你能求出的周长吗？ (3)你还能求出的周长吗？ 【答案】(1)图中有2个等边三角形 (2)能，的周长为30 (3)能，的周长为45 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据“等角对等边”得到，即可证明是等边三角形．同理证明，可得出是等边三角形； （2）由，，得到．根据角平分线的定义及平行线的性质得到，得出，同理可得，即可得到．再根据是等边三角形，即可根据等边三角形的性质求出周长； （3）根据是等边三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 综上所述，图中共有2个等边三角形． （2）解：根据（1）可得，， ∴， 即． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得． ∴． 根据（1）可得是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 由（1）可知是等边三角形， ∴． ▌题型05 等边三角形与折叠问题 1. 折叠不变性：折叠前后对应边相等、对应角相等； 2. 结合等边条件：原有三边相等、内角； 3. 角度计算：折叠等角 ++ 平角 / 三角形内角和列式计算； 4. 线段计算：折叠相等线段 + 等边等线段，用和差、中点等分求长度； 5. 观察折叠后新等腰、小等边三角形，直接用判定定理。 【典例5】（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，等边三角形纸片中，以上的点为顶点，把平角三等分，依次沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以为顶点的直角三角形，则剪出的直角三角形全部展开铺平后，得到的平面图形可能是（    ）    A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．矩形 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，先确定直角三角形，再根据折叠的性质得出对应角相等，即可得出答案． 【详解】由已知条件得是直角三角形，， 将沿着折叠，沿着折叠， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A．    【变式1-1】如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解． 【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键． 【变式1-2】（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：    则， 由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示：    则， ， 由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或． 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，将等边三角形折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上一动点，若，，则周长的最小值是（    ） A．4 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】由条件可知点C和点D关于对称，因此．要使的周长最小，因为长度固定，所以需要最小，即为求的最小值．先计算出的长度，再结合的长度，即可求出周长的最小值． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 折叠后点与点关于折痕对称， ∴． 的周长为， 要使周长最小，只需最小． 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度， ∴的周长最小值为：． ▌题型06 等边三角形与多结论问题 1. 基础工具：等边全部性质、判定、全等、直角三角形倍分关系； 2. 分类型判断方法： · 线段相等：找全等、三线合一、等边等线段； · 角度定值：锁定固定角度模型； · 线段关系：线段和、线段差、2倍 / 一半倍分； · 图形判定：判断等腰、等边、直角三角形； 3. 做题技巧：逐个结论单独推导，动点取端点特殊值快速排除错误选项。 【典例6】如图，和均为等边三角形，且点A、B、C在同一直线上，连接交于点，连接交于点，连接，点为与的交点，以下结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用等边三角形的边和角的特点，结合全等三角形的知识进行推理判断． 通过证明三角形全等，结合等边三角形的性质，对每个选项逐一分析判断． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， 故A正确； 故B正确； 仅根据已知条件和是等边三角形，以及，无法得出． ∵没有足够的角度或边的关系能推导出， 不一定垂直于，该选项不一定成立， 故C正确； ∵，均为等边三角形， 在和中， ∴为等边三角形， 故D正确． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点．有以下结论：①；②；③，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形三线合一，即可一一判断． 【详解】解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∵是角平分线， ∴，，故①正确， ∴ ∴，故②正确 ∴，故③正确， 故选：D． 【变式1-2】（2026·四川南充·二模）如图，在等边中，是边上的动点（不与端点重合），将线段绕点顺时针旋转到，连接．下列说法不正确的是（    ） A． B．平分 C． D．点到的距离与点有关 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可证是等边三角形，利用可证，根据全等三角形的对应边相等可证；根据全等三角形的对应角相等可证，可证平分；根据可知，根据三角形内角和定理可证；根据全等三角形的对应角相等可证，可证，根据平行线间的距离处处相等，可证点到的距离与点无关． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转可知，， 是等边三角形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 故A选项正确； ， ， 又， ， 平分， 故B选项正确； ， ， , ， ， 故C选项正确； 无论点在边的任何位置， 均可证明， ， 又， ， ， 点到的距离与点无关． 【变式1-3】分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点H、G，、相交于点F，连接并延长交于M点，则下列结论中正确的是______．（填序号） ①；②；③；④平分；⑤平分． 【答案】①②③⑤ 【分析】由等边三角形的性质可得，，，从而可得，再利用“”证明，即可判断①正确；由全等三角形的性质可得，即可判断②正确；由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理并结合对顶角相等即可判断③正确；作于，于，则，证明，再结合角平分线的定义即可判断⑤正确；由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质即可判断④错误． 【详解】解：①和都为等边三角形， ∴，，， ，即， 在和中， ， ∴，①正确； ②， ，②正确； ③， ， 又，，， ，③正确； ⑤作于，于，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 平分，⑤正确； ， ， ，，只有时，，而不一定等于， 不一定等于，④不正确； 综上所述，正确的有①②③⑤． ▌题型07 等边三角形与动点问题 1. 不变条件：等边边长、内角始终不变； 2. 设元表达：设运动时间，用表示动点走过的线段； 3. 分类讨论：动点在线段上、线段延长线上两种情况； 4. 常考题型： · 满足等腰 / 等边三角形时，列等式求； · 求证角度、线段长度为定值； · 全等三角形存在性； 【典例7】如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． ​ （1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 　 　；当M、N运动 　 　秒时，点N追上点M； （2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【分析】（1）求出M运动的路程即可判断M的位置，由题意得：2t＝1×t+6，求出t的值即可； （2）分两种情况，列出关于t的方程，求出t的值，即可解决问题． 【详解】解：（1）当点N第一次到达B点时， t＝18÷2＝9（s）， ∴M运动了1×9＝9（cm）， ∴点M的位置在BC中点； 当点N追上点M时， 由题意得：2t＝1×t+6， ∴t＝6， ∴当M、N运动6秒时，点N追上点M， 故答案为：BC中点，6． （2）如图，AM＝AN， 作AH⊥BC于H， ∴HC＝HB，HM＝HN， ∴MC＝BN， ∴t﹣6＝18﹣2t， ∴t＝8， ∴M、N运动的时间是2s或8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△AMN． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当___ 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当___时，是直角三角形． 【答案】 或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，过点C作于点D，根据等边三角形性质得，，，由此得当点P与点D重合时，是直角三角形，此时点P运动的路程为，由此可得点P的运动时间t；依题意得，，则，根据得当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，在中，根据得，则，由此解得；②当时，在中，根据得，则，由此解得，综上所述即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：过点C作于点D，如图1所示： ∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∵点P在边上运动， ∴ ∴当是直角三角形时，只能是； ∵于点D， ∴，， ∴当点P与点D重合时，是直角三角形， 此时点P运动的路程为：， 又∵点P运动的速度为， ∴此时点P运动的时间； ∵动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动， ∴， 又∵动点Q从点C出发，以的速度沿线段向点A运动， ∴， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图2所示： 在中，， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图3所示： 在中，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述：当或时，是直角三角形． 故答案为：；或． 【变式1-2】在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC， ∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°， 又∠B＝60°， ∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ， ∴△BPQ是等边三角形， ∴BP＝BQ， 由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t， ∴9﹣t＝6， 解得：t＝3， ∴当t的值为3时，PQ∥AC； （2）如图2，①当点Q在边BC上时， 此时△APQ不可能为等边三角形； ②当点Q在边AC上时， 若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ， 由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t， ∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t， 即：18﹣2t＝t，解得：t＝6， ∴当t＝6时，△APQ为等边三角形． 【变式1-3】在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)直接写出的长， （用含的代数式表示）： (2)当时，求出此时的值； (3)当线段把的周长平分时，求出此时的值； (4)在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）根据已知可得是等边三角形，则，根据题意列出一元一次方程，即可求解； （3）当线段把的周长平分时，分两种情况，①当在上时，②当在上时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （4）分点在的中点以及点时，求得的值，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动， ∴，则； （2）解：∵等边三角形， ∴， 当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵等边三角形中，， ∴的周长为， 点的运动时间为秒，， 当线段把的周长平分时，分两种情况， ①当在上时，， ， ∴， 解得：（舍去）， ②当在上时，， ， ∴， 解得：， （4）解：∵， ∴当在的中点时，点到的两边距离相等， 当时，， 解得：， 此时， 当与点重合时，， 解得， 此时， 当时，， 解得：， 此时， 综上所述，的长度为或或． ▌题型08 等边三角形的性质与判定的综合 1. 标准解题逻辑：先用等边性质得到等线段、角→证全等→得到新等边 / 等角→用判定证明新等边三角形； 2. 核心模型：共顶点双等边（手拉手模型），直接有多组全等； 3. 题型组合：角度计算 + 线段证明 + 图形判定结合考查。 【典例8】如图，已知点D为等腰直角内一点，，E为延长线上的一点，且． (1)求证：平分． (2)若点M在上，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，进而根据三角形的外角性质求得 ，即可证明平分∠； （2）连接，证明是等边三角形，结合（1）的结论，证明，进而证明，即可证明． 【详解】（1）证明： 是等腰直角三角形 ， ， ， ， 又 ， ， 平分； （2）证明：连接，如图，    是等边三角形 ， ，， ，， ， ， ， ； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1-1】如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：和为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ； (2) 证明：连接， 由（1）知，   ， ，， 在和中 ， ， ， 是等边三角形． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定． (1)根据等边三角形的性质可以得到，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证； (2)根据可知，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可证结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1) 解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； (2) 证明：∵，， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ▌题型09 构造等边三边三角形证明线段之间的关系 1. 适用题干：出现角、相等线段，求证线段和、线段差、线段相等； 2. 构造方法：以已知等线段向内 / 向外作等边三角形，截取等线段造等边； 3. 核心原理：构造出新等边，转移相等边、相等角，构造全等三角形； 4. 经典方法：截长补短搭配构造等边，证明三条线段和差关系； 【典例9】（23-24八年级下·陕西榆林·期中）【问题情境】如图，已知是等边三角形，点E是上一动点，点D在的延长线上，连接，，且，将绕点C顺时针旋转至，连接． 【探索求证】（1）如图1，点E在上，求证：． 【问题延伸】（2）如图2，如果点E在的延长线上，线段，，之间又有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则可知为等边三角形，然后可得，进而可证，最后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由题意易得，，，，，则有为等边三角形，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点C顺时针旋转至， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由如下：∵， ∴， ∵绕点C顺时针旋转至， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【变式1-1】综合与实践 【情境】在学习“三角形”相关知识过程中，爱动脑筋的小鹏发现在如图1所示的图形中，两个等边三角形有一个公共顶点，此时产生了很多有趣的问题． 【模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形中，若把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”． 【操作】 (1)如图1，和都是等边三角形，连接和，试说明：． 【探究】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则和的数量关系是____________，和的位置关系是____________． 【拓展】 (3)如图3，是一个锐角三角形，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，求的度数． 【答案】(1)证明：已知和都是等边三角形， 根据等边三角形的性质可得：，，， 因此， 即， 在和中： ， 得， 由全等三角形对应边相等，因此． (2)； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，，推导出，证明即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质，，推导出，证明，设交于点，由全等推出，即可得到结论； （3）根据等边三角形的性质，，推导出，证明，根据对顶角性质即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：已知和都是等腰直角三角形，， 因此，， 由角的和差关系可得： ， 即， 在和中： ， 得， 因此， 设交于点， 由可得， 在中，，因此， 即， 将代入得： ， 因此在中，， 即， 故结论为：，． （3）解：已知和都是等边三角形，因此： ， 由角的和差关系可得 ， 即， 在和中： ， 得，因此， 设交于点， 在和中： ， 因此， 由对顶角的性质，， 因此的度数为． 【变式1-2】已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点，点重合）．以为边作等边三角形，连接． (1)如图，当点在边上时． 求证： ； 直接写出线段，与三者之间的数量关系：______（不需证明）； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请画出图形，写出，，三者之间存在的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)①∵和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中： ​， ． ②． (2)数量关系：，证明如下： 在延长线上取点，作等边，连接． 、为等边三角形， ，，， 即， 在和中： ， ， ∴， 又， ． 【分析】（1）①根据等边三角形的边相等、内角为的性质，因为和都是等边三角形，所以可得到，且，通过等式变形得到夹角，用判定定理证明三角形全等．②利用①中全等三角形对应边相等的结论，结合的线段和关系，推导三条线段的数量关系． （2）先按要求画出点D在延长线上的图形，同理先证明，再根据此时的线段和关系，推导对应的三条线段数量关系． 【详解】（1）①略． ②数量关系：．理由： ∵， ∴， ∵， ∴ （2）略． 【变式1-3】已知：是等边三角形． (1)如图1，点D是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，点F在的右侧，连接，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点E在边上且是等边三角形，与边交于点M，，，求的长度； (3)如图3，当点D是内任意一点，连接，以为边作等边，点F在的右侧，连接并延长交射线于点E（点E与点F不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)证明：与是等边三角形 ，， (2) (3)或 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得到，推出，证明，三线合一，即可得出结果； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：同（1）法可得； ∴， ①当点在线段上时，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 等边三角形的性质与判定 （题型突破·举一反三） 题型01 利用等边三角形的性质求线段长 题型02 利用等边三角形的性质求角度 题型03 利用等边三角形的性质证明 题型04 等边三角形的判定 题型05 等边三角形与折叠问题 题型06 等边三角形与多结论问题 题型07 等边三角形与动点问题 题型08 等边三角形的性质与判定的综合 题型09 构造等边三边三角形证明线段之间的关系 ▌题型01 利用等边三角形的性质求线段长 【典例1】【答案】C． 【变式1-1】【答案】B． 【变式1-2】【答案】B． 【变式1-3】【答案】1 ▌题型02 利用等边三角形的性质求角度 【典例2】【答案】C． 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】（【答案】A ▌题型03 利用等边三角形的性质证明 【典例3】 【答案】证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ． ∴． ∴． 【分析】由等边三角形的性质可得，，再证明出，从而可得，即可得证． 【详解】略． 【变式1-1】 【答案】 理由如下： 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】证明，可得，即可求证． 【详解】略 【变式1-2】 【答案】相等，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先由等边三角形性质得、，且，再通过两角同加，推证夹角，继而证明，最后由全等三角形对应边相等得出． 【详解】略 【变式1-3】 【答案】(1)证明：∵等边和等边， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ； (2)补全图形如下： 证明：∵点和点关于对称， 垂直平分， ， ， ∴，即， 由 得， ． 【分析】证明即可求证； 由轴对称可得垂直平分，得到，进而由等腰三角形的性质得，即得到，又由全等三角形的性质得，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型04 等边三角形的判定 【典例4】【答案】D 【变式1-1】 【答案】见详解. 【分析】在△ABC中，AF平分∠CAB、AF＝BF求得∠B＝∠2＝∠1＝60°，根据外角性质可得∠4＝60°，在RT△ADE中可得∠3＝∠5＝60°，进而可知∠4＝∠5＝60°，得证． 【详解】证明：如图， ∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠CAB＝2∠1＝2∠2， ∵AF＝BF， ∴∠2＝∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°，即∠B+2∠1＝∠B+2∠2＝90°， ∴∠B＝∠1＝∠2＝30°， ∵∠4是△ABF的外角， ∴∠4＝∠2+∠B＝60°， ∵CD是AB边上的高， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝60°， ∵∠5＝∠3， ∴∠4＝∠5＝60°， ∴△CEF是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，利用阿拉伯数字加弧线表示角更简单明了． 【变式1-2】 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 【变式1-3】 【答案】(1)图中有2个等边三角形 (2)能，的周长为30 (3)能，的周长为45 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据“等角对等边”得到，即可证明是等边三角形．同理证明，可得出是等边三角形； （2）由，，得到．根据角平分线的定义及平行线的性质得到，得出，同理可得，即可得到．再根据是等边三角形，即可根据等边三角形的性质求出周长； （3）根据是等边三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 综上所述，图中共有2个等边三角形． （2）解：根据（1）可得，， ∴， 即． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得． ∴． 根据（1）可得是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 由（1）可知是等边三角形， ∴． ▌题型05 等边三角形与折叠问题 【典例5】【答案】A 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】B ▌题型06 等边三角形与多结论问题 【典例6】【答案】D 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】①②③⑤ ▌题型07 等边三角形与动点问题 【典例7】 【分析】（1）求出M运动的路程即可判断M的位置，由题意得：2t＝1×t+6，求出t的值即可； （2）分两种情况，列出关于t的方程，求出t的值，即可解决问题． 【详解】解：（1）当点N第一次到达B点时， t＝18÷2＝9（s）， ∴M运动了1×9＝9（cm）， ∴点M的位置在BC中点； 当点N追上点M时， 由题意得：2t＝1×t+6， ∴t＝6， ∴当M、N运动6秒时，点N追上点M， 故答案为：BC中点，6． （2）如图，AM＝AN， 作AH⊥BC于H， ∴HC＝HB，HM＝HN， ∴MC＝BN， ∴t﹣6＝18﹣2t， ∴t＝8， ∴M、N运动的时间是2s或8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△AMN． 【变式1-1】【答案】 或 【变式1-2】 【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC， ∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°， 又∠B＝60°， ∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ， ∴△BPQ是等边三角形， ∴BP＝BQ， 由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t， ∴9﹣t＝6， 解得：t＝3， ∴当t的值为3时，PQ∥AC； （2）如图2，①当点Q在边BC上时， 此时△APQ不可能为等边三角形； ②当点Q在边AC上时， 若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ， 由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t， ∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t， 即：18﹣2t＝t，解得：t＝6， ∴当t＝6时，△APQ为等边三角形． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）根据已知可得是等边三角形，则，根据题意列出一元一次方程，即可求解； （3）当线段把的周长平分时，分两种情况，①当在上时，②当在上时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （4）分点在的中点以及点时，求得的值，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动， ∴，则； （2）解：∵等边三角形， ∴， 当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵等边三角形中，， ∴的周长为， 点的运动时间为秒，， 当线段把的周长平分时，分两种情况， ①当在上时，， ， ∴， 解得：（舍去）， ②当在上时，， ， ∴， 解得：， （4）解：∵， ∴当在的中点时，点到的两边距离相等， 当时，， 解得：， 此时， 当与点重合时，， 解得， 此时， 当时，， 解得：， 此时， 综上所述，的长度为或或． ▌题型08 等边三角形的性质与判定的综合 【典例8】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，进而根据三角形的外角性质求得 ，即可证明平分∠； （2）连接，证明是等边三角形，结合（1）的结论，证明，进而证明，即可证明． 【详解】（1）证明： 是等腰直角三角形 ， ， ， ， 又 ， ， 平分； （2）证明：连接，如图，    是等边三角形 ， ，， ，， ， ， ， ； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：和为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ； (2) 证明：连接， 由（1）知，   ， ，， 在和中 ， ， ， 是等边三角形． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定． (1)根据等边三角形的性质可以得到，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证； (2)根据可知，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可证结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】 【答案】(1) 解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； (2) 证明：∵，， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ▌题型09 构造等边三边三角形证明线段之间的关系 【典例9】 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则可知为等边三角形，然后可得，进而可证，最后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由题意易得，，，，，则有为等边三角形，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点C顺时针旋转至， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由如下：∵， ∴， ∵绕点C顺时针旋转至， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【变式1-1】 【答案】(1)证明：已知和都是等边三角形， 根据等边三角形的性质可得：，，， 因此， 即， 在和中： ， 得， 由全等三角形对应边相等，因此． (2)； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，，推导出，证明即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质，，推导出，证明，设交于点，由全等推出，即可得到结论； （3）根据等边三角形的性质，，推导出，证明，根据对顶角性质即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：已知和都是等腰直角三角形，， 因此，， 由角的和差关系可得： ， 即， 在和中： ， 得， 因此， 设交于点， 由可得， 在中，，因此， 即， 将代入得： ， 因此在中，， 即， 故结论为：，． （3）解：已知和都是等边三角形，因此： ， 由角的和差关系可得 ， 即， 在和中： ， 得，因此， 设交于点， 在和中： ， 因此， 由对顶角的性质，， 因此的度数为． 【变式1-2】 【答案】(1)①∵和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中： ​， ． ②． (2)数量关系：，证明如下： 在延长线上取点，作等边，连接． 、为等边三角形， ，，， 即， 在和中： ， ， ∴， 又， ． 【分析】（1）①根据等边三角形的边相等、内角为的性质，因为和都是等边三角形，所以可得到，且，通过等式变形得到夹角，用判定定理证明三角形全等．②利用①中全等三角形对应边相等的结论，结合的线段和关系，推导三条线段的数量关系． （2）先按要求画出点D在延长线上的图形，同理先证明，再根据此时的线段和关系，推导对应的三条线段数量关系． 【详解】（1）①略． ②数量关系：．理由： ∵， ∴， ∵， ∴ （2）略． 【变式1-3】 【答案】(1)证明：与是等边三角形 ，， (2) (3)或 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得到，推出，证明，三线合一，即可得出结果； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：同（1）法可得； ∴， ①当点在线段上时，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $