2.1 有理数的加法与减法（考点变式培优讲义） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法核心知识点，系统梳理加法运算法则（同号、异号、与0相加）、运算技巧（化统一形式、结合符号相同数等），衔接减法法则（减变加相反数）及混合运算技巧，构建从基础到综合的学习支架。 资料以10类题型为框架，含例题与变式，注重生活应用（如微信零钱、快递车续航）和简便运算，培养运算能力与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过实例巩固，查漏补缺提升数学思维。

专题2.1 有理数的加法与减法（举一反三讲义） （新教材人教版） 3 5 7 10 13 15 17 19 23 26 知识点一：有理数的加法运算 1．有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【例】 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立． 2．加法运算技巧 （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； （2）符号相同的数可以先结合在一起； （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． 【例】 【题型1 有理数的加法运算】 【例1】与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】需注意绝对值等于的数有两个，分两种情况计算和. 【详解】解：∵绝对值等于的数是或， ∴当这个数为时，； 当这个数为时，， ∴所求的和为或. 【变式1-1】对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 【变式1-2】有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 【变式1-3】若，且，则等于（   ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和有理数的加法运算，先根据绝对值的性质求出a，b的值，再根据，得出所有符合条件的a，b的值，再列出算式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，可取或，均满足；当时，可取或，均不满足， ∴或， ∴或， 故选：C． 【题型2 有理数加法运算中的符号问题】 【例2】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-1】下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则判断各选项的正误，选出结论不正确的选项即可． 【详解】解：，，同号两数相加，取相同的符号， ∴， ∴A结论正确， ，，，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， ∴， ∴B结论正确； ，，同号两数相加，取相同的符号， ∴， ∴C结论正确； ，，，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， ∴， ∴D结论不正确． 【变式2-2】已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小，有理数加法，根据题意得到，进而根据有理数的大小比较法则分析得出结论即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【变式2-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，，，由b与c互为相反数，得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数， ∴，故选项A正确； 由数轴图可知，，，，故选项C正确； ∴，， 故选项B错误；选项D正确； 故选：B． 【题型3 有理数的加法在生活中的运用】 【例3】如图是李叔叔月日至日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，月日扫二维码付款给便利店后余额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据李叔叔月日至日扫码付款给超市元后的余额为元，所以李叔叔月日至日扫码付款给超市元之前的钱数即为月日扫二维码付款给便利店后余额，即为元． 【详解】解：李叔叔月日至日扫码付款给超市元后的余额为元， 月日扫二维码付款给便利店后余额为元． 故选：C． 【变式3-1】南北走向的潭州大道可视为数轴，自动换电站位于原点O．某智能无人快递车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天快递车依次接到7个派送订单，派送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：），快递车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在派送过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续派送．下列描述中，正确的有（   ） ①快递车在完成C点订单后，需返回换电站换电池； ②第一次回到换电站时，显示剩余续航； ③配送过程中，快递车可以只换1次电池； ④快递车完成所有订单后回到换电站，共行驶． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的距离计算与实际应用．通过计算各点间的距离，结合“单次续航”的限制，判断每个描述的正确性即可． 【详解】解：首先确定各点所表示的数：，，，，，，，，配送顺序为． 计算每段行驶距离：， ， ， ， ， ， ， ． ①从出发到，累计行驶，剩余续航．下一段需行驶，，续航不足， ∴必须返回换电站(返回距离)，故①正确； ②由①得第一次回到换电站时，显示剩余续航，故②错误． ③根据题意：第一次换电：完成点后返回(行驶)， 第二次换电：完成点后返回(行驶)， 第三次行程：(无需换电)． 需换电次即可完成所有订单，故③错误； ④分析“配送车完成所有订单后回到换电站，共行驶”： 总行驶距离为：第一次行程， 第二次行程， 第三次行程， 合计，故④正确． 综上，正确的描述为①④， 故选：B． 【变式3-2】我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算及古代算筹的表示规则，解题的关键是根据“正放表示正数、斜放表示负数”的规则确定图1中算筹对应的数． 先依据算筹的表示规则，确定图2中正放、斜放算筹对应的数，再列出加法算式计算结果． 【详解】解：根据题意，正放的算筹表示正数，斜放的表示负数： 图1中，正放的算筹有3根，表示； 图2中，斜放的算筹有4根，表示； 因此算式为． 故选 C． 【变式3-3】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时标记线对准的数是3，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转4个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的刻度线表示的数是“5”．一组开锁密码为“，，”，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是（  ） A．2 B． C．38 D．37 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的应用及有理数加法运算的应用，根据题意列出算式，然后再进行计算，根据结果的符号及绝对值即可判断锁打开时标记线对准的刻度线表示的数． 【详解】解：题意得，， 由结果知，锁打开时标记线对准的刻度线在“0”刻度线左侧2格，表示的数是38， 故选：C． 【题型4 有理数的加法运算率】 【例4】下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，运算律，根据有理数加法法则，运算律即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴第一步到第二步交换了加数的位置，使用了加法交换律；第二步到第三步改变了加法的分组方式，使用了加法结合律， ∴和代表的计算依据分别是加法交换律、加法结合律， 故选：． 【变式4-1】下列运算结果正确的个数为（   ） ①；     ②； ③；           ④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加法，根据有理数的加法法则逐一计算即可判断． 【详解】解：①，此小题计算正确； ②，此小题计算正确； ③，此小题计算正确； ④，此小题计算正确． 综上，四个运算均正确， 故选：A． 【变式4-2】计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式4-3】下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数加法的运算律，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，掌握加法的运算律是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 知识点二：有理数的减法运算 1．有理数的减法运算法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：． 【例】 2．有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照加法运算进行计算． 【例】计算： 解：原式 Step1：减号变加号，减数变相反 Step2：按照加法的运算步骤计算 3．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【题型5 有理数的减法运算】 【例5】一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，根据和点B表示的数求出点表示的数，再根据折叠可得点C为的中点，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点在的延长线上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为或． 【变式5-1】如图，数轴上的点A表示的数为有理数a，下列各数中在2，3之间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可以得到，然后即可得到各个选项中的式子的取值范围，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴，， ∴． 【变式5-2】某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据数轴上的长和直尺上的长，可求出数轴上一个单位长度在直尺上的长度是，再根据直尺上的长可求出数轴上的长，据此可得答案． 【详解】解：数轴上，直尺上，． ∴数轴上一个单位长度在直尺上的长度是， ∵直尺上，． ∴数轴上， ． ∴点对应的数是． 【变式5-3】若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 【题型6 有理数的减法的实际运用】 【例6】北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】白昼时长为日落时刻减去日出时刻，根据时分秒的60进制计算即可得到结果． 【详解】解：． 【变式6-1】如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 【答案】C 【分析】根据点B所表示的数，分两种情况进行讨论，当点A沿数轴向右移动和点A沿数轴向左移动时，列出式子，求出点A表示的数． 【详解】解：当点A沿数轴向右移动3个单位长度时，则A表示的数为：； 当点A沿数轴向左移动3个单位长度时，则A表示的数为． 【变式6-2】如图，数轴上的刻度对应不同城市的时区（单位：时），规定数轴正方向为东，时区数值越大表示当地时间越早，各城市对应的时区如图所示．则北京时间2026年1月5日20时对应的4个城市的时间中，正确的是（   ） A．巴黎时间2026年1月5日14时 B．伦敦时间2026年1月5日12时 C．纽约时间2026年1月5日6时 D．首尔时间2026年1月5日19时 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，有理数的加减的应用． 根据数轴上的国际标准时间得到北京时间与其它四个城市时间差即可得到答案． 【详解】解：A．巴黎在北京左侧个单位，，巴黎时间2026年1月5日时，原选项正确； B．伦敦在北京左侧个单位，，伦敦时间2026年1月5日时，原选项错误； C．纽约在北京左侧个单位，，纽约时间2026年1月5日时，原选项错误； D．首尔在北京右侧个单位，，首尔时间2026年1月5日时，原选项错误； 故选：A． 【变式6-3】某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表．根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为（   ） 2.1 0.8 1.5 1.6 A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查有理数的减法运算在实际问题中的应用，解题的关键是通过已知温度差的关系推导与的差值． 利用温度差的关系，将转化为已知的与的差，计算后比较大小判断温度关系． 【详解】解：因为， 已知， 所以， 由于，即，所以，关键是处比处高． 故选：B． 【题型7 有理数的混合运算】 【例7】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式7-1】计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型8 有理数加减中的简便运算 】 【例8】简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小题采用裂项相消法，将每个分数拆分为两个单位分数之差，中间项相互抵消后简化运算； （2）小题采用凑1拆分法，把每个真分数写成1减去一个单位分数，再结合等比数列裂项抵消计算剩余分数和． 【详解】（1）解： = = = =； （2）解： = = = = = = =． 【变式8-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-2】计算：． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再利用加法交换律与结合律将同分母分数结合，计算即可． 【详解】解： ． 【变式8-3】计算： (1)； (2) 【答案】(1)21 (2)5055 【分析】（1）把代分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加； （2）把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，计算分数部分的和时，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． 【详解】（1）解：方法： ； 方法2： ； （2）解： ． 【题型9 有理数加减混合运算的实际应用】 【例9】停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算停车时间，根据计费标准，解答即可； 【详解】解：∵ 停车费为24元，每小时收费8元， ∴停车时间为：小时. ∵ 半小时内免费，不足1小时按1小时计费， ∴ 实际停车时长满足2小时30分小时30分. A．小时45分，3小时45分小时30分，不符合. B．小时，2小时小时30分，不符合. C．小时20分，2小时30分小时20分小时30分，符合. D． 小时25分，2小时25分小时30分，不符合. 【变式9-1】在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，太阳高度达到最大值的时刻为正午时刻，且日出与日落关于正午对称，因此正午时刻是日出和日落时刻的平均值，计算即可得到结果． 【详解】解：∵日出、日落时刻关于正午对称，太阳高度最大值出现在正午， ∴正午时刻为日出时刻与日落时刻的平均值， ∵，， ∴当天太阳高度达到最大值的时间为． 【变式9-2】以“点亮上海”为主题的上海国际光影节刚刚落幕，其中的无人机表演令人惊艳．当无人机群到达同一高度的表演点位后，飞行控制员发出飞行指令：上升为正，下降为负（单位：米） A组无人机群的3个飞行指令记为：，，； B组无人机群的2个飞行指令记为：，． 若要求两组无人机群的第三个动作后的飞行高度相同，那么要如何调整B组的第3个飞行指令，上升还是下降？上升或下降多少米？ 【答案】B组的第3个飞行指令是下降，下降米 【分析】将A组无人机群的3个飞行指令的数值求和，再减去B组无人机群的2个飞行指令的数值即可． 【详解】解：由题意得： （米）， 答：B组的第3个飞行指令是下降，下降米． 【变式9-3】佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 【答案】(1)佳佳获胜 (2) (3)佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等 【分析】（1）分别计算两人互相抽取后，各人手中牌的总分，比较即可得出答案； （2）根据两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分要最高，则佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“7”，再列式计算即可； （3）根据两人手中牌的总分的和为，可得佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等，即可得出答案． 【详解】（1）解：互相抽取后，佳佳手中牌的总分为：， 琪琪手中牌的总分为：． ， 佳佳获胜； （2）解：∵两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳应抽取琪琪手中最大的牌，琪琪应抽取佳佳手中最小的牌， ∴当佳佳从琪琪手中抽取到“◆7”，同时琪琪从佳佳手中抽取到“7”时，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳手中牌的总分最高为：． （3）解：∵佳佳和琪琪手中的牌互换， ∴佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的和不变， ∵， ∴两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等（或佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分互为相反数）． 【题型10 省略加法和括号的形式】 【例10】将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【变式10-1】把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察所给的式子，要写成省略加号的形式，即是将式子中的括号去掉即可． 【详解】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号的法则：括号前是正号，去括号时，括号里面的各项都不改变符号；括号前是负号，去括号时，括号里面的各项都要改变符号是解题的关键． 【变式10-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)4 (6) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键． （1）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （2）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （3）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （4）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算； （5）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （6）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【变式10-3】平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键： （1）根据加法法则，省略掉括号即可； （2）根据有理数的加法法则进行计算即可； （3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； 故答案为：0； （3）原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 有理数的加法与减法（举一反三讲义） （新教材人教版） 3 5 7 10 13 15 17 19 23 26 知识点一：有理数的加法运算 1．有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【例】 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立． 2．加法运算技巧 （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； （2）符号相同的数可以先结合在一起； （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． 【例】 【题型1 有理数的加法运算】 【例1】与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【变式1-1】对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【变式1-2】有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【变式1-3】若，且，则等于（   ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 【题型2 有理数加法运算中的符号问题】 【例2】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，且，则 【变式2-2】已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 有理数的加法在生活中的运用】 【例3】如图是李叔叔月日至日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，月日扫二维码付款给便利店后余额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式3-1】南北走向的潭州大道可视为数轴，自动换电站位于原点O．某智能无人快递车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天快递车依次接到7个派送订单，派送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：），快递车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在派送过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续派送．下列描述中，正确的有（   ） ①快递车在完成C点订单后，需返回换电站换电池； ②第一次回到换电站时，显示剩余续航； ③配送过程中，快递车可以只换1次电池； ④快递车完成所有订单后回到换电站，共行驶． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【变式3-2】我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时标记线对准的数是3，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转4个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的刻度线表示的数是“5”．一组开锁密码为“，，”，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是（  ） A．2 B． C．38 D．37 【题型4 有理数的加法运算率】 【例4】下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 【变式4-1】下列运算结果正确的个数为（   ） ①；     ②； ③；           ④． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4-2】计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点二：有理数的减法运算 1．有理数的减法运算法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：． 【例】 2．有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照加法运算进行计算． 【例】计算： 解：原式 Step1：减号变加号，减数变相反 Step2：按照加法的运算步骤计算 3．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【题型5 有理数的减法运算】 【例5】一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】如图，数轴上的点A表示的数为有理数a，下列各数中在2，3之间的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【变式5-3】若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【题型6 有理数的减法的实际运用】 【例6】北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 【变式6-1】如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 【变式6-2】如图，数轴上的刻度对应不同城市的时区（单位：时），规定数轴正方向为东，时区数值越大表示当地时间越早，各城市对应的时区如图所示．则北京时间2026年1月5日20时对应的4个城市的时间中，正确的是（   ） A．巴黎时间2026年1月5日14时 B．伦敦时间2026年1月5日12时 C．纽约时间2026年1月5日6时 D．首尔时间2026年1月5日19时 【变式6-3】某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表．根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为（   ） 2.1 0.8 1.5 1.6 A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定 【题型7 有理数的混合运算】 【例7】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式7-1】计算： 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 【变式7-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【题型8 有理数加减中的简便运算 】 【例8】简便计算： (1)； (2) 【变式8-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-2】计算：． 【变式8-3】计算： (1)； (2) 【题型9 有理数加减混合运算的实际应用】 【例9】停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】以“点亮上海”为主题的上海国际光影节刚刚落幕，其中的无人机表演令人惊艳．当无人机群到达同一高度的表演点位后，飞行控制员发出飞行指令：上升为正，下降为负（单位：米） A组无人机群的3个飞行指令记为：，，； B组无人机群的2个飞行指令记为：，． 若要求两组无人机群的第三个动作后的飞行高度相同，那么要如何调整B组的第3个飞行指令，上升还是下降？上升或下降多少米？ 【变式9-3】佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 【题型10 省略加法和括号的形式】 【例10】将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式10-3】平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $