专题06 全等三角形的判定综合与辅助线问题（八大题型24道题）专项训练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦全等三角形判定综合与辅助线核心问题，以八大题型24道题构建从基础判定到模型应用的递进式训练体系，培养推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判定综合|9题|添加条件、灵活选用判定定理、结合尺规作图|从判定定理直接应用到作图情境下的推理，夯实全等证明基础| |辅助线问题|15题|连接构造、线段和差转化、倍长中线、垂线模型|从简单构造到复杂模型，形成辅助线添加的系统方法链，提升空间观念|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题06 全等三角形的判定综合与辅助线问题（八大题型24道题） 目录 知识点一添加条件使三角形全等（判定综合） 1 知识点二灵活选用判定方法证全等（判定综合） 4 知识点三结合尺规作图的全等问题（判定综合） 7 知识点四连接两点构造全等三角形（辅助线问题） 12 知识点五证一条线段等于两条线段和差（辅助线问题） 16 知识点六倍长中线模型（辅助线问题） 23 知识点七垂线模型（辅助线问题） 31 知识点一添加条件使三角形全等（判定综合） 1．如图，，加一个条件 ，并用证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】判定要求：两边及其夹角对应相等．已知，还有对顶角，因此只需要再添加一组夹边，就可以利用证明． 【详解】解：添加条件：，理由如下， 在和中： ， ． 2．如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 【答案】 解：添加条件：， 证明过程如下：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件： ， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ． 【分析】先证明，再结合添加条件，根据、、、证明即可． 【详解】略 3．如图，，，______，求证：． (1)请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是______，并证明； (2)在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】(1)（或），证明见解析 (2)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握或． （1）由平行线的性质推出，由，，得到，判定；或者平行线的性质推出，由得，得，可判定； （2）由（1）知，即可求出 【详解】（1）解 ：选择，理由如下： ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 或选择，理由如下： ， ， ∵，， 而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：（或） （2）解：由（1）知， ， 知识点二灵活选用判定方法证全等（判定综合） 4．如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 【答案】 题设：①；②；③； 结论：④；⑤． 证明：∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意选择三个条件，然后证明出，然后根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】略 5．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得，根据得，进一步推出，再根据即可得证．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 6．已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 知识点三结合尺规作图的全等问题（判定综合） 7．的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 【答案】(1) 如图，线段即为所求； (2) 如图，线段即为所求． 【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接即可； （2）取格点，连接，延长交于点，线段即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 【答案】(1) 如图①，射线即为所求； (2) 如图①中，连接，， 在和中， ， ， ， 平分 ； (3)如图②中，射线即为所求． 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据角平分线尺规作图的要求作出图形即可； （2）根据证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可； （3）以O为圆心，适当长为半径作弧交，于点E，F，过点F作，过点E作，直线交于点P，作射线即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 9．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】(1) 如图1所示；    (2)如图2所示；    (3)4 【分析】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形； （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形； （3）分情况考虑即可：角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角． 【详解】（1）作一个角等于已知角，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形， （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件， （3）角是边长为3cm与4cm两边的夹角， 如图3所示的；   角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：及；角是3cm边的对角，如图5中的，故共有4个这样的三角形满足条件． 故答案为：4． 【点睛】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同． 知识点四连接两点构造全等三角形（辅助线问题） 10．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图，三角形的中线和高，三角形的面积，全等三角形的判定及性质． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）取格点M，N，连接，交于点E，则E为的中点，根据三角形的中线的定义画图即可； （3）由三角形中线的性质得到即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：如图，为所求． 由图可得，，， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴是中边上的中线，即为所求． （3）解：由图可得，， ∴， ∵是中线， ∴． 故答案为：． 11．已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1)①②见详解 (2) 【分析】（1）①通过证明，得，即可知道； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证； （2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答． 【详解】（1）解：因为是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 则， 那么； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示： ， ∴，， 因为， 所以 故 即 因为，， 所以 则， 所以， 因为 所以 即是等边三角形， 所以 因为， 则； （2）解：过点E作， 因为， 所以 即 因为 所以， 则 过点作交于点，交于点，则， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 连接，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 知识点五证一条线段等于两条线段和差（辅助线问题） 12．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 【答案】 方法1：补短，构造全等 证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE ∵AD⊥CD ∴∠D＝90° ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC 在△ADC和△AEC中 ∵AD＝AE ∠EAC＝∠DAC AC＝AC ∴△ADC≌△AEC(SAS) ∴ EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15° ∴∠ECB＝∠B＝45° ∴EC＝BE ∴EC＝BE＝CD ∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD 方法2：补短，构造全等 证明：延长DA至点F，使得AF＝AB ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105° ∵CD是∠ACB的角平分线 ∴∠ACD＝15° ∵AD⊥CD， ∴∠D=90°， ∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105° ∴∠EAC＝∠BAC 在△ABC和△AEC中 AB＝AE ∠EAC＝∠BAC AC＝AC ∴△ABC≌△AEC（SAS） ∴∠E＝∠B＝45°, ∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45° ∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB 方法3：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 过点A作AF⊥AB交BC于点F ∵∠B=45°， ∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135° ∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠EAC＝∠ACF 在△AEC和△CFA中 ∠EAC＝∠ACF AC＝AC ∠AEC＝∠AFC ∴△AEC ≌ △CFA(ASA) ∴CE＝AF＝AB ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 方法4：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 在CB延长上取点H，使得AH＝AC ∵∠ABC＝45° ∴∠ABH＝135° ∴∠ABH＝∠AEC ∵AH＝AC ∴∠H＝∠ACB＝30° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠H＝∠EAC 在△ABH和△CEA中 ∠H＝∠EAC AH＝AC ∠ABH＝∠AEC ∴△ABH ≌ △CEA(ASA) ∴AB＝CE ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 【分析】遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都是截长补短； 方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可； 方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可； 方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可； 方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可； 【详解】略 13．如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1) 证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． (2) 解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）略 （2）略 知识点六倍长中线模型（辅助线问题） 14．如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1) 如图所示： (2)证明： 是边上中线， ， 在和中， ， ． (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、全等三角形的判定（）及三角形三边关系．解题关键是用“中线倍长法”构造全等三角形，将分散的边（）转化为的边（），再利用三边关系求范围；易错点是辅助线作法不规范，或全等三角形对应边/角匹配错误，以及三边关系的不等式方向混淆． （1）按要求作辅助线：延长到E使，连接． （2）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （3）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入得，化简得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由全等得，； 在中，用三边关系， 代入得，化简得． 15．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如 下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到 M，使，连接． 【探究发现】∶（1）图①中，判断与的数量关系和位置关系并证明． 【初步应用】∶（2）如图②，在中，若，求边上的中线的取值范围． 【探究提升】∶（3）如图③，是的中线，过点A 分别向外作，使得，延长交于点P，直接写出线段与的数量关系． 【答案】（1）与的数量关系为，位置关系为，证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，可得，即可解答； （2）证明，可得，在中，利用三角形的三边关系解答即可； （3）延长到 M，使，连接，由（1）得：，可得，从而得到，进而得到，可证明，从而得到，即可解答． 【详解】解：（1）与的数量关系为，位置关系为，证明如下： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）延长到 M，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， 即， ∴， 即边上的中线的取值范围为； （3）如图，延长到 M，使，连接， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 16．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________；（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，例如：若，则） 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），，理由见解析． 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，连接，根据定理证明，可得结论； （2）延长至点，使得，连接．证明，得出，，，得出，得出，即可证明结论． （3）延长交于点，延长到，使得，连接，证明，得出，，证明，得出，，即可证明结论． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接． 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长至点，使得，连接，则， 是中点， ， 在和中， ， ， ，，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3），，理由如下： 如图，延长交于点，延长到，使得，连接， 同可知，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 知识点七垂线模型（辅助线问题） 17．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 18．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【答案】(1) (2) 证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）略 （3）解：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题06 全等三角形的判定综合与辅助线问题（八大题型24道题） 目录 知识点一添加条件使三角形全等（判定综合） 1 知识点二灵活选用判定方法证全等（判定综合） 2 知识点三结合尺规作图的全等问题（判定综合） 3 知识点四连接两点构造全等三角形（辅助线问题） 5 知识点五证一条线段等于两条线段和差（辅助线问题） 6 知识点六倍长中线模型（辅助线问题） 7 知识点七垂线模型（辅助线问题） 8 知识点一添加条件使三角形全等（判定综合） 1．如图，，加一个条件 ，并用证明． 2．如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 3．如图，，，______，求证：． (1)请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是______，并证明； (2)在（1）的条件下，，，求的长． 知识点二灵活选用判定方法证全等（判定综合） 4．如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 5．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 6．已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 知识点三结合尺规作图的全等问题（判定综合） 7．的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 8．如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 9．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 知识点四连接两点构造全等三角形（辅助线问题） 10．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 11．已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 知识点五证一条线段等于两条线段和差（辅助线问题） 12．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 13．如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 知识点六倍长中线模型（辅助线问题） 14．如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 15．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如 下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到 M，使，连接． 【探究发现】∶（1）图①中，判断与的数量关系和位置关系并证明． 【初步应用】∶（2）如图②，在中，若，求边上的中线的取值范围． 【探究提升】∶（3）如图③，是的中线，过点A 分别向外作，使得，延长交于点P，直接写出线段与的数量关系． 16．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________；（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，例如：若，则） 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 知识点七垂线模型（辅助线问题） 17．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 18．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $