3.3.2 勾股定理的简单应用 课件 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理及其逆定理的应用，通过复习回顾直角三角形边长关系与判定，结合表格对比勾股定理与逆定理的图形、文字及符号语言，以数轴表示√6、证明“垂线段最短”等问题为导入，构建从基础定理到综合应用的学习支架。 其特色在于以代数推理证明几何结论为核心，通过例1证明斜边高公式h²=mn、变式2和3推导锐角钝角三角形边长关系，培养学生逻辑推理与几何直观。课堂小结整合知识点、思想方法及核心素养，教师可借助分层变式练习提升教学效率，学生能在问题解决中深化对定理的理解与应用。

3.3 勾股定理的简单应用（2） 1.能运用勾股定理及其逆定理进行代数推理，理解如何用代 数方法证明几何结论. 2.能运用勾股定理及其逆定理进行相关的计算， 教学目标 新课引入 复习回顾: 勾股定理 勾股定理的逆定理 图形 文字语言 符号语言 A b a C B ∟ 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴ a2 + b2 = c2. A b a C B c 在△ABC中，a2 + b2 = c2， ∴△ABC为直角三角形，∠C=90°. 如果三角形的三边长a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方. 如图，在数轴上点B表示，点C表示……你能在数轴上画出表示的点吗? 试写出a99的值 . a99==10 an= 你能利用勾股定理说明“垂线段最短”吗? 解：如图，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，Q 为直线l上不同于点A的任意一点 . ∵PA⊥l， ∴△APQ 为直角三角形，∠PAQ= 90°， 由勾股定理得， PQ2 =PA2+AQ2 ∵AQ>0， ∴PQ2=PA2+AQ2>PA2 ∴PA<PQ 新课探究 问题:你能利用勾股定理说明 “垂线段最短”吗? 如图,点P 在直线l外,PA⊥l,垂足为A,Q 为直线l上不同于点A的任意一点 . 因为PA⊥l, 所以△APQ为直角三角形 . 根据勾股定理,得 PQ2=PA2+AQ2. 因为AQ>0, 所以PQ2=PA2+AQ2>PA2. 所以PA<PQ . 例题精讲 ◁例1 如图,CD为Rt△ABC的斜边AB上的高,设CD=h,AD=m,DB=n. 求证:h2=mn. 证明：在Rt△ADC中,根据勾股定理,得 AC2=h2+m2. 在Rt△DBC中,根据勾股定理,得 BC2=h2+n2. 在Rt△ABC中,根据勾股定理,得 AC2+BC2=AB2. ∵AB=m+n, ∴h2+m2+h2+n2= (m+n)2. ∴h2=mn. 变式1. 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，CD2＝AD·DB. 求证：（1） AC2＝AD·AB； 证明：∵ CD是AB边上的高， ∴ ∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2 ∵ CD2＝AD·DB， ∴ AC2＝AD·DB ＋AD2＝AD·（DB＋AD） ∵ AB＝DB＋AD， ∴ AC2＝AD·AB 证明：∵ CD是AB边上的高， ∴ ∠BDC=90°， ∴ 在Rt△BDC中，BC2＝CD2＋DB2 ∵ CD2＝AD·DB， ∴ BC2＝AD·DB ＋DB2＝DB·（AD＋DB） ∵ AB＝AD＋DB， ∴ BC2＝DB·AB 变式1. 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，CD2＝AD·DB. 求证：（2） BC2＝DB·AB. 新课探究 探究:如图,在数轴上点B表示,点C表示……你能在数轴上画出表示的点吗? 试写出a99的值 . a1=OA1=；a2=OA2=；a3=OA3=； a4=OA4=；an=OAn=； a99=OA99==10. 新课探究 注意： 若所求线段不在直角三角形中，常作辅助线（如作三角 形的高）构造直角三角形. 证明：作AH⊥BC于H， ∵BC=a，AC=b，AB=c， ∴BC²=a²，AC²=b²，AB²=c²， 在Rt△AHC中，∠AHC=90°， ∴b²=AC²=AH²+HC²， 在Rt△AHB中，∠AHB=90°， ∴c²=AB²=AH²+HB² =AH²+(BC-HC)² =AH²+HC²-2HC×BC+BC² =b²-2HC×BC+a²<a²+b² ∴ c²<a²+b² 变式2. 在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，求证：c²<a²+b². B A C H b c a 证明：作AH⊥BC于H， ∵BC=a，AC=b，AB=c， ∴BC²=a²，AC²=b²，AB²=c²， 在Rt△AHC中，∠AHC=90°， ∴b²=AC²=AH²+HC²， 在Rt△AHB中，∠AHB=90°， ∴c²=AB²=AH²+HB² =AH²+(HC+BC)² =AH²+HC²+2HC×BC+BC² =b²＋2HC×BC+a²＞a²+b² ∴ c²＞a²+b² 变式3. 在钝角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，求证：c²＞a²+b². B A C H b c a 新课探究 勾股定理的前提必须是直角三角形; 勾股定理主要应用于求线段的长度、图形的周长、面积； 　 勾股定理的逆定理用于判断三角形的形状． 思考：勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？ 例2、△ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高线AD=8，求BC的长. 解：(1) 在Rt△ABD中，∠D=90°， AB=10，AD=8， ∴BD=6 在Rt△ACD中，∠D=90°，AC=17，AD=8， ∴CD=15 ∴BC=CD-BD=15-6=9 (2) 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=10，AD=8， ∴BD=6 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=17，AD=8， ∴CD=15 ∴BC=CD+BD=15+6=21 A B C D A B C D 变式、已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2-EA2=AC2.求证：∠A=90°. 证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴ED垂直平分BC， ∴EB=EC ∵BE2-EA2=AC2 ∴EC2-EA2=AC2 即CE2=EA2+AC2 ∴∠A=90° A B C D E 课堂练习 基础巩固 1.如图，在的正方形网格中，点，， ， ， 是格点，则下列线段长度最长的是( ) C A. B. C. D. 2.如图，在中， ， 的垂直平分线分别 交，于点，，若， ，则 的长为( ) B A. B. C. D.3 课堂小结： 1.知识点： （1）勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+ b2=c2 . （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b， c，满足a2+ b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. （3）勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数. 例如：（3、4、5）;（6、8、10）;（5、12、13） 注意：解题时往往需要先找出或者构造直角三角形. 2.思想方法：分类思想、方程思想、数形结合思想 3.核心素养：逻辑推理 数学抽象 直观想象 课堂总结 通过今天的学习有什么收获？还有什么疑问？ 19 谢谢大家聆听 $