2.2.1 有理数的乘法 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦有理数乘法法则核心知识点，通过知识回顾（正数乘法意义、相反数、加法法则）搭建学习支架，系统推导“同号得正、异号得负”法则及0的乘法规律，延伸至多个有理数相乘的符号判定，结合运算律与典型例题实现知识应用。 该资料以“旧知引新知”构建知识逻辑，通过正数乘法到负数乘法的推导培养推理意识，结合水箱用水等实际问题渗透模型意识。例题分层覆盖基础与提升，易错点清单助力学生突破符号判断等难点，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺强化理解。

初中数学 · 七年级上册 · 第2.2.1节 有理数的乘法 讲义 2.2.1有理数的乘法 讲义 一、学习目标 1. 理解有理数乘法的法则，能正确确定积的符号和绝对值，掌握“同号得正、异号得负”的核心规律。 2. 能运用有理数乘法法则进行计算，包括正数、负数、零、分数、小数的乘法。 3. 理解并能证明乘法的交换律、结合律和分配律，并会用运算律简化计算。 4. 能利用有理数乘法解决实际问题，理解乘法的实际意义。 二、知识回顾（新知识的基石） 1. 正数乘法的意义 乘法是同个数连续相加的简便运算。例如 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12，表示 4 个 3 相加。 2. 相反数的概念 另一个数的相反数：符号相反、绝对值相同的两个数互为相反数。例如 5 和 -5 互为相反数。 3. 有理数加法法则回顾 同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的数的符号，用大的绝对值减去小的绝对值。 三、有理数乘法法则（重中之重） 1. 核心法则（两数乘法） 两数乘法，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 用字母表示：若 a、b 为任意两个有理数，则 a × b = (-a) × (-b) 的绝对值部分，符号由两数符号决定。 四种情形一览： ① 正 × 正 = 正。例：3 × 5 = 15。 ② 负 × 负 = 正。例：(-3) × (-5) = 15。 ③ 正 × 负 = 负。例：3 × (-5) = -15。 ④ 负 × 正 = 负。例：(-3) × 5 = -15。 同号得正，异号得负；绝对值相乘，符号看两因。 2. 乘法法则的推导 从正数乘法的意义出发：3 × 2 = 6，表示 2 个 3 相加。 如果其中一个因数变为负数：3 × (-2) 表示什么？根据规律应得 -6，可以理解为“反向相加”——(-3) + (-3) = -6。 如果两个因数都是负数：(-3) × (-2) 表示什么？根据规律应得 6。这可以从“负负得正”的观点理解：一个负数的相反数是正数，两次取反就回到正数。 推导思路：正数乘法 → 一负一正 → 两负相乘，逐步推广，体会“负负得正”的合理性。 3. 任一因数为 0 的情形 任何数与 0 相乘，积为 0 例如：5 × 0 = 0，(-3) × 0 = 0，0 × 0 = 0。 原因：不论多少个 0 相加，结果仍然是 0。同理，0 的相反数还是 0，因此 0 × 0 = 0。 有理数乘法中，只要有一个因数为 0，积就为 0！ 4. 多个有理数相乘的符号规律 当多个有理数相乘时，符号由负因数的个数决定： 负因数个数为偶数 → 积为正数 负因数个数为奇数 → 积为负数 例如：(-2) × (-3) × (-4) 中有 3 个负因数（3是奇数），所以积为负数。先算 2×3×4=24，再加符号得 -24。 又如：(-1) × (-2) × (-3) × (-4) 中有 4 个负因数（4是偶数），积为正数。绝对值 1×2×3×4=24，符号为正，结果 24。 四、典型例题精讲（基础篇） 例题1（基础计算） 计算：(1) (-3) × 4；(2) (-5) × (-2)；(3) 6 × (-7)；(4) 0 × (-8)。 解：(1) 异号得负，3×4=12，结果 -12。(2) 同号得正，5×2=10，结果 10。(3) 异号得负，6×7=42，结果 -42。(4) 有一因数为 0，结果 0。 关键：先定符号，再算绝对值，最后合并。这是有理数乘法的基本步骤，必须养成习惯。 例题2（分数乘法） 计算：(1) (-2/3) × (3/4)；(2) (- ) × (-12)。 解：(1) 异号得负，绝对值相乘：() × () = = ，加符号得 - 。 (2) 同号得正，绝对值相乘：() × 12 = = 10，符号为正，结果 10。 技巧：分数乘法先约分再计算，可以简化运算。例如 ()×12 中 6 和 12 先约分得 ()×2 = 10。 例题3（小数乘法） 计算：(1) (-0.3) × 0.4；(2) (-1.5) × (-0.2)。 解：(1) 异号得负，0.3×0.4=0.12，结果 -0.12。(2) 同号得正，1.5×0.2=0.3，结果 0.3。 技巧：小数乘法可以先当整数算，再数小数点后面的位数。-0.3 × 0.4 → 3×4=12，共 2 位小数→ 0.12。 例题4（带拆号的乘法） 计算：(1) -3 × 4；(2) (-2) × (-5)。 解析：注意 -3 × 4 与 (-3) × 4 的写法差异。-3 × 4 中，负号属于 3，即 (-3) × 4 = -12。写法不同但意思相同。 答：(1) -3 × 4 = -12。(2) (-2) × (-5) = 10。 -3 × 4 与 (-3) × 4 意义相同，拆号仅仅是为了明确负号的归属！ 五、乘法运算律（简化计算的利器） 1. 交换律 a × b = b × a 两个数相乘，乘换因数的位置，积不变。例如 (-3) × 5 = 5 × (-3) = -15。 应用：乘法交换律对有理数仍然成立。这意味着我们可以随意交换因数位置来简化计算。 2. 结合律 (a × b) × c = a × (b × c) 三个数相乘，先乘前两个数或先乘后两个数，积不变。 例如：[(-2) × 3] × (-5) = (-6) × (-5) = 30；(-2) × [3 × (-5)] = (-2) × (-15) = 30。结果相同。 应用：选择计算更简便的组合。例如 25 × (-4) × (-3) 可以先算 25×(-4)=-100，再×(-3)=300；或先算 (-4)×(-3)=12，再 25×12=300。 3. 分配律 a × (b + c) = a × b + a × c 一个数与两个数的和相乘，等于它分别与这两个数相乘后的和。 例如：(-3) × (2 + 5) = (-3) × 7 = -21；分别乘：(-3)×2 + (-3)×5 = -6 + (-15) = -21。结果一致。 应用：分配律可以把复杂计算化简。例如 99 × (-5) 可以写成 (100-1) × (-5) = 100×(-5) - 1×(-5) = -500 - (-5) = -500 + 5 = -495。 分配律对加法也成立：a × (b - c) = a × b - a × c。例如 (-4) × (3 - 2) = (-4)×1 = -4；分别算：(-4)×3 - (-4)×2 = -12 - (-8) = -12 + 8 = -4。 4. 三大运算律对比 交换律：改变因数顺序，积不变。适用于两因数。 结合律：改变运算分组方式，积不变。适用于三因数及以上。 分配律：乘法对加法的分配，把复杂运算化简。适用于一个因数与和相乘。 交换看顺序，结合看分组，分配看拆拍——三大运算律各有妙用。 六、典型例题精讲（提升篇） 例题5（多个因数相乘的符号判断） 判断下列算式积的符号：(1) (-2)×(-3)×(-4)；(2) (-1)×(-2)×(-3)×(-5)；(3) (-1)×2×(-3)×4×(-5)。 解：(1) 3个负因数（奇数）→ 负。绝对值 2×3×4=24，结果 -24。 (2) 4个负因数（偶数）→ 正。绝对值 1×2×3×5=30，结果 30。 (3) 3个负因数（-1、-3、-5，奇数）→ 负。绝对值 1×2×3×4×5=120，结果 -120。 技巧：不用一步步算，先数负因数个数，决定符号，再算绝对值。 例题6（运算律简化计算） 计算：(1) (-25) × (-4)；(2) (-125) × (-8)；(3) 99 × (-13)。 解：(1) 同号得正，25×4=100。答案 100。 (2) 同号得正，125×8=1000。答案 1000。（常用结论：25×4=100，125×8=1000，建议背识） (3) 用分配律：99 × (-13) = (100-1) × (-13) = 100×(-13) - 1×(-13) = -1300 + 13 = -1287。 关键：灵活运用运算律可以大幅简化计算，避免繁琐的算术运算。 例题7（带分数的简化计算） 计算：(- ) × (- ) × (- )。 解：先看符号——3个负因数（奇数）→ 结果为负。 绝对值相乘：() × () × ()。约分：5与5约掉，12与6约分得 2与1，再与3/4相乘→ ()×()×() = = 。 加上符号得 - 。 技巧：多个分数相乘时，先约分再计算，可以大幅简化。约分时分子分子约、分母分母约。 例题8（实际应用问题） 一个水箱每天消耗 2.5升水，如果收入不足，每天需要购买 2.5升水，每升水3元。该水箱使用 30 天，共需要多少元？ 解：每天费用 = 2.5 × 3 = 7.5 元。 30天总费用 = 7.5 × 30 = 225 元。 答：共需要 225 元。 变式：如果每天节约 0.5升水，实际每天用 2 升，则 30天总费用 = 2 × 3 × 30 = 180 元，节约 45 元。 七、易错点与难点突破 1. 符号判断错误 错误示例：(-3) × (-5) = -15。正确答案：(-3) × (-5) = 15（同号得正）。 防范：先口诉法则“同号得正、异号得负”，再下笔计算。可以用“负负得正”口诀帮助记忆。 2. 忘记有 0 的情况 错误示例：0 × (-5) = -5。正确答案：0 × (-5) = 0。 防范：任何数与 0 相乘都得 0，这是乘法的基本性质，不可忘记。 3. 多个负因数相乘时符号错误 错误示例：(-2) × (-3) × (-4) = 24。正确答案：(-2) × (-3) × (-4) = -24（3个负因数，奇数，结果为负）。 防范：数清楚负因数的个数，奇数个负因数→ 负；偶数个负因数→ 正。 4. 分配律使用时符号错误 错误示例：(-3) × (4 - 2) = (-3)×4 - 2 = -12 - 2 = -14。正确答案：(-3) × (4-2) = (-3)×4 - (-3)×2 = -12 - (-6) = -12 + 6 = -6。 原因：分配律中，a × (b - c) = a×b - a×c，第二项也要乘 a，不能只减 c。 分配律的关键：要分配就得全部分配，每一项都要乘以因数！ 5. 约分时忘记约分 错误示例：() × () = = 。这是正确的，但如果不约分直接算也可以。更好的做法：()×() = = ，或提前约分：2与4约分得 1与2，3与3约分得 1与1，结果 。 防范：多个分数相乘时，先在分子与分母之间约分，可以大幅简化计算。 八、知识总结（必背清单） 两数乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘 任何数 × 0 = 0 多个负因数：偶数个负→正；奇数个负→负 交换律：a×b = b×a 结合律：(a×b)×c = a×(b×c) 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c 同号得正，异号得负；符号看负因数个数，奇负偶正。 — 第 页 — 学科网（北京）股份有限公司 $