26.3 二次函数与一元二次方程（10大题型,小模块.微专题.大压轴）讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程关系这一核心知识点，系统梳理根的判别式、交点情况、截线长、近似解及不等式解法，通过模块通关、专题攻坚、压轴突破构建递进学习支架，衔接基础与综合应用。 资料以“小模块·微专题·大压轴”为特色，典例与变式训练提升抽象能力和推理意识，压轴题结合动点与新定义问题培养模型意识，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识应用与素养提升。

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题26.3二次函数与一元二次方程》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 根据与x轴的交点情况求字母的取值范围 微专题1根据两函数交点确定不等式的解集 模块2 利用二次函数的图象确定方程根的情况 微专题2抛物线与x轴交点的多结论问题 模块3 求抛物线与x轴的截线长 压轴1 二次函数与元二次方程中的动点与最值问题 模块4 图象法确定一元二次方程的近似解 压轴2 新定义问题 模块5 图象法解一元二次不等式的方法 通关检测·实战演练 模块6利用不等式求二次函数中参数 知识梳理 · 基础溯源 知识点1二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的 图象与x轴交点的横坐标. (1)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点的横坐标分别为x1，X2，则x1，x2为一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根. (2)二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系: △=决定一元二次方程根的情况，也决定抛物线与x轴的交点个数． △=＞0一元二次方程两个不相等的实数根抛物线与x轴有 2 个交点； △=＝0一元二次方程两个相等的实数根抛物线与x轴有 1 个交点； △=＜0一元二次方程没有实数根抛物线与x轴 没有交点 ． 特别说明：一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标． 若点与点均在二次函数的图像上，若，则的根一定在与之间． 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 (1)画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象; (2)确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间; (3)列表，在(2)中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方. 通过列表求近似根的具体过程: 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由x1取到x2时，对应y的值出现y1>0,y2<0或y1<0, y2>0，那么x1，x2中必有一个是近似根，比较|与的大小，若>，则说明x2是近似根;反之，则说明x1是近似根，从图象上观察，(x，y)离x轴越近，值越接近0，而y=0时x的值就是方程的确切根. 模块通关·举一反 三 【模块一】根据与x轴的交点情况求字母的取值范围 .结合二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系分析求解。对于二次函数y=ax2+bx+c，当图象与x轴有两个不同交点时，对应一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，此时判别式△=>0；当图象与x轴仅有一个交点时，对应方程有两个相等的实数根，此时△== 0；当图象与x轴没有交点时，对应方程没有实数根，此时 △=<0。若题目对交点的位置有额外要求，如两个交点都在原点右侧、交点分别位于某给定横坐标的两侧等，还可以结合韦达定理或端点函数值的正负，列出关于待定字母的不等式组，最终求解得到符合所有条件的字母取值范围。 【典例1】如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 【答案】C 【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点， ∴方程x2+4x﹣m＝0有两个实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0， 解得：m≥﹣4， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键． 【变式1-1】已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0 【答案】C 【分析】根据二次函数图像与x轴没有交点说明 ，建立一个关于k的不等式，解不等式即可. 【详解】∵二次函数的图象与x轴无交点， ∴ 即 解得 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，掌握根的判别式是解题的关键. 【变式1-2】若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是 【答案】2 【分析】抛物线与x轴有两交点，则△=b2-4ac＞0，列出不等式求得整数解即可． 【详解】解：由题意得：（2k+1）2-4（k2+2）＞0， 解得， 故整数k的最小值是2． 故答案为2． 【变式1-3】已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3 【答案】B 【分析】根据函数图像与x轴交点的特点可知，的判别式Δ≥0，即可求解； 【详解】若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0，解得：k≤4，当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图像与x轴交点的特点，掌握相关知识是解题的关键． 【模块二】利用二次函数的图象确定方程根的情况 .核心原理是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的函数值为0时，对应的x值就是方程ax²+bx+c=0的根，反映在图象上就是抛物线与x轴交点的横坐标。可以通过观察它与x轴的位置关系直接判断根的情况： ①确定方程根的个数 如果抛物线与x轴有两个不同交点，说明对应方程有两个不相等的实数根；如果抛物线与x轴仅存在一个公共交点（即顶点落在x轴上），说明对应方程有两个相等的实数根；如果抛物线整体都在x轴上方或下方，和x轴没有交点，说明对应方程不存在实数根。 ②利用二次函数的图象求方程的解 首先需要准确画出对应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，再观察图象与x轴交点的个数，明确方程解的个数后，读取每个交点的横坐标，这些横坐标就是所求一元二次方程ax2+bx+c=0的解。 【典例2】如图，一元二次方程的解为 【答案】 【分析】根据图象可知，二次函数的图象经过点与，由此可得一元二次方程的解． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象经过点与， 即时，或4， ∴一元二次方程的解为：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，关键是观察二次函数图象得出与y轴的交点坐标． 【变式2-1】已知二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根为 ． 【答案】 【分析】先利用抛物线的对称性求得抛物线与轴的另一交点，然后利用抛物线与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与x轴的另一个交点是．则， 解得，， 即该抛物线与x轴的另一个交点是． 所以关于x的一元二次方程的根为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，理解掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【变式2-2】若二次函数的图象经过点，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】首先求出二次函数图象与x轴的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵, ∴二次函数的图象的对称轴方程为直线， ∵二次函数的图象经过点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴方程解为， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出二次函数图象与x轴的交点坐标，此题难度不大． 【变式2-3】已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　） A．3或1 B．或1 C．3或 D．或 【答案】B 【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于的一元二次方程的解． 【详解】解：由图象可知， 该函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是， 则该函数与轴的另一个交点是， 即当时，时，，， 故关于的一元二次方程的解为，， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 【模块三】求抛物线与x轴的截线长 ①找到抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交点对应的一元二次方程ax²+bx+c=0，记方程的两个不同实根为x1、x₂，由于两个交点都在x轴上，纵坐标均为0，因此截线长就是两个交点横坐标差的绝对值|x1- x2| ②结合韦达定理我们还可以得到更简便的通用计算公式：由韦达定理得x+x=-，x₁x₂=， 对|x₁ - x₂|变形求解： 【典例3】抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＝−3或x＝5， 故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 【变式3-1】如图，抛物线（其中为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点，点，则的长度为_________． 【答案】 【分析】根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，求得抛物线的解析式是解题的关键． 【变式3-2】若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为______． 【答案】4 【分析】设顶点式，再解方程得，然后把B点和A点的横坐标相减得到AB的长度． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 当y=0时，，解得：， ∴， ∴ 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二次函数与x轴交点问题，解题的关键是设出顶点式并解方程表示出A，B两点的坐标． 【变式3-3】直线被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的解析式为______． 【答案】或 【分析】直线和抛物线联立方程求解，根据截得的线段长为4，即两根之差的绝对值为4，求解即可． 【详解】解：当时， ， 整理得： ， 解得：或， 由题意可知： ， 即， 解得：， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了函数与方程，以及距离与坐标的关系；掌握联立方程组求交点坐标是解题的关键． 【模块四】图象法确定一元二次方程的近似解 第一步：对于形如 ax2+bx+c=0 的一元二次方程，先将其转化为二次函数 y=ax2+bx+c，方程的解就是该二次函数图象与x轴交点的横坐标；若所求方程不是标准的零次方程形式，可将其整理为等号两边各为一个函数的形式，例如求 ax2+bx+c=m的解，可转化为寻找y=ax2+bx+c 与y=m 图象交点的横坐标。 第二步：结合二次函数的解析式，确定开口方向、对称轴、顶点坐标，再选取与坐标轴交点等若干特征点，按照点的位置描点连线，画出准确的二次函数图象。 第三步：观察图象定位交点横坐标所在的区间，通过逐步缩小估计范围获得符合精度要求的数值，最终得到一元二次方程的近似解。 【典例4】某人画二次函数的图象时，列出下表（计算没有错误）： x y 根据此表判断：一元二次方程的一个根x1满足下列关系式（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察表格可知，～之间，随的值逐渐增大，的值在～之间由负到正，故可判断时，对应的x的值在～之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的x的值在∼之间． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系，关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围． 【变式4-1】如表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.25 0.76 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，． 一元二次方程的一个近似解的范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【变式4-2】方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】逐项分析即可． 【详解】A、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； B、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故正确； C、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； D、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 【变式4-3】根据关于x的一元二次方程，可列表如下： x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 则方程的正数解满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据二次函数的性质确定对于二次函数，一定存在一个x满足时，使得，由此即可得到答案． 【详解】解：设， 由表格中的数据可知，当时，， 当时，， ∴对于二次函数，一定存在一个x满足时，使得， ∴关于x的一元二次方程的正数解满足， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确找到二次函数函数值为0的条件是解题的关键． 【模块五】图象法解一元二次不等式的方法 按以下三步完成： 第一步，先将待解的一元二次不等式整理为标准形式，使不等式右侧为0，对应得到目标二次函数y=ax2+bx+c，先根据a的正负判断抛物线开口方向，随后按要求画出该二次函数的完整图象。 第二步，求解对应一元二次方程ax2+bx+c=0的实根，即抛物线与x轴的交点横坐标：若判别式△=>0，方程有两个不相等的实根，对应抛物线与x轴有两个交点；若△==0，方程有一个重根，对应抛物线与x轴相切于顶点；若△=<0，方程无实根，对应抛物线与x轴没有交点。 第三步，结合图象位置与不等号方向确定不等式解集：当a>0时，若不等式为ax2+bx+c>0，解集为图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围；若不等式为ax2+bx+c<0，解集为图象位于x轴下方部分对应的x的取值范围。若a<0，可先将不等式两边同乘-1将二次项系数化为正，调整不等号方向后再按上述规则求解即可。 【典例5】如图为抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴的一交点为，则由图象可知，不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质可得抛物线与x轴的另一交点为，再由当时，抛物线图象位于x轴的上方，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一交点为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∵当时，抛物线图象位于x轴的上方， ∴不等式的解集是． 故选：D 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 【变式5-1】抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先求出抛物线与x轴另一交点的坐标，再利用函数图象即可而出结论． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，． 故选C． 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键． 【变式5-2】抛物线的部分图像如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由图像可知：函数的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，则另外一个交点坐标为，即可求解． 【详解】由图像可知：函数的对称轴为，与轴的一个交点坐标为， 则另外一个交点坐标为， 当时，或， 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的对称性，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【变式5-3】二次函数的部分图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 【模块六】利用不等式求二次函数中参数 核心思路是将不等式对函数取值的约束，转化为抛物线与x轴的位置关系要求。 ①当题目给出二次函数在全体实数域上恒满足大于零或恒小于零的不等式要求时，可先由二次项系数的符号确定开口方向，再结合抛物线与x轴无交点的要求，得到判别式Δ<0的不等式，将其整理后即可求解得到参数的取值范围； ②若题目给出的是某一给定区间上的不等式要求，则需要结合抛物线对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，结合区间端点处的函数值符号列出对应不等式组，最终得到参数的合法取值。 【典例6】已知抛物线经过点，当时，，则m的值可能是（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先求出抛物线与x轴的两个交点坐标，再根据函数图象进行求解即可． 【详解】解：当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，， ∵抛物线经过点，当时，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了图象法解不等式，正确求出抛物线与x轴的两个交点坐标是解题的关键． 【变式6-1】已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 … 若A（m，y1），B（m﹣1，y2）两点都在该函数的图象上，当m满足范围_____时，y1＜y2． 【答案】＜m≤2 【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，由于y1＜y2，当A、B两点都在直线x=1的右侧，则m≤2；当A、B两点在直线x=1的两侧，1-（m-1）＜m-1，解得．从而得到m的范围． 【详解】解：∵抛物线过点（-1，3）和（3，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下， ∵y1＜y2， 当A、B两点都在直线x=2的右侧，则m-1≤1，即m≤2； 当A、B两点在直线x=1的两侧，点A比点B离直线x=1要远，而1-（m-1）＜m-1，2-（m-1）＞m-2，解得， 综上所述，m的范围为＜m≤2. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解． 【变式6-2】．已知二次函数，当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据的范围得出时，求得函 数的最大值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，的最小值为， ∵， ∴时，取得最大值，最大值为， ∴当时，的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（    ） A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6 C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6 【答案】B 【分析】根据题意知线段AB平行于y轴，先根据二次函数经过点A与点B构建方程，进而得出二次函数与线段交点解集即可． 【详解】解：根据题意知： ∵点，， 故对于二次函数与线段有公共点时， 即当x=4时，， 即， 当时，解得， 当时，解得， ∴的解集为或； 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，难度一般，主要是计算． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】根据两函数交点确定不等式的解集 首先将不等式整理为“左侧函数大于（或小于）右侧函数”的标准形式，接着在同一平面直角坐标系中正确画出两个对应函数的图象，找到两个函数图象的所有交点，再根据交点的横坐标将x轴划分为若干个区间，随后逐一观察每个区间内两个函数图象的上下位置关系：若不等式要求左侧函数大于右侧函数，则取所有左侧图象位于上方的区间，这些区间对应的x取值范围就是不等式的解集；若不等式要求左侧函数小于右侧函数，则取所有左侧图象位于下方的区间对应的x范围，即可得到最终解集。 【典例7】如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于x的不等式的解集为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一次函数与二次函数的交点的横坐标结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于两点， 根据图象可得关于的不等式的解集是：． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数交点求不等式的解集问题，数形结合是解题的关键． 【变式7-1】如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点A (，6)，B(7，2)，请你根据图象写出使成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】结合两函数图象交点求出一次函数图象在二次函数图象上方（包括交点）时，x的取值范围即可； 【详解】求使成立的x的取值范围，即求一次函数图象在二次函数图象上方（包括交点）时，x的取值范围． ∵一次函数与二次函数的图象相交于两点A (，6)，B(7，2)， ∴当时，一次函数图象在二次函数图象上方（包括交点）， ∴使成立的x的取值范围是． 故选A． 【点睛】本题考查根据一次函数图象与二次函数图象的交点确定不等式的解集．利用数形结合的思想是解题的关键． 【变式7-2】如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为(   ) A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3 【答案】C 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点， 观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方， ∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1， 即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 【变式7-3】如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（    ） A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥ 【答案】B 【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，可得到 ；进而得到 同号，再有抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，可得 ， ，从而得到 ；再由抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），可得线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当 时， ，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ， ∴ ，即 ，故①错误； ∵， ∴，即 同号， ∵抛物线开口向上，与 轴交于负半轴， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0）， ∴抛物线与轴的另一个交点为 ，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为B（－1，－3）， ∴当时 ， ， 即抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故④错误； 观察图象得：当 时， ， 在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势， 即此时 随 的增大而增大， 又当 时， ， ∴，故⑤正确； 观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方， ∴不等式的解集为，故⑥正确； ∴正确的有②⑤⑥． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【微专题二】抛物线与x轴交点的多结论问题 这类问题通常结合抛物线开口方向、对称轴位置、特殊点函数值，给出多个关于系数关系、函数值正负、方程根分布的结论，要求判断正确结论的个数，是二次函数客观题中的高频考查题型。 解决此类问题的核心思路是依托图象特征，结合二次函数系数与图象位置的对应关系逐一推导：先根据开口方向确定a的符号，再结合对称轴位置和a 的符号判断b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置确定 c 的符号，根据抛物线与x 轴的交点个数判断判别式△=的符号。再针对 x=m1 、 x=m2 这类特殊点对应的函数值，结合对称轴的取值范围、顶点纵坐标的范围，推导得到 a、b、c满足的各类不等关系与等量关系，最终逐一验证每个结论的正误即可。 【典例8】抛物线(a，b，c为常数)开口向下且过点，以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据已知条件可判断，，据此逐项分析解题即可． 【详解】解：抛物线开口向下, 把，代入得 ①，故①正确； ②，故②正确；； ③若方程有两个不相等的实数根， 即 ，故③正确，即正确结论的个数是3， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 【变式8-1】．已知二次函数，若时，自变量的取值范围是则下列四个判断中，正确的个数是（    ） 不等式的解集为 方程的解为， A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到抛物线开口向下，与轴的交点为、． ，即可求得，得出，即可判断①；当时，，即可判断②；由抛物线经过点，以及，得出，而，解不等式得到，即可判断③；代入，，解方程即可判断④． 【详解】二次函数，当时，自变量的取值范围是， 开口向下，与轴的交点为、， 对称轴为直线， ，故①正确； 当时，， ，故②错误； 抛物线经过点， ， ， ， ， 不等式的解集为，故③错误； ，， 方程化为方程，即， 解得，，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，比较综合，有一定难度． 【变式8-2】抛物线的对称轴为，经过点，顶点为，下列四个结论： ①若，则； ②方程一定有两个不相等的实数解； ③若与异号，则抛物线与轴有两个不同的交点； ④设抛物线交轴于点，不论为何值，直线始终过定点． 其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断①，由一元二次方程根与系数的关系判断②③，用含和代数式表示直线，将代入解析式求解可判断④． 【详解】解：的对称轴为， ， ， 抛物线经过， ，即，， 若，则， ，①正确． ， ， 方程中△， 时，方程有两个相同实数解，②错误． ， ， ， 与异号， ， 抛物线与轴有2个不同交点，③正确． 抛物线对称轴为直线， 把代入得， 抛物线顶点坐标为， 把代入得， 点坐标为， 设解析式为，把，代入得， 解得， ， 把代入得， 直线经过，④正确． 综上，正确的有①③④． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 【变式8-3】如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为3和1；④若点均在二次函数图象上，则；⑤（m为任意实数）． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【来源】专题2.2.6 二次函数y 【答案】A 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点为即可判断①；根据抛物线对称轴为直线结合当时，即可判断②；根据抛物线的对称轴可以求出抛物线与x轴的另一个交点为即可判断③；根据抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大即可判断④；根据抛物线在时有最小值即可判断⑤． 【详解】解：①∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为， ∴当时，， 故结论①符合题意； ②根据函数图象可知， 当，即， 对称轴为，即 ， 根据抛物线开口向上，得， ∴， ∴， 即，故结论②不符合题意； ③根据抛物线与x轴的一个交点为， 对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的两根分别为和1， 故结论③不符合题意； ④点到对称轴的距离为：． 到对称轴的距离为：， 到对称轴的距离为：． ∵抛物线开口向上． ∴．故结论④不符合题意； ⑤当时，， ∴当时，， ∴，故结论⑤不符合题意， 综上：只有①符合题意， 故答案为：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】二次函数与元二次方程中的动点与最值问题 解题关键在于梳理动点的运动轨迹，通过数形结合将几何关系转化为代数表达式。我们通常可以先设出动点的坐标，再结合二次函数的性质，表示出题目中涉及的线段长度、图形面积等数量关系，进而构造出以动点参数为自变量的二次函数，最后结合参数的实际取值范围，利用二次函数的开口方向和对称轴位置求解最值，同时要注意分类讨论动点处于不同位置时的不同情况，避免漏解。这类问题能很好地锻炼我们的数形结合思想与分类讨论思想，是中考二次函数压轴题的常见考法。 【典例9】已知二次函数，其中m为实数． (1)试判断二次函数的图象与x轴的交点个数； (2)与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点M的横坐标为p，用含p的代数式表示点N的横坐标； (3)设二次函数图象的顶点为A，与y轴的交点为B．点P为线段上一动点，垂直于x轴，且交二次函数的图象于Q，求线段的最大值． 【答案】(1)没有交点 (2) (3) 【分析】（1）利用可判断函数的图象与x轴没有交点； （2）根据M、N关于对称轴对称，可求N点横坐标； （3）求出直线的解析式为，设，则，则，当时，的最大值为． 【详解】（1）∵， ∴二次函数的图象与x轴没有交点； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵M、N关于对称轴对称， ∴N点横坐标为； （3）∵， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∵点P为线段上一动点， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用判别式判断二次函数图象与x轴交点的情况是解题的关键． 【变式9-1】如图，一条抛物线（m<0）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）．若点M、N的坐标分别为(0，—2)、(4，0)，抛物线与直线MN始终有交点，线段AB的长度的最小值为______． 【答案】 【详解】试题分析：过点（0，—2）、（4，0）直线解析式为,抛物线与直线始终有交点 所以有解, ,解得, 当时,线段的长度的最小,这时抛物线为它与x轴的交点为(,0 ) (,0).故线段的长度的最小值为. 考点：函数与方程(组)的关系． 【变式9-2】已知二次函数，，，． (1)若二次函数的图象经过A，B两点，求二次函数的解析式； (2)若二次函数图象与y轴正半轴有交点，试判断二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由； (3)若二次函数图象经过点C，设为二次函数图象上的一个动点，当时，点P关于x轴的对称点都在直线AB的下方，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)两个交点，理由见解析 (3) 【分析】（1）将，代入，求出m、n的值即可； （2）根据题意可判断n>0，再由根的判别式判断即可； （3）根据题意可求出．点在二次函数的图象上．再求出直线AB的解析式为，结合图象即可知当时即满足当时，点P关于x轴的对称点都在直线AB的下方，列出关于m的不等式，解出m即可． 【详解】（1）把，代入， 可得， 解得， 则二次函数的解析式为； （2）令，则， ∵二次函数图象与y轴正半轴有交点， ∴交点坐标为，且， 又∵， ∴， ∴该二次函数的图象与x轴必有两个交点； （3）由二次函数图象经过点可得：， ∴． ∵为二次函数图象上的一个动点， ∴． ∵点P关于x轴的对称点的坐标为． ∴点在二次函数的图象上． ∴对于，当时，；当时，． ∵，， ∴直线AB的解析式为， ∴当时，． ∵当时，点P关于x轴的对称点都在直线AB的下方， 结合图象可知，即， 解得， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．解（3）要画出图象利用数形结合的思想解答． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，）的顶点为A，直线：（为常数，）． (1)直线必过一定点，则______，______． (2)求抛物线与轴的两个交点之间的距离； (3)当时，抛物线过点，且与直线的另一个交点为，其中，在抛物线上有一动点，当点在点、之间运动时，始终满足，求的值和的取值范围． 【答案】(1)4；5 (2)抛物线与轴的两个交点之间的距离为6 (3)， 【分析】（1）对进行变形，即可求解； （2）对进行变形，利用韦达定理得到，，再利用即可求解； （3）当时，抛物线过点，代入解析式中可求a的值；根据当点在点、之间运动时，始终满足，求出当点C 与点重合时和又当直线与抛物线只有一个交点时k的值，即可求出范围． (1) 解：∵， ∴直线必过一定点， ∴，， 故答案为：4；5． (2) 解：设交点坐标为：，， ∵， ∴，， ∴， 抛物线与轴的两个交点之间的距离：． (3) 解：当时，抛物线过点， ∴，解得， 此时抛物线的解析式为：， 设抛物线的顶点为M，则， ∵当点在点、之间运动时，始终满足， ∴直线与抛物线的另一个交点C只能在B和M之间，可以与顶点M重合，不能与B 重合， 当点C 与点重合时， ，解得， ∴； 又当直线与抛物线只有一个交点时， ， 即， ∴，解得， 综上可知． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 【压轴二】 新定义问题 a<0时，x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小。y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2平移得到，平移规律遵循“左加右减、上加下减”，可快速确定图象位置。 【典例10】定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】试题分析：①抛物线的顶点坐标为（ ， ），当m=3时，特征数为[2,4-6]，可求得顶点坐标为（-1，-8），所以①正确．②函数图像与x轴交点坐标为（ ），特征数为 [m-1，1+ m ，-2m]的函数与x轴交点坐标分别为（1,0）、（，0），所以截得x轴所得的线段长为1-=1+，  当m > 1 时， 1+>3，所以②正确．③函数对称轴为x== ，                                当m<0时，对称轴x= < ，a=m-1<0,所以函数抛物线图像开口向下，当x>时y随x的增大而减小，又因为x= <，所以当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小，③正确．④ 不论m取何值，函数图象经过两个定点（1,0）和（-2，-6），所以④正确．故选D 点睛：本题主要考查二次函数y=ax2+bx+c的性质：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．②抛物线是轴对称图形,对称轴为直线x = -b/2a，当a＞0时x< ,y随x的增大而减小，x>时，y随x的增大而增大．当a<0时，x<，y随x的增大而增大，x>时，y随x的增大而减小．③函数图像与x轴交点坐标为（ ），所以函数图像截x轴所得的线段长为 等．二次函数的性质极为重要，是易考点，及难点． 【变式10-1】在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点，已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完美点的概念，可得，即，根据只有一个完美点，可得，从而解出，，所以函数，由此得出函数的顶点坐标和对称轴及性质，即可求解． 【详解】解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个完美点， ∴，即， 又∵方程的根为， ∴，， ∴函数， ∴该函数图象的顶点为， 如图，在对称轴直线右侧，随的增大而减小，在左侧，随的增大而增大， 当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，解得或， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式，利用数形结合的思想是解题的关键． 【变式10-2】规定：某一个函数图像上存在一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”． (1)函数__________“自反”函数（填：“是”或“不是”），如果是，求出这个函数的所有“反点”，如果不是，请说明理由； (2)若抛物线（为常数）上有且只有一个“反点”，求的值； (3)若抛物线（、为常数，）对于任意的常数恒有两个“反点”，求a的取值范围． 【答案】(1)是， (2)a的值为或4 (3) 【分析】（1）根据定义可知，“自反”函数与有交点，联立解析式求解即可； （2）根据定义，可得与只有1个交点，根据判别式即可求解； （3）根据定义联立二次函数解析式与，令，得到关于的代数式，根据代数式恒大于0，令，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵经过原点，满足定义，则是“自反”函数 依题意， 解得或， 自反”函数的“反点”是或， 故答案为：是． （2）解：依题意， 即有两个相等的实数解， ∴， 解得：或； （3）关于的二次函数（，为常数）对于任意的常数恒有两个“反点”， ， 即有两个不等实数根， ， 即， 关于的二次函数与轴无交点， ， 解得:． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数交点问题、反比例函数与几何图形、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质，理解新定义并熟练应用是解题的关键． 【变式10-3】规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P（2，4）在函数上，点Q（，）在函数上，点P与点Q关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”． (1)函数和函数是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由； (2)已知函数和互为“守望函数”，求n的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”； (3)已知二次函数与互为“守望函数”，有且仅有一对“守望点”，若二次函数的顶点为M，与x轴交于，，其中，，又，过顶点M作x轴的平行线l交y轴于点N，直线与y轴交点为点Q，动点E在x轴上运动，求抛物线上的一点F的坐标，使得四边形为平行四边形． 【答案】(1)是，与 (2)2023，与 (3)或， 【分析】（1）设在上，则在，代入解析式，组成方程组求解即可； （2）设在上，则在上，代入解析式求得，根据“守望函数”定义，得，所以，即当时，n有最大值2023，即可求解； （3）设在，则在上，代入解析式求得，根据有且仅有存在一对“守望点”，则，即，所以顶点M的纵坐标为；由二次函数与x轴交于，，即，为两个根，所以，，根据，即可求得a，从而可求得b、c，即可求解． 【详解】（1）解：设在上，则在， ∴， 解得， ∴与互为“守望函数”，“守望点”为与． （2）解：设在上，则在上， ∴， ∴消去t得， ∵是“守望函数”， ∴， ∴，即n有最大值2023， 当n=2023时，s2-2s+1=0, 解得：s=1， ∴t=3， ∴此时“守望点”为与． （3）解：设在，则在上， ∴， 整理得， ∵有且仅有存在一对“守望点”， ∴，即， ∴顶点M的纵坐标为， ∵由二次函数与x轴交于，，即，为两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴或． 综上，或，． 【点睛】本题考查新定义，二次函数与一次函数的综合运用，二次函数与一次二次方程，根与系数关系，根的判别式，理解新定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系，二欠函数图象与一次函数图象性质是解题词的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(   ) A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝ 【详解】解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0）， ∴Δ=1﹣4a=0， ∴a=； ②函数为一次函数， ∴a=0， ∴a的值为或0； 故选：D． 2．抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【详解】解：在中， 令y=0，则， ∵△=22－4×（－3）3=15＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵x=0时，y=－3， ∴抛物线与y轴的交点为（0，－3）， ∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数为3． 故选：D． 3.已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0 【答案】C 【分析】根据二次函数图像与x轴没有交点说明 ，建立一个关于k的不等式，解不等式即可. 【详解】∵二次函数的图象与x轴无交点， ∴ 即 解得 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，掌握根的判别式是解题的关键. 4.根据下列表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根， ∴的一个解的取值范围为． 故选：C． 5.已知二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根为 ． 【答案】 【分析】先利用抛物线的对称性求得抛物线与轴的另一交点，然后利用抛物线与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与x轴的另一个交点是．则， 解得，， 即该抛物线与x轴的另一个交点是． 所以关于x的一元二次方程的根为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，理解掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 二 填空题 6.．若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是 【答案】2 【分析】抛物线与x轴有两交点，则△=b2-4ac＞0，列出不等式求得整数解即可． 【详解】解：由题意得：（2k+1）2-4（k2+2）＞0， 解得， 故整数k的最小值是2． 故答案为2． 7.已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】首先把点代入抛物线的解析式，可得，再把代入，即可求得． 【详解】解：把点代入抛物线的解析式， 得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，代数式求值，得到是解决本题的关键． 8.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是－3和1，若抛物线与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是，则点B的坐标是 ． 【答案】( -6，0) 【分析】由抛物线与x轴两交点横坐标求出抛物线对称轴，进而求解． 【详解】解：抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是1和-3， 抛物线对称轴为直线x=- 1， 抛物线是由抛物线向上移动m个单位，抛物线对称轴为直线x=-l， A， B关于对称轴对称， A坐标为( 4， 0)， 点B坐标为( -6，0)， 故答案为( -6，0)． 【点睛】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 9.若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ． 【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有两个不同的交点， ①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=－1， 此时y=－2x－，与坐标轴有两个交点； ②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠－1，分两种情况： 当抛物线经过原点时，y==0，即m=0， 此时=x(x－2)， 则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)； 当抛物线不经过原点时，△=（－2）2－4×(m+1)×m=0， 解得：m=－2或1． 综上，m=－1或0或－2或1时，函数与坐标轴有两个交点， 故答案为：－2或－1或0或1． 10.．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有 个． 【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2,0)， ∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)， ∴代入(－2,0)、(1,0)得：， 解得：，故③正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴两个交点， ∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根， ∴方程的判别式，故②正确； ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下， ∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，故⑤错误， 故正确的有：②③④， 故答案为：3． 三解答题 11.已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)． (1)求m的值； (2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ， ∴4=4+2m+m2−3， 即m2+2m−3=0， 解得：m1=1，m2=−3， 又∵m>0， ∴m=1； （2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2， ∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0， ∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点． 12如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当0＜x＜3时，则y的取值范围． 【答案】(1)；（1，-4）； (2) 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）由（1）抛物线的对称轴为直线x=1，可得当x=1时，二次函数有最小值-4，且当x＞1时，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】（1）解：把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）； （2）解：由（1）抛物线的对称轴为直线x=1， ∵抛物线的开口向上， ∴当x=1时，二次函数有最小值-4，且当x＞1时，y随x的增大而增大， 当x=3时，y=0， ∴当0＜x＜3时，则y的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 13.如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点．连接，点是线段上方抛物线上的点，过点作轴垂线交于点，交轴于点．求线段的最大值． 【详解】解：与轴交于、两点， 令，即． 解得，． 点在点左侧， 、． 与轴交于点， ． 易得直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， 当时，长取得最大值，最大值为． 14如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，求y的取值范围； (3)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；顶点坐标为 (2)当时， (3)P点坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再将解析式化为顶点式即可求解； （2）根据图象即可进行解答； （3）先根据三角形的面积求出三角形的高，即点P的纵坐标，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）把、分别代入中， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）∵、，函数顶点坐标为， ∴当时，y的取值范围； （3）∵、， ∴， 设，则， ∴， ∴． ①当时，，解得：，， 此时P点坐标为或； ②当时，， 即， ∴，即方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”． (1)一个二次函数的“伴侣二次函数”有______ 个； (2)①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点； ②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”． (3)试探究a1与a2满足的数量关系． 【答案】(1)无数 (2)①（-2，0），（-1，0）；②y=-（x+1）2=-x2-2x-1 (3)当h≠m时，a1=-a2；当h=m时，a1、a2为任意不为零的实数 【分析】（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案； （2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数； （3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案． (1) 一个二次函数的“伴侣二次函数”有无数个． 故答案为 无数； (2) ①令y=0，即x2+3x+2=0． 解得：x1=-1，x2=-2． ∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（-2，0），（-1，0）． ②∵y=x2+3x+2=（x+）2- ∴顶点坐标为． 设以（-2，0）为顶点且经过的抛物线的函数关系式为y=a（x+2）2， 将代入y=a（x+2）2得 a=-1． ∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为y=-（x+2）2=-x2-4x-4， 同理可求以（-1，0）为顶点且经过的抛物线的函数关系式． 即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为y=-（x+1）2=-x2-2x-1； (3) 设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（-m，n）， y=a2（x+h）2+k，其顶点为（-h，k）． 根据“伴侣二次函数”定义可得， ∴a1（-h+m）2=-a2（-m+h）2． 当h≠m时，a1=-a2 当h=m时，a1、a2为任意不为零的实数． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题26.3二次函数与一元二次方程》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 根据与x轴的交点情况求字母的取值范围 微专题1根据两函数交点确定不等式的解集 模块2 利用二次函数的图象确定方程根的情况 微专题2抛物线与x轴交点的多结论问题 模块3 求抛物线与x轴的截线长 压轴1 二次函数与元二次方程中的动点与最值问题 模块4 图象法确定一元二次方程的近似解 压轴2 新定义问题 模块5 图象法解一元二次不等式的方法 通关检测·实战演练 模块6利用不等式求二次函数中参数 知识梳理 · 基础溯源 知识点1二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的 图象与x轴交点的横坐标. (1)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点的横坐标分别为x1，X2，则x1，x2为一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根. (2)二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系: △=决定一元二次方程根的情况，也决定抛物线与x轴的交点个数． △=＞0一元二次方程两个不相等的实数根抛物线与x轴有 2 个交点； △=＝0一元二次方程两个相等的实数根抛物线与x轴有 1 个交点； △=＜0一元二次方程没有实数根抛物线与x轴 没有交点 ． 特别说明：一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标． 若点与点均在二次函数的图像上，若，则的根一定在与之间． 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 (1)画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象; (2)确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间; (3)列表，在(2)中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方. 通过列表求近似根的具体过程: 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由x1取到x2时，对应y的值出现y1>0,y2<0或y1<0, y2>0，那么x1，x2中必有一个是近似根，比较|与的大小，若>，则说明x2是近似根;反之，则说明x1是近似根，从图象上观察，(x，y)离x轴越近，值越接近0，而y=0时x的值就是方程的确切根. 模块通关·举一反 三 【模块一】根据与x轴的交点情况求字母的取值范围 .结合二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系分析求解。对于二次函数y=ax2+bx+c，当图象与x轴有两个不同交点时，对应一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，此时判别式△=>0；当图象与x轴仅有一个交点时，对应方程有两个相等的实数根，此时△== 0；当图象与x轴没有交点时，对应方程没有实数根，此时 △=<0。若题目对交点的位置有额外要求，如两个交点都在原点右侧、交点分别位于某给定横坐标的两侧等，还可以结合韦达定理或端点函数值的正负，列出关于待定字母的不等式组，最终求解得到符合所有条件的字母取值范围。 【典例1】如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 【变式1-1】已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0 【变式1-2】若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是 【变式1-3】已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3 【模块二】利用二次函数的图象确定方程根的情况 .核心原理是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的函数值为0时，对应的x值就是方程ax²+bx+c=0的根，反映在图象上就是抛物线与x轴交点的横坐标。可以通过观察它与x轴的位置关系直接判断根的情况： ①确定方程根的个数 如果抛物线与x轴有两个不同交点，说明对应方程有两个不相等的实数根；如果抛物线与x轴仅存在一个公共交点（即顶点落在x轴上），说明对应方程有两个相等的实数根；如果抛物线整体都在x轴上方或下方，和x轴没有交点，说明对应方程不存在实数根。 ②利用二次函数的图象求方程的解 首先需要准确画出对应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，再观察图象与x轴交点的个数，明确方程解的个数后，读取每个交点的横坐标，这些横坐标就是所求一元二次方程ax2+bx+c=0的解。 【典例2】如图，一元二次方程的解为 【变式2-1】已知二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根为 ． 【变式2-2】若二次函数的图象经过点，则方程的解为 ． 【变式2-3】已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　） A．3或1 B．或1 C．3或 D．或 【模块三】求抛物线与x轴的截线长 ①找到抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交点对应的一元二次方程ax²+bx+c=0，记方程的两个不同实根为x1、x₂，由于两个交点都在x轴上，纵坐标均为0，因此截线长就是两个交点横坐标差的绝对值|x1- x2| ②结合韦达定理我们还可以得到更简便的通用计算公式：由韦达定理得x+x=-，x₁x₂=， 对|x₁ - x₂|变形求解： 【典例3】抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-1】如图，抛物线（其中为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点，点，则的长度为_________． 【变式3-2】若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为______． 【变式3-3】直线被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的解析式为______． 【模块四】图象法确定一元二次方程的近似解 第一步：对于形如 ax2+bx+c=0 的一元二次方程，先将其转化为二次函数 y=ax2+bx+c，方程的解就是该二次函数图象与x轴交点的横坐标；若所求方程不是标准的零次方程形式，可将其整理为等号两边各为一个函数的形式，例如求 ax2+bx+c=m的解，可转化为寻找y=ax2+bx+c 与y=m 图象交点的横坐标。 第二步：结合二次函数的解析式，确定开口方向、对称轴、顶点坐标，再选取与坐标轴交点等若干特征点，按照点的位置描点连线，画出准确的二次函数图象。 第三步：观察图象定位交点横坐标所在的区间，通过逐步缩小估计范围获得符合精度要求的数值，最终得到一元二次方程的近似解。 【典例4】某人画二次函数的图象时，列出下表（计算没有错误）： x y 根据此表判断：一元二次方程的一个根x1满足下列关系式（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.25 0.76 … A． B． C． D． 【变式4-2】方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-3】根据关于x的一元二次方程，可列表如下： x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 则方程的正数解满足（    ） A． B． C． D． 【模块五】图象法解一元二次不等式的方法 按以下三步完成： 第一步，先将待解的一元二次不等式整理为标准形式，使不等式右侧为0，对应得到目标二次函数y=ax2+bx+c，先根据a的正负判断抛物线开口方向，随后按要求画出该二次函数的完整图象。 第二步，求解对应一元二次方程ax2+bx+c=0的实根，即抛物线与x轴的交点横坐标：若判别式△=>0，方程有两个不相等的实根，对应抛物线与x轴有两个交点；若△==0，方程有一个重根，对应抛物线与x轴相切于顶点；若△=<0，方程无实根，对应抛物线与x轴没有交点。 第三步，结合图象位置与不等号方向确定不等式解集：当a>0时，若不等式为ax2+bx+c>0，解集为图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围；若不等式为ax2+bx+c<0，解集为图象位于x轴下方部分对应的x的取值范围。若a<0，可先将不等式两边同乘-1将二次项系数化为正，调整不等号方向后再按上述规则求解即可。 【典例5】如图为抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴的一交点为，则由图象可知，不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【变式5-1】抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式5-2】抛物线的部分图像如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式5-3】二次函数的部分图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【模块六】利用不等式求二次函数中参数 核心思路是将不等式对函数取值的约束，转化为抛物线与x轴的位置关系要求。 ①当题目给出二次函数在全体实数域上恒满足大于零或恒小于零的不等式要求时，可先由二次项系数的符号确定开口方向，再结合抛物线与x轴无交点的要求，得到判别式Δ<0的不等式，将其整理后即可求解得到参数的取值范围； ②若题目给出的是某一给定区间上的不等式要求，则需要结合抛物线对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，结合区间端点处的函数值符号列出对应不等式组，最终得到参数的合法取值。 【典例6】已知抛物线经过点，当时，，则m的值可能是（  ） A． B．0 C．1 D．2 【变式6-1】已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 … 若A（m，y1），B（m﹣1，y2）两点都在该函数的图象上，当m满足范围_____时，y1＜y2． 【变式6-2】．已知二次函数，当时，的取值范围是______． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（    ） A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6 C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6 专题攻坚·多题归一 【微专题一】根据两函数交点确定不等式的解集 首先将不等式整理为“左侧函数大于（或小于）右侧函数”的标准形式，接着在同一平面直角坐标系中正确画出两个对应函数的图象，找到两个函数图象的所有交点，再根据交点的横坐标将x轴划分为若干个区间，随后逐一观察每个区间内两个函数图象的上下位置关系：若不等式要求左侧函数大于右侧函数，则取所有左侧图象位于上方的区间，这些区间对应的x取值范围就是不等式的解集；若不等式要求左侧函数小于右侧函数，则取所有左侧图象位于下方的区间对应的x范围，即可得到最终解集。 【典例7】如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于x的不等式的解集为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式7-1】如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点A (，6)，B(7，2)，请你根据图象写出使成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【变式7-2】如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为(   ) A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3 【变式7-3】如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（    ） A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥ 【微专题二】抛物线与x轴交点的多结论问题 这类问题通常结合抛物线开口方向、对称轴位置、特殊点函数值，给出多个关于系数关系、函数值正负、方程根分布的结论，要求判断正确结论的个数，是二次函数客观题中的高频考查题型。 解决此类问题的核心思路是依托图象特征，结合二次函数系数与图象位置的对应关系逐一推导：先根据开口方向确定a的符号，再结合对称轴位置和a 的符号判断b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置确定 c 的符号，根据抛物线与x 轴的交点个数判断判别式△=的符号。再针对 x=m1 、 x=m2 这类特殊点对应的函数值，结合对称轴的取值范围、顶点纵坐标的范围，推导得到 a、b、c满足的各类不等关系与等量关系，最终逐一验证每个结论的正误即可。 【典例8】抛物线(a，b，c为常数)开口向下且过点，以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式8-1】．已知二次函数，若时，自变量的取值范围是则下列四个判断中，正确的个数是（    ） 不等式的解集为 方程的解为， A． B． C． D． 【变式8-2】抛物线的对称轴为，经过点，顶点为，下列四个结论： ①若，则； ②方程一定有两个不相等的实数解； ③若与异号，则抛物线与轴有两个不同的交点； ④设抛物线交轴于点，不论为何值，直线始终过定点． 其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①③ 【变式8-3】如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为3和1；④若点均在二次函数图象上，则；⑤（m为任意实数）． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 压轴拓展·素养提升 【压轴一】二次函数与元二次方程中的动点与最值问题 解题关键在于梳理动点的运动轨迹，通过数形结合将几何关系转化为代数表达式。我们通常可以先设出动点的坐标，再结合二次函数的性质，表示出题目中涉及的线段长度、图形面积等数量关系，进而构造出以动点参数为自变量的二次函数，最后结合参数的实际取值范围，利用二次函数的开口方向和对称轴位置求解最值，同时要注意分类讨论动点处于不同位置时的不同情况，避免漏解。这类问题能很好地锻炼我们的数形结合思想与分类讨论思想，是中考二次函数压轴题的常见考法。 【典例9】已知二次函数，其中m为实数． (1)试判断二次函数的图象与x轴的交点个数； (2)与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点M的横坐标为p，用含p的代数式表示点N的横坐标； (3)设二次函数图象的顶点为A，与y轴的交点为B．点P为线段上一动点，垂直于x轴，且交二次函数的图象于Q，求线段的最大值． 【变式9-1】如图，一条抛物线（m<0）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）．若点M、N的坐标分别为(0，—2)、(4，0)，抛物线与直线MN始终有交点，线段AB的长度的最小值为______． 【变式9-2】已知二次函数，，，． (1)若二次函数的图象经过A，B两点，求二次函数的解析式； (2)若二次函数图象与y轴正半轴有交点，试判断二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由； (3)若二次函数图象经过点C，设为二次函数图象上的一个动点，当时，点P关于x轴的对称点都在直线AB的下方，求m的取值范围． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，）的顶点为A，直线：（为常数，）． (1)直线必过一定点，则______，______． (2)求抛物线与轴的两个交点之间的距离； (3)当时，抛物线过点，且与直线的另一个交点为，其中，在抛物线上有一动点，当点在点、之间运动时，始终满足，求的值和的取值范围． 【压轴二】 新定义问题 a<0时，x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小。y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2平移得到，平移规律遵循“左加右减、上加下减”，可快速确定图象位置。 【典例10】定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-1】在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点，已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】规定：某一个函数图像上存在一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”． (1)函数__________“自反”函数（填：“是”或“不是”），如果是，求出这个函数的所有“反点”，如果不是，请说明理由； (2)若抛物线（为常数）上有且只有一个“反点”，求的值； (3)若抛物线（、为常数，）对于任意的常数恒有两个“反点”，求a的取值范围． 【变式10-3】规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P（2，4）在函数上，点Q（，）在函数上，点P与点Q关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”． (1)函数和函数是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由； (2)已知函数和互为“守望函数”，求n的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”； (3)已知二次函数与互为“守望函数”，有且仅有一对“守望点”，若二次函数的顶点为M，与x轴交于，，其中，，又，过顶点M作x轴的平行线l交y轴于点N，直线与y轴交点为点Q，动点E在x轴上运动，求抛物线上的一点F的坐标，使得四边形为平行四边形． 通关检测·实战演练 一 选择题 1．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(   ) A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝ 2．抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0 4.根据下列表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根为 ． 二 填空题 6.．若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是 7.已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 8.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是－3和1，若抛物线与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是，则点B的坐标是 ． 9.若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ． 10.．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有 个． 三解答题 11.已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)． (1)求m的值； (2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 12如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当0＜x＜3时，则y的取值范围． 13.如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点．连接，点是线段上方抛物线上的点，过点作轴垂线交于点，交轴于点．求线段的最大值． 14如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，求y的取值范围； (3)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 15若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”． (1)一个二次函数的“伴侣二次函数”有______ 个； (2)①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点； ②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”． (3)试探究a1与a2满足的数量关系． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $