02讲 有理数及其大小比较 预习讲义 2026-2027学年新版人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数及其大小比较核心内容，系统梳理有理数的概念及分类、数轴、相反数、绝对值等知识点，构建从概念到几何表示再到性质应用的完整学习支架，助力学生逐步掌握有理数大小比较方法。 资料以知识点与考点结合为特色，通过基础巩固题与考点例题分层训练，融入新定义集合、数轴动点等问题，培养抽象能力、几何直观和推理意识。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用与迁移能力。

第一章 有理数 02讲 有理数及其大小比较目录 【知识点1. 有理数的相关概念及分类 1】 【知识点2. 数轴 6】 【知识点3. 相反数及其多重符号的化简 9】 【知识点4. 绝对值及比较大小 11】 【知识点5. 有理数的大小比较方法 13】 【考点1. 有理数的相关概念 16】 【考点2. 有理数的分类 18】 【考点3. 有理数中的新定义集合 22】 【考点4. 数轴的三要素及其画法 24】 【考点5. 数轴上的点与有理数 26】 【考点6. 数轴上两点之间的距离 28】 【考点7. 数轴上的动点问题 30】 【考点8. 求一个数的相反数 31】 【考点9. 相反数的性质 33】 【考点10. 相反数的几何意义 35】 【考点11. 相反数中多重符号化简 37】 【考点12. 求一个数的绝对值 39】 【考点13. 绝对值的非负性 40】 【考点14. 绝对值的几何意义 42】 【考点15. 绝对值中求最值问题 46】 【考点16. 利用数轴比较有理数的大小 49】 【考点17. 利用法则比较有理数的大小 52】 【课后作业 54】 知识清单：有理数的相关概念及分类 1、有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 整数和分数统称为有理数。 4）无理数：无限不循环小数称为无理数。如：π，0.1010010001…… 注意：在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数。 2、有理数的分类 1）按有理数的定义分： 2）按有理数的性质（符号）分： 3、 非正数 非负数 非正整数 非负整数 常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是正数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 巩固基础 1．在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据整数和分数统称有理数，无限循环小数属于有理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限循环小数，可化为分数，属于有理数； 则有理数共有2个． 2．下列说法中，正确的是（   ） A．不是有理数 B．有理数不是整数就是分数 C．在有理数中有最小的数 D．是有理数，则一定是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数定义和性质，有理数是整数和分数的统称，有理数没有最小的数，也没有最大的数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0是有理数，原说法错误，不符合题意； B、有理数不是整数就是分数，原说法正确，符合题意； C、在有理数中没有最小的数，原说法错误，不符合题意； D、是有理数，则不一定是负数，例如时，是正数，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．有理数包括所有整数和所有小数 B．正数和负数统称为有理数 C．整数分为正整数和负整数 D．所有的正有理数都可以写成正分数的形式 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数分为整数和分数，又分为正有理数，负有理数和0，整数分为正整数，负整数和0，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、有理数包括所有整数和所有有限小数和无限循环小数，不包含无限不循环小数，原说法错误，不符合题意； B、正有理数，负有理数和0统称为有理数，原说法错误，不符合题意； C、整数分为正整数，负整数和0，原说法错误，不符合题意； D、所有的正有理数都可以写成正分数的形式，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4．把下列各数填入表示它们所在的数集的大括号里： ，，，0，2023，，，． 正数集｛                  …｝； 负数集｛                  …｝； 整数集｛                  …｝； 有理数集｛                  …｝． 【答案】，，，；，，；，，；，，，，，， 【分析】本题考查有理数的分类；理解有理数的分类是解题的关键．根据有理数分类处理即可． 【详解】解：正数集｛，，，…｝； 负数集｛，，…｝； 整数集｛，，…｝； 有理数集｛，，，，，，…｝． 5．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛______ ｝…； 正整数集合：｛_____ _｝…； 分数集合：｛______ ｝… 【答案】；； 【分析】本题考查了有理数定义及其分类， 根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：负数集合为：； 正整数集合为：； 分数集合为：； 故答案为：； ； . 6．把下列各数填入它所属的集合内：，，，，，，，，． （1）自然数集合：{________ …}； （2）分数集合：{_______ _…}； （3）有理数集合：{_______ _…}． 【答案】 ， ，，，， ，，，，，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握分类标准，准确分类是解题的关键． （1）根据0和正整数称作自然数，选择填写即可； （2）根据分数的定义，选择填写即可； （3）整数、分数统称有理数，选择填写即可． 【详解】解：，， （1）根据题意，自然数集合：{， }； （2）根据题意，分数集合：{，，，，}； （3）根据题意，有理数集合：{，0，，，，，，}； 故答案为：（1），；（2），，，，；（3），0，，，，，，． 知识清单：数轴 1、数轴 1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…． 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 4）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 巩固基础 1．下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A． 单位长度不同， 该选项错误，不符合题意； B． 负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意； C． 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D． 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置关系，通过点A表示的数以及A、B两点间的距离来确定点B表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴从数轴上可以看出点A到点B的距离是4个单位长度， ∵点B在点A右侧， ∴点B表示的数比点A表示的数大4，即． 3．如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（    ） A． B． C．11 D．3 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置选择即可． 【详解】解：由图可知雪容融所在点在和0之间， 故选B． 4．数轴上原点右边4厘米处的点表示的有理数是32，那么数轴上原点左边10厘米处的点表示的有理数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴及有理数在数轴上的表示，熟练掌握数轴的知识是解答本题的关键．先求出单位长度，根据厘米表示个单位，求出这个数的绝对值，再根据原点左侧表示的是负数，即可求出这个有理数． 【详解】解：数轴上原点右边厘米处的点表示的有理数是， 数轴的单位长度是厘米， 厘米表示个单位， ， 数轴上原点左侧的数为负数， 该有理数为， 故答案为：． 5．数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 __________． 【答案】 8 【分析】本题考查数轴上的点的距离，根据数轴上两点间的距离公式，距离等于两点所表示的数的差的绝对值直接求解即可． 【详解】解：数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ． 故答案为：8． 6．如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有________个． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有0，1，共2个， 故答案为：2． 知识清单：相反数及其多重符号的化简 1、相反数 1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 2）相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 2、多重符号的化简 1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 巩固基础 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的相反数是． 2．的相反数是（    ） A． B． C．2026 D． 【答案】C 【详解】解：的相反数是． 3．0的相反数是_________． 【答案】0 【详解】解：的相反数是． 4．（1）_______；（2）_______；（3）_______． 【答案】 【分析】本题考查多重符号化简，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：；；． 5．化简符号：___________． 【答案】 【详解】解：． 6．若与互为相反数，则___． 【答案】6 【分析】本题考查相反数的概念，掌握好相关知识是关键． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：6． 知识清单：绝对值及比较大小 1、绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：， 或， 或。 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 2、绝对值比较大小 1）正数＞0负数 2）正数之间比较大小：绝对值大的大 3）负数之间比较大小：绝对值大的反而小 归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ； ②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ； ④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ； ⑥绝对值最小的负整数是： -1 。 巩固基础 1．绝对值等于5的数是（    ） A．5 B． C．5或 D．0 【答案】C 【详解】解：绝对值等于5的数是5或． 2．的相反数是（     ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【详解】解：，7的相反数是， ∴的相反数是． 3．若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【详解】解：∵ ， 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； ∴，即x为非正数． 4．________． 【答案】16 【详解】解：． 5．若，则 ____． 【答案】 【详解】解：， ． 6．已知，，则x的值为______，y的值为______． 【答案】 【分析】若一个数的绝对值为正数，则这个数为． 【详解】解：已知，可得． 已知，可得． 7．比较大小：_____． 【答案】 【分析】先对两个数进行化简，再根据两个负数比较大小的法则，通过比较绝对值的大小得到最终结果． 【详解】解：，， 计算两个数的绝对值：，， ，即， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得， 即． 8．用“”号连接：，，；________． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的大小比较，多重符号的化简，熟练掌握化简方法是解题关键． 先化简每个表达式，再比较数值大小． 【详解】解：，，， ， ， ∴， 故答案为：． 知识清单：有理数的大小比较方法 1、有理数的大小比较方法 1）数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小。 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2）法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 其他数与0 正数与0：正数＞0 负数与0：负数＜0 注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： 1）分别计算两数的绝对值；2）比较绝对值的大小；3）判定两数的大小． 巩固基础 1．下列各数中，比小的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴比小的数是． 2．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数大小比较法则即可求解，负数小于0和正数，两个负数比较，绝对值更大的数更小． 【详解】解：∵根据有理数大小比较法则，所有负数小于0，0小于正数 ∴排除正数A选项的和C选项的，只需比较两个负数和 ∵，，且 ∴ 可得四个数大小关系为 ∴最小的数是． 3．比较大小：______（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，两个负数比较大小，先计算两个数的绝对值，再根据“绝对值大的数反而小”判断即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴． 4．比较大小：______（用“>或＝或<”填空）． 【答案】> 【分析】根据两个负数比较大小的法则，绝对值较大的数反而小，进行比较即可． 【详解】解：，，， ． 5．比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 6．比较大小： _____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较知识点，涉及负数比较大小的规则（两个负数比较大小，绝对值大的反而小）以及的近似值（）．解题关键是先比较它们绝对值的大小，再根据负数比较大小的规则得出结果，易错点是混淆正数和负数比较大小的规则，误将负数的大小关系与正数的大小关系等同． 要比较和的大小，首先回忆的近似值，明确与的大小关系，然后根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”这一规则，通过比较它们绝对值的大小，进而得出这两个负数的大小关系． 【详解】， ． ． 故答案为：． 7．比较大小：__________．(用，“”或“”填空) 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，根据有理数大小比较，两个负数绝对值大的反而小的方法判断即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 直击考点 【考点1：有理数的相关概念】 例1．下列说法正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．整数和分数统称有理数 C．一个数的绝对值一定是正数 D．绝对值等于它本身的数是,0和1 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义与绝对值的性质，根据相关基础概念逐一判断选项即可． 【详解】解：0是整数，故A选项说法错误； 有理数的定义为整数和分数统称有理数，故 B选项说法正确； 的绝对值是0，0不是正数，故C选项说法错误； 所有非负数的绝对值都等于它本身，故D选项说法错误． 综上，选B． 例2．王叔叔只记得李叔叔的电话号码是76045□□，还记得最大数字是7，各个数字又不重复．王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打______次． 【答案】6 【分析】本题考查了整数的认识，解题的关键是根据题意得出□的数字只能是1、2、3． 【详解】解：∵最大数字是7，各个数字又不重复， ∴□的数字只能是1、2、3， ∴剩下两个数字可能是12、13、21、23、31、32， 共6种情况， ∴最多要试打6次， 故答案为：6． 变式1．在π，，，，这几个数中，有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在π，，，，这几个数中， 有理数为：，，，共有3个． 变式2．中国古代用算筹来记数，算筹的摆放有纵横两种形式（如下表）： 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，以此类推．在个位数算筹上面斜着放一支算筹表示负数．例如：“”表示＋238，“”表示．由此可知“”表示的数是（    ） A．6028 B． C．6208 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据题中新定义求解即可． 【详解】 解：由题意得，“”表示的数是， 故选：D． 变式3．在，5，，，，中，有理数有_____个 【答案】4/四 【分析】本题考查有理数，包括有限小数与无限循环小数，熟知有理数的分类是解答的关键． 根据有理数是整数和分数的统称求解即可． 【详解】解：在中，有理数是，，共4个， 故答案为：4． 变式4．最大的负整数是________；最小的自然数是_______． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了有理数，根据有理数的分类和性质逐项分析即可； 【详解】解：最大的负整数为，最小的自然数为． 故答案为 【考点2：有理数的分类】 例1.将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                  } 整数集合：{                  } 负有理数集合：{                  } 正分数集合：{                  } 【答案】 正数集合： 整数集合： 负有理数集合： 正分数集合： 【分析】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可． 【详解】略 例2.将下列各数填在相应的括号里： 、5、、、、0、102、、、 分数集合：{ }； 非正有理数集合：{ }； 负数集合：{ } 【答案】； ； 【详解】解：分数集合：； 非正有理数集合：； 负数集合： 例3.把下列各数填在相应的集合中：，，，，，，，，0，，， 正数集合{                                   } 负分数集合{                                   } 非负整数集合{                                  } 有理数集合{                                   } 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，熟知各类数的特点及定义是正确解答此题的关键． 正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数，根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类，然后即可求解． 【详解】解：正数集合； 负分数集合； 非负整数集合； 有理数集合； 变式1.把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶ ． 正数：{_____________________________}； 负分数∶ {____________________________________} 负整数：{______________________}； 整数∶ {____________________________________} 【答案】；；； 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：正数：{}； 负分数∶ {}； 负整数：{}； 整数∶ {}． 变式2.把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ } ； 负分数：{ }； 正有理数：{ } ． 【答案】0，；，，； ，，，2.56 【详解】解：非正整数：{0，} 负分数：{，，} 正有理数：{，，，2.56} 变式3.把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【答案】，，；，，；， 【分析】根据有理数的分类进行逐个分析，即可得答案． 【详解】解：分数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，…}； 非负整数集合：{，，…}． 变式4.把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 【答案】(1)，， (2)，，，， (3)，， (4)，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类， （1）根据正数的定义，逐一分析各数即可； （2）根据负数的定义，逐一分析各数即可； （3）根据整数的定义，逐一分析各数即可； （4）非负有理数是正有理数和零的统称，据此即可获得答案． 【详解】（1）解：正数集合｛，，，…｝ （2）负数集合｛，，，，，…｝ （3）整数集合｛，，，…｝ （4）非负有理数集合｛，，，，…｝ 变式5.把下列各数填入它所在的集合内： ． 正有理数集合：{                      …}； 负有理数集合：{                      …}； 整数集合：{                      …}； 负分数集合：{                      …}． 【答案】； ； ； 【分析】本题考查了运用有理数的概念进行分类的能力，关键是能准确理解并运用．根据有理数的概念进行分类即可． 【详解】解：正有理数集合：； 负有理数集合：，； 整数集合：； 负分数集合：． 故答案为：； ； ； ． 【考点3：有理数中的新定义集合】 例1．我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 【分析】（1）根据有理数的概念求解即可；（2）根据题目中给出的运算方法； （3）根据有理数的概念求解即可． 【详解】（1）由解题过程可知，无限循环小数是有理数，故答案为：是； （2）设，则，即，故，即，解得，即； （3）在中，属于非负有理数的是，0，，， 故答案为：，0，，． 例2. 把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（　　） A．23 B．24 C．24或25 D．26 【分析】由黄金集合的定义，可知一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x，则这两个整数的和为x+100﹣x＝100，只需判断1180＜m＜1260内100的个数即可求解． 【解答】解：在黄金集合中一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x， ∴两个整数的和为x+100﹣x＝100，由题意可知，1180＜m＜1260时， 100×12＝1200，100×13＝1300，1250+50=1250＜1260，且100﹣50＝50， ∴这个黄金集合的个数是24或25个； 故选C． 变式1. 把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可． （2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合． 【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合． ∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合． （2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6， ∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合． （3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件． 变式2. 阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合． 例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合． （1）集合{﹣4，8}　 　（填“是”或“不是”）对偶集合． （2）集合是否是完美对偶集合？请说明理由. 【分析】（1）依据一个集合满足：如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+2也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合，即可得到结论； （2）根据在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，即可得到结论； 【解答】解：（1）因为﹣4+12＝8，所以集合{﹣4，8}是对偶集合，故答案为：是； （2）不是；理由如下： 因为，所以是对偶集合， 又因为，所以不是完美对偶集合； 【考点4：数轴的三要素及其画法】 例1.下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． 例2.下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 变式1.下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度； 【详解】解：选项A：没有画出正方向，不符合要求，错误； 选项B：没有标出原点，不符合要求，错误； 选项C：到0的单位长度和0到1、1到2的单位长度不一致，单位长度不统一，错误； 选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴． 变式2.下列关于数轴的图示，画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、单位长度不统一，故选项错误； B、正方向不符合习惯，故本选项错误； C、没有正方向，故本选项错误； D、画法正确，故本选项正确． 变式3.关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 变式4.在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】见解析 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】解：如图： 【考点5：数轴上的点与有理数】 例1.如图，在数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点的位置，概略确定该点对应数轴上点的数值即可． 【详解】解：点M在和之间， 只有符合， 故选：C． 变式1.如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ） A．0.5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由图可得，手掌遮挡住的点表示的数在至0之间， 而， 所以只有B选项符合题意． 故选：B． 变式2.一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨渍盖住的整数个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查数轴和整数的认识，掌握数轴上数的特点是本题的关键．和1之间的整数是，和0，故墨渍盖住了3个整数． 【详解】解：∵和1之间的整数是，和0， ∴墨渍盖住的整数个数是3． 故选：B． 变式3.写出数轴上在与之间的所有整数_______． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大求解即可． 【详解】解：在与之间的所有整数有：． 故答案为：． 【考点6：数轴上两点之间的距离】 例1.在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，用右侧点表示的数减去左侧点表示的数即可求解 【详解】解：∵在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是． 故选：A 例2.已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，设点表示的有理数为，则，解得或，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点表示的有理数为，则， 解得或， 故答案为：或． 变式1.在数轴上 ，若点A表示的数是 ，则与点A相距2个单位长度的点B表示的数是 （ ） A．5或 B．1或 C．1或 5 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上两点间距离的定义，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离． 根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是， ∴与点A相距2个单位长度的点表示的数为或． 故选：D． 变式2.已知数轴上，两点分别表示，6．若在数轴上找一点，使得点与点的距离为4；找一点，使得点与点的距离为1．下列不可能为点与点的距离的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，可以用几何方法借助数轴来求解，熟悉相关性质是解题的关键．将点、、、在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算的长度． 【详解】解：根据题意，点与点在数轴上的位置如图所示： 在数轴上使的距离为的点有两个：、 数轴上使的距离为的点有两个：、 ∴ ①与的距离为：； ②与的距离为：； ③与的距离为：； ④与的距离为：； 综合①②③④，可知与的距离可能为：、、、． 故选：A． 变式3.将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上，以长作为该数轴的单位长度，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上“”和“”，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间距离公式．根据题意可知，数轴上1个单位长度为，由此可得，据此即可求出的值． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：． 变式4.在数轴上有三个点A、B、C，且点A到点B的距离是5个单位长度，若点B表示的数是，点C表示的数是，则点A到点C的距离为______． 【答案】2或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据点B表示的数和点A到点B的距离，求出点A表示的数有两种可能，再结合点C表示的数，计算点A到点C的距离 【详解】解：∵点B表示的数为，点A到点B的距离为个单位长度， 因此点A表示的数为或． 又∵点C表示的数为2， 故点A到点C的距离为或． 故答案为2或8 【考点7：数轴上的动点问题】 例1.数轴上的点表示，将点向右平移个单位后，再向左平移个单位到点，那么点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，根据数轴上向右平移加，向左平移减，计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵点表示，向右平移个单位得，再向左平移个单位得， ∴点表示的数为． 故选：A． 变式1.在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，以及利用数轴表示有理数，根据图像得到点表示的数，再结合题意得到点所表示的数，即可解题． 【详解】解：由图知点表示的数为， 将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为， 故选：B． 变式2.如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．先求出点A表示的数，然后分两种情况求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6， ∴点A表示的数为：， 当点A在数轴上向右移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 当点A在数轴上向左移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 故选：C． 变式3.在数轴上，点所表示的数是，将点向左平移5个单位长度得到点，则点所表示的数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上点的平移，掌握数轴上点的平移：向左平移，表示的数减小，向右平移，表示的数增大是解题的关键． 点A在数轴上向左平移5个单位长度，据此列式计算即可． 【详解】解：点所表示的数是，将点向左平移5个单位长度得到点，则点所表示的数是． 故答案为：． 【考点8：求一个数的相反数】 例1.的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，解题的关键是掌握该定义． 依据相反数的定义即可求解，即只有符号不同的两个数，叫做互为相反数． 【详解】解： 的相反数是， 故选：B． 例2.a的相反数是，则________． 【答案】5 【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义，的相反数是，即可求解． 【详解】解：a的相反数是 ，则， 故答案为：． 变式1.如果实数与互为相反数，那么是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，利用互为相反数的两个数的性质求解即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵实数与互为相反数， ∴， 故选：． 变式2.下列各组数中，互为相反数的有（    ） ①与；②与；③与． A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】先根据去括号法则化简每组中的两个数，再依据“只有符号不同两个数互为相反数；特别的，0的相反数为0”的定义，逐一判断每组数是否互为相反数，最后统计符合条件的组数． 【详解】①∵，∴与是同一个数，不是相反数， ②∵，∴与只有符号不同，互为相反数，即：与互为相反数， ③∵，∴与只有符号不同，互为相反数，即：与互为相反数． 综上，②③两组数互为相反数，共有组． 变式3.据史料记载，最早认识和使用负数的国家是中国，这比西方早了一千多年．负数的相反数是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，依据只有符号不同的两个数互为相反数的概念即可求解． 【详解】解：∵互为相反数的两个数符号不同且绝对值相等， ∴的相反数是5． 故选B． 变式4.6的相反数是__________． 【答案】 【分析】直接根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：6的相反数是． 变式5.的相反数是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行分析，即可作答． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 【考点9：相反数的性质】 例1.两个有理数的和为0，则这两个数（　　） A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个为0 D．一正一负 【答案】B 【分析】此题考查相反数的性质：两个相反数的和为零，据此解答 【详解】解：两个有理数的和为0，则这两个数互为相反数， 故选：B 变式1.如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的意义．根据正方体的表面展开图，找出相对面，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知：与相对，与相对， ∵正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ∴，， ∴，， ∴ 故选：D． 变式2.若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 移项合并得：， 故选：B． 变式3.如果和互为相反数，且，那么为______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的除法、相反数的性质，掌握有理数的除法法则、相反数的性质是解题的关键． 根据有理数除法的运算法则及相反数的性质可求解． 【详解】解：和互为相反数，， ， ∴ ∵ ， 故答案为：． 【考点10：相反数的几何意义】 例1.数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出m和1互为相反数是解决问题的关键． 由数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，可得m和1互为相反数，由此即可求得的值． 【详解】解：∵数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等， ∴m和1互为相反数， ∴． 故选：D． 例2.数轴上，若A，B表示互为相反数的两个数且A在B的右侧，并且这两点的距离为9，则点B表示的数是____． 【答案】 【分析】根据相反数的意义可得A，B两点到原点的距离相等，即可求解． 【详解】解：A，B表示互为相反数的两个数， ∴A，B两点到原点的距离相等， ∵A在B的右侧，并且这两点的距离为9， ∴点B表示的数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，数轴上两点间的距离，根据题意得到A，B两点到原点的距离相等是解题的关键． 变式1.小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的特点．先根据题意画出数轴，便可直观解答． 【详解】解：向右移动6个单位长度，正确画数轴为： 故选：A． 变式2.如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可． 【详解】点表示的数为x， 表示的数是， 点和点A表示的数互为相反数， 点所表示的数是， 故选：． 变式3.如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是_____个．   【答案】3 【分析】本题考查了数轴、相反数的几何意义，解决本题的关键是判断出原点的位置． 先利用相反数的几何意义确定原点为线段的中点，再根据原点右边的数为正数进行判断解答即可． 【详解】解：点M，N表示的有理数互为相反数， ∴原点O在的中点处，如图， ∴图中在原点O右边的数为正数的点是P、N、Q三个点． 故答案为：3． 【考点11：相反数中多重符号化简】 例1.的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数定义，熟记相反数定义是解决问题的关键． 先化简符号，再利用相反数的定义求解即可得到答案． 【详解】解：， 的相反数是， 故选：C． 例2.___________． 【答案】7 【分析】此题考查了多重符号的化简．从内向外逐步化简即可． 【详解】解：计算过程如下： 故答案为：7 变式1.下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数的化简规则，依据“负负得正、正负得负、正正得正”的符号化简法则，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A. 负负得正，故，选项A化简正确，符合题意； B. 正负得负，故，选项B化简错误，不符合题意； C. 正号不改变数的符号，故，选项C化简错误，不符合题意； D. 先化简内层，，再化简外层，，故， 选项D化简错误，不符合题意． 故选：A． 变式2.的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握相反数的定义，是解题的关键．根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式3.若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义化简后即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式4.化简_______． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符号即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【考点12：求一个数的绝对值】 例1.的绝对值是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 例2.绝对值为3的数是________． 【答案】3或 【分析】本题主要考查绝对值的求解，解题的关键是熟知绝对值的性质． 根据绝对值的定义，一个数的绝对值是它在数轴上到原点的距离，因此绝对值为3的数有3和． 【详解】设这个数为x，则， 根据绝对值的意义， 或. 故答案为：3或． 变式1.2024相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数和绝对值的定义，熟练掌握相反数和绝对值的定义是关键．按照定义先求出2024的相反数，再计算其绝对值即可得到结果． 【详解】解：2024的相反数是，． 故选：C． 变式2.的运算结果等于（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的运算，根据绝对值的性质化简绝对值可得出结果． 【详解】解：∵负数的绝对值是它的相反数 ∴ ∴． 故选：B． 变式3.如果，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据得，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式4.已知，，且，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想是解题的关键． 根据题意可得，，由得到，即，再分情况讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，符合题意； 当，时，此时，符合题意； ∴综上所述，； 故答案为：． 【考点13：绝对值的非负性】 例1.若，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 例2.若，则______． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性，有理数的运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．两个非负数的和为零，则每个数都为零，从而求出 a 和 b 的值． 【详解】解：∵，且 ， ∴． 解得 ． ∴． 故答案为 1． 变式1.如果，那么的值是（    ）． A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了非负性以及有理数的乘方运用，先由，得出，则，最后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式2.如果，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据非负数的性质求出x、y的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3.已知，求式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质以及有理数的运算，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键． 根据绝对值的性质以及非负数性质可得，，，求得a、b、c的值后代入进行计算即可得答案． 【详解】解：， ， ，，， ， ， 所以的值为． 变式4.已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查绝对值的非负性；当几个非负数的和为0时，这几个非负数都是0；由，可得，，求出x、y即可求解. 【详解】解：∵且，， ∴，， ∴，， ∴. 【考点14：绝对值的几何意义】 例1.如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若点B到点A，C的距离相等，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（    ） A．上，更靠近点A B．上，更靠近点B C．上，更靠近点B D．上，更靠近点C 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义； 根据绝对值表示到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：∵c的绝对值最大， ∴点C距离原点最远， ∴原点在上， ∵b的绝对值最小， ∴点B距离原点最近， ∴原点在上，更靠近点B， 故选：B． 例2.数轴上到原点距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点共有________个． 【答案】7 【分析】本题考查了数轴和有理数的绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键． 根据数轴和绝对值的定义即可判断． 根据数轴和绝对值的定义，到原点距离小于4个单位长度的点对应绝对值小于4的整数 【详解】解：数轴上到原点的距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点有，共7个； 故答案为：7． 变式1.有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在1到2之间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴、绝对值相关内容，通过数轴先读取a的取值范围，再根据绝对值，相反数的性质求出对应选项的取值范围．解题的关键是对数轴上点对应取值范围的熟练掌握，及对绝对值相反数性质的灵活运用．通过数轴图可以确定a的取值范围是：，进而可以求出，，，的取值范围是否在1到2之间． 【详解】解：通过数轴图可以确定a的取值范围是：， ， ，故选项A不符合题意； ， ，故选项B不符合题意； ， ，故选项C符合题意； ， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 变式2.已知是最小的正整数，是最大的负整数，是相反数等于它本身的有理数，是到原点的距离为0的有理数，求的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值，数轴上两点的距离，相反数，最大负整数，最小正整数等等，最小的正整数为1，最大的负整数为，相反数是它本身的数为0，到原点的距离为0的数为0，据此求解即可． 【详解】解；∵是最小的正整数，是最大的负整数，是相反数等于它本身的有理数，是到原点的距离为0的有理数， ∴， ∴， 故答案为：2． 变式3.在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记做． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离可记做______，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做______； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做______；如果这两点之间的距离为2，那么x为______； (3)找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． 【答案】(1)； (2)；1或 (3) 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数、数轴上的两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意所述，运用类比的方法即可得出答案． （2）根据两点之间的距离列式，得到，继而可求出答案． （3）根据，以及到1的距离为 ，可得整数x在与1之间，可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和7的两点之间的距离可记做，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做； 故答案为：；； （2）解：数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做； ∵这两点之间的距离为2， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：；1或； （3）解：所有符合条件的整数x，使得， 故， 即表示整数x到的距离与整数x到1的距离之和为 ∵到1的距离为 ∴整数x在与1之间， ∴符合题意的整数是 故答案为：． 【考点15：绝对值中求最值问题】 例1.有最________值，为________． 【答案】 小 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据，可得式子的最小值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴有最小值，为 故答案为：小，． 例2.用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0．根据这个结论完成下列问题： (1)有最______值______；有最______值______； (2)当a为何值时，有最值，并求出这个最值； (3)若，求的值． 【答案】(1)小, , 大, (2)当时,有最小值 (3) 【分析】根据有最小值为, 有最大值为进去求解； 根据当时有最小值为进行求解； 先由题意得, 确定出，的值，再代入计算. 【详解】（1）∵有最小值为,有最大值为, ∴有最小值,有最大值, 故答案为: 小, , 大, ； （2）∵当, 即时, 有最小值， ∴当时,有最小值； （3）由题意得, , ∴且, 解得, . 【点睛】此题考查了绝对值性质的应用能力，关键是能准确理解并运用绝对值的非负性进行求解. 变式1.若a是绝对值最小的数，b是的倒数，则______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质、求一个数的倒数，代数式求值；分别找出绝对值最小的数和的倒数，相加即可. 【详解】解：∵a是绝对值最小的数，b是的倒数， ∴， ∴ 故答案为：． 变式2.（1）若有最小值，则当__________时，取最小值，最小值为____________． （2）若，则___________，__________． （3）有最_________（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是____________． 【答案】 6 0 2 6 大 5 【分析】本题主要考查了绝对值的非负数： （1）根据得到若有最小值，则，据此可得答案； （2）根据绝对值的非负性可得，则，据此可得答案； （3）根据绝对值的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴若有最小值，则， ∴， ∴， ∴当时，取最小值，最小值为0， 故答案为：6；0； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2；6； （3）∵， ∴， ∴， ∴有最大值，最大值为5， 故答案为：大；5． 变式3.用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0，根据这个结论完成下列问题： (1)有最 值 ； (2)有最 值 ； (3)当a的值为 时，有最 值 ； (4)若，求ab的值． 【答案】(1)小，1 (2)大，5 (3)1，小，2 (4)3 【分析】本题考查了绝对值非负数，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． （1）根据的最小值为0即可得答案； （2）根据有最大值0即可得答案； （3）根据可得，即可答案； （4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴有最小值1， 故答案为：小，1 （2）解：∵， ∴， ∴有最大值5， 故答案为：大，5 （3）解：∵， ∴， ∴，即时，有最小值2， 故答案为：1，小，2； （4）解：根据题意，， 解得， 所以，． 【考点16：利用数轴比较有理数的大小】 例1.在数轴上表示出下列各数：，，0，，，并将各数按从小到大的顺序排列，用“”号连接． 【答案】，见解析 【分析】先化简，再在数轴上表示，再根据数轴上右边的数大于左边的数，计算即可． 本题考查了数轴上表示有理数，多重符号化简，绝对值，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴数轴表示如下： 故． 变式1.把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据正数都大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，比较出其大小并在数轴上表示出来即可； 本题考查了有理数大小的比较及在数轴上表示数，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【详解】解：， 在数轴上表示为： 变式2.已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小： (1)c___0； (2)a___c； (3)___b； (4)___； (5)用“”把a，b，c，连接起来． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查数轴表示数，绝对值及整式加减运算，正确判断各式的符号是正确计算的前提． （1）（2）（3）（4）根据数轴上对应点的位置直接判断即可； （5）在数轴上标出的对应点，然后观察数轴即可得出答案． 【详解】（1）解：由数轴知：， 故答案为：； （2）解：由数轴知：， 故答案为：； （3）解：由数轴知：，， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：由数轴知：，， ∴， 故答案为：； （5）解：在数轴上标出的对应点，如下图， ∴． 变式3.把下列各数表示在数轴上，并用“>”连接3，，，0，， 【答案】数轴表示见解析； 【分析】本题考查用数轴上的点表示数．先去括号，化简绝对值，再将各数在数轴上表示出来，根据数轴上的点表示的数从左到右依次增大，用“”连接即可． 【详解】解：，，数轴表示如下： 由图可知：． 变式4.在数轴上画出表示下列各数的点，，，，并用“”排列大小． 【答案】作图见解析， 【分析】本题考查数轴，有理数的大小比较，先根据化简符号的法则，绝对值将各数化简，再画出数轴，然后在数轴上表示各数即可，根据数轴上的点表示的数从左往右越来越大，由此排序即可．解题的关键是掌握：数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小． 【详解】解：，， 在数轴上表示为： 按照大小排序如下： ． 【考点17：利用法则比较有理数的大小】 例1.比较大小：____(填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查有理数大小的比较，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】解：∵，， 又∵，，且， ∴， 故． 故答案为：． 例2.比较大小： _____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握负数比较大小的规则是解题关键． 根据有理数大小比较的规则：“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行判断． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 变式1.比较大小： ___ （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较两个负数的大小，需先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小．通过有理数的大小比较原则判断即可． 【详解】解： ，，， ， ． 故答案为：． 变式2.比较大小：_______（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小的比较．先比较两个负数的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：因为 ，，且， 所以， 即． 故答案为：． 变式3.比较大小： _________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，先通分，再根据负数比较大小的方法：两个负数相比较，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】解：因为，， ，，且， 所以， 即， 故答案为：． 变式4.比较大小，用“”“”或“”填空 ： ______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴， 故答案为：． 变式5.比较下列每组数的大小，用、或填空 （1）___；    （2）0_______． 【答案】 （1） （2） 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． （1）两个负数比较大小，绝对值大的反而小； （2）先求绝对值，再比较正数与0的大小即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴； （2）∵，， ∴． 故答案为：（1）；（2）． 课后作业 1．（2026·贵州遵义·一模）下列四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】A 【分析】利用有理数大小比较的基本规则即可求解． 【详解】解：∵有理数大小比较规则为负数小于0，0小于正数， ∴， ∴ 四个数中最小的数是． 2．（2026·山西太原·一模）下列各数中最小的是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的是． 3．（2026·河北石家庄·一模）为保障石家庄冬季供暖，某供暖公司记录了一周内的最低室外气温，分别为，，，，，，，其中气温最低一天的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将给出的所有气温按从小到大排序，找出最小的数即可得到结果． 【详解】解：将一周的最低气温按从小到大排序为， ∴最小的温度为． 4．（2026·湖北黄石·一模）如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．0.5 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，确定该数的取值范围为即可求解． 【详解】解：设被遮挡住的点表示的数为， 由数轴可知， ∵ ∴在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是． 5．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为绝对值越小说明与标准质量的偏差越小，所以比较这几个绝对值的大小，绝对值最小的对应的篮球即为所求． 【详解】通过求4个数的绝对值，得,,,． ∵的绝对值最小， ∴B选项中的篮球是最接近标准质量的． 6．（2026·河北·模拟预测）衡量手机信号强弱的标准是（参考信号接收功率），其单位的数值范围在至．绝对值越小表示信号越强，则下列信号最强的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键．信号强度数值越大表示信号越强，选项均为负数，故数值越大（越接近零）的信号最强，即可解答． 【详解】解：∵信号强度数值越大表示信号越强，信号最强即为的绝对值最小， 各选项的绝对值分别为：， ∵， ∴的绝对值最小，信号最强， ∴信号最强的是． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 8．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 9．（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 10．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算，设点表示的数是，根据点是的中点，可知点表示的数是，根据点是的三等分点，即可得到点表示的数是，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点表示的数是， 则， 是的中点， ， 点表示的数是， ， 点是的三等分点， ， ， 点表示的数为， ， 解得：， ． 故选：C． 11．（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的折叠问题与两点间距离的计算，解题的关键是利用折叠的对称性，结合的条件分情况讨论点的位置． 【详解】解：设点表示的数为，点表示的数为，由折叠的对称性可知，点与点关于点对称， 所以，即． 已知点表示的数是，且， 则，即． 分两种情况： 情况一：，解得． 情况二：，解得． 因此，点表示的数为或． 故选：D． 12．（25-26七年级上·山西大同·月考）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，理解题意找到点的变化规律是解题关键． 先分析翻转一周的过程中，每个点对应的数，再分析翻转第二周后，每个点对应的数．两者一对比，总结出规律，然后推广到题干要求的数字． 【详解】解：正方形在数轴上翻转一周的过程中，点B所对应的数为，点C所对应的数为，点D所对应的数为，点A所对应的数为．再翻转一次，点B所对应的数为，故每四次一循环． ∵， ∴与所对应的点相同，即数所对应的点是点A， 故选：A． 13．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 14．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列语句： ①一个数的绝对值一定是正数；②一定是一个负数；③没有绝对值是的数； ④若，则a是一个正数；⑤在原点左边离原点越近的数就越大； 正确的有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的性质和正负数的概念，根据绝对值的性质和正负数的概念逐个判断即可． 【详解】解：一个数的绝对值一定是非负数，故①错误； 当是负数或0时，不是负数（是正数或0），故②错误； 没有绝对值是的数，故③正确； 若，则a是一个正数或0，故④错误； 在原点左边离原点越近的数就越大，故⑤正确； 正确的有③和⑤，共2个． 故选：B． 15．（2026·河南商丘·一模）的相反数是______． 【答案】 【分析】先计算绝对值，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解： 的相反数是． 16．（2026·广东广州·二模）化简________． 【答案】/ 【分析】先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解： ， ， ． 17．（2026·辽宁葫芦岛·一模）比较大小：_____（请用“>”“=”“﹤”填写）． 【答案】> 【分析】先化简，再根据两个负数比较大小的法则：两个负数，绝对值大的其值反而小，即可判断． 【详解】解：，，， ， ，即． 18．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 19．（25-26七年级上·河南开封·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，，则可得，，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 【答案】6 【分析】本题考查数轴上两点间的距离计算．解题的关键是利用数轴上两点间距离公式进行计算． 已知点A表示的数为4，点B表示的数为，代入距离公式，计算得到距离为 ． 【详解】解：点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离为． 故答案为6． 21．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【详解】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 22．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    【答案】14.5或19.5秒 【分析】本题考查了数轴动点问题，确定满足时，点P所在的位置是解题的关键．分点P在上和点P在上两种情况进行讨论求解，设P点所对应的数为x，根据，求出x的值，再根据点P的运动速度，求出相应的运动时间． 【详解】解：设P点所对应的数为， ①当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P运动从点O运动到10时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； ②当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P从点O运动到B时，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点B与点C之间时，速度为6个单位长度/秒， ∴动点P从点B运动到C时，所用时间为（秒）， ∴动点P从点C运动到26时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； 综上，满足，此时动点P运动的时间是14.5秒或19.5秒． 故答案为：14.5或19.5秒． 24．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）解决下列问题： (1)把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤；⑥；⑦；⑧；⑨； ⑩0.618． 负数集合{___________ } 分数集合{_________ } 正有理数集合{_______ }； (2)在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 【答案】(1)③⑥⑦⑧；③⑤⑨⑩；①⑤⑨⑩ (2)图见解析， 【分析】（1）根据有理数的分类，即可求解； （2）根据数轴上点对应的数的特点即可求解． 【详解】（1）解：⑦， 负数集合{③⑥⑦⑧} 分数集合{③⑤⑨⑩} 正有理数集合{①⑤⑨⑩} （2）解： 从小到大顺序排列：． 25．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据数轴的定义解答即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大解答即可； （3）根据有理数的分类解答即可． 【详解】（1）解：，，数轴表示如下： ； （2）解：根据有理数大小比较的原则，得到： ； （3）解：根据题意，填充如下： 26．（25-26七年级上·山东日照·月考）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{____________ …}； 分数集合：{_____________ …}； 负有理数集合：{_____________ …}； 有理数集合：{________________ …}． 【答案】，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）； 0.3，，，，，2.3%； ，，；0.3，，，，0，，，10，2.3% 【分析】本题考查有理数的分类．熟悉负数为小于的数，分数包括有限小数、无限循环小数和可以化为分数的百分数，负有理数既是负数又是有理数的数，有理数是整数和分数的统称，小数分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数． 【详解】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 27．（25-26七年级上·贵州·期末）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． (1)有理数集合：{_____ …}； (2)非正整数集合：{______ …}； (3)正分数集合：{______ …}． 【答案】(1)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ (2)⑤⑦ (3)②③⑧ 【分析】本题主要考查了有理数的分类，计算绝对值和化简多重符号，熟知有理数的分类方法是解题的关键． （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据有理数的定义可得答案； （2）非正整数是小于或等于0的整数，据此可得答案； （3）根据正分数的定义可得答案． 【详解】（1）解：，，，， 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧⑨…}； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； （2）解：非正整数集合：{⑤⑦…}； 故答案为：⑤⑦； （3）解：正分数集合：{②③⑧…}； 故答案为：②③⑧． 28．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）按要求画数轴，并回答问题． (1)画出数轴，并在数轴上表示这些数，0，，，，，将这些数用“”连接起来； (2)将这些数填入相应的数集圈里． 【答案】(1)数轴见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，利用数轴表示有理数和有理数的大小比较，绝对值，化简多重符号，解题的关键是掌握有理数的分类，有理数的大小比较方法． （1）先化简、，然后在数轴上表示各数，再根据数轴上右边的数大于左边的数即可进行有理数的大小比较； （2）利用正数，整数，负数的定义解答． 【详解】（1）解： ，， ∴数轴表示为： ； （2）解：填表如下： 29．（25-26七年级上·河北张家口·月考）如图所示为一个不完整的数轴． (1)请将该数轴补充完整，并将数表示在数轴上； (2)将（1）中的各数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了数轴三要素，求相反数，求绝对值，在数轴上表示有理数并比较大小． （1）根据数轴三要素将数轴补充完整，化简多重符号，绝对值，最后将各数表示在数轴上即可； （2）根据数轴作答即可． 【详解】（1）解：数轴补充如下： ；， 表示如下： ； （2）解：用“”连接如下： ． 30．（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)2， (2)数轴见解析， 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，确定a的值，根据绝对值的意义，确定b的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：，，， 在数轴上表示各数，如图： 用“”连接各数为：． 31．（25-26七年级上·重庆·期中）把这些数在数轴上表示出来： 0，，，，，，再将这些数用“”连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】把各数按照所在位置表示在数轴上，然后根据数轴上从左到右的点表示的数从大到小即可用“<”连接起来． 【详解】解：， 各数在数轴上表示为： 这些数用“”连接为： ． 32．（25-26七年级上·福建龙岩·月考）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 【答案】；图见解析 【分析】先根据有理数的乘方运算法则，相反数定义进行解答，然后把各数在数轴上表示出来，最后比较有理数的大小即可． 【详解】解：，， 把各数在数轴上表示为： 用“”号连接各数为：． 33．（25-26七年级上·全国·期中）如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 【答案】(1)； (2)5；点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 【分析】本题考查数轴、相反数、绝对值，解答关键是确定原点的位置． （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等确定原点位置求解即可； （2）同（1）方法确定原点位置，再根据各点的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵点A、B表示的数是互为相反数， ∴原点为线段的中点， ∵点C在原点左边一格位置， ∴点C表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点B、E表示的数是互为相反数， ∴原点为线段中点，即为点C， 点D距离点C5个单位， ∴点D表示的数的绝对值为5； 此时点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 故答案为：5． 34．（25-26七年级上·山西晋中·月考）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 幸福中心 【概念理解】定义：在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． 【问题解决】 （1）若点A表示的数是，则点A的“幸福点”点C表示的数是________； （2）已知点M表示的数是m，点N表示的数是n，且，．若点C为点M，N的“幸福中心”，求出点C表示的数． 【答案】（1）或2；（2）点表示的数是或 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离，解绝对值方程，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）设点C表示的数是，根据题意，得，解绝对值方程即可； （2）设点C表示的数是，根据题意，得，解绝对值方程即可． 【详解】解：（1）设点C表示的数是，根据题意，得， 故或， 解得或， 故答案为：或2； （2）解：设点C表示的数是，由题意得，点表示的数是，点表示的数是2， 由点C为点M，N的“幸福中心”，得， 故， 当时，化简，得， 解得，此时点表示的数为， 当时，化简，得， 解得，此时点表示的数为， 当时，化简得，此时不成立， 综上所述，点表示的数是或． 35．（25-26七年级上·陕西汉中·月考）如图，点在数轴上表示的数分别为，且满足． (1)___________，___________； (2)为数轴上点左侧一点，且点到点的距离之和为10，求点在数轴上对应的数； (3)在（2）的条件下，若点分别以4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度沿数轴同时向右运动，设运动的时间为秒，在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点到点的距离相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．两点间的距离可表示为） 【答案】(1)；； (2) (3)存在，的值为或； 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据平方和绝对值的非负性求解即可； （2）设点在数轴上对应的数为，根据数轴上两点间的距离列方程求解即可； （3）由题意可知，点表示的数分别为、、，再根据数轴上两点间的距离列方程求解即可； 【详解】（1）解：，，， ，， ，； （2）解：设点在数轴上对应的数为， 为数轴上点左侧一点， ，， 点到点的距离之和为10， ， ， 解得：， 即点在数轴上对应的数为； （3）解：存在， 设运动的时间为秒， 由题意可知，点表示的数分别为、、， 若点到点的距离相等， 则， 整理得：， 解得：或， 综上可知，存在某一时刻，使得点到点的距离相等，的值为或； 36．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【知识解读】数轴是数学学习中的一个重要工具．用数轴不只是可以将任何有理数在数轴上用点加以表示，还可以利用其中蕴含的数形结合思想解决很多较复杂问题． 【应用1：数与数的转化】（1）如图，小丽借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度的和11对齐，则刻度尺上的1对应数轴上的点A表示的有理数为 ； 【应用2：数与数量关系的刻画】（2）在下面的网格中，表示数，的点均在格点上，请按要求画图． ①已知，请在图2中的数轴上标出原点的位置； ②已知表示数的点也在格点上，请在图3中的数轴上表述原点的位置； 【应用3：数学变换的演示】（3）如图4，已知点，，将点绕着点旋转，得到点，我们称点是点关于点的反演点，记作，亦可记作； 将点、分别绕着同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，则称点是点关于线段的反演点，记作，亦可记作 在数轴上，若已知点表示的数为，点与点的距离为6，点是数轴上一动点，且，，则在点的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，直接写出这个定值；如果不是，请求出它的范围． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 （3）线段的长度是定值，定值为6 【分析】本题考查了数轴上反演点的定义及应用，解题的关键是正确理解反演点的旋转中心与中点关系，结合定义推导点的坐标表达式． （1）先求数轴单位长度，计算刻度尺对应数轴上的数； （2）根据数的数量关系确定原点位置； （3）利用反演点的中点定义表示、，计算的长度． 【详解】（1）解：数轴单位长度为， 刻度尺1与原点（刻度的距离为，对应数轴上的数为． 故答案为：． （2）解：①从图中可知，a与b相距2个单位长度，且，所以原点O在a与b之间，且为三等分点， 数轴上表示原点O的位置如下： ②结合图中的格点位置，及长度关系式，在图3中标出原点． （3）解：由反演点定义：，得（是、的中点）；，是找中心使转到，该中心为，故； 则． 因、距离为6，故． 答：线段的长度是定值，定值为6． 37．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 1 / 100 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 02讲 有理数及其大小比较目录 【知识点1. 有理数的相关概念及分类 2】 【知识点2. 数轴 4】 【知识点3. 相反数及其多重符号的化简 5】 【知识点4. 绝对值及比较大小 6】 【知识点5. 有理数的大小比较方法 7】 【考点1. 有理数的相关概念 8】 【考点2. 有理数的分类 9】 【考点3. 有理数中的新定义集合 11】 【考点4. 数轴的三要素及其画法 13】 【考点5. 数轴上的点与有理数 13】 【考点6. 数轴上两点之间的距离 14】 【考点7. 数轴上的动点问题 15】 【考点8. 求一个数的相反数 15】 【考点9. 相反数的性质 16】 【考点10. 相反数的几何意义 16】 【考点11. 相反数中多重符号化简 17】 【考点12. 求一个数的绝对值 17】 【考点13. 绝对值的非负性 18】 【考点14. 绝对值的几何意义 18】 【考点15. 绝对值中求最值问题 19】 【考点16. 利用数轴比较有理数的大小 20】 【考点17. 利用法则比较有理数的大小 22】 【课后作业 22】 知识清单：有理数的相关概念及分类 1、有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 整数和分数统称为有理数。 4）无理数：无限不循环小数称为无理数。如：π，0.1010010001…… 注意：在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数。 2、有理数的分类 1）按有理数的定义分： 2）按有理数的性质（符号）分： 3、 非正数 非负数 非正整数 非负整数 常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是正数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 巩固基础 1．在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中，正确的是（   ） A．不是有理数 B．有理数不是整数就是分数 C．在有理数中有最小的数 D．是有理数，则一定是负数 3．下列说法中，正确的是（    ） A．有理数包括所有整数和所有小数 B．正数和负数统称为有理数 C．整数分为正整数和负整数 D．所有的正有理数都可以写成正分数的形式 4．把下列各数填入表示它们所在的数集的大括号里： ，，，0，2023，，，． 正数集｛                  …｝； 负数集｛                  …｝； 整数集｛                  …｝； 有理数集｛                  …｝． 5．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛______ ｝…； 正整数集合：｛_____ _｝…； 分数集合：｛______ ｝… 6．把下列各数填入它所属的集合内：，，，，，，，，． （1）自然数集合：{________ …}； （2）分数集合：{_______ _…}； （3）有理数集合：{_______ _…}． 知识清单：数轴 1、数轴 1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…． 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 4）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 巩固基础 1．下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（    ） A． B． C．11 D．3 4．数轴上原点右边4厘米处的点表示的有理数是32，那么数轴上原点左边10厘米处的点表示的有理数是_____． 5．数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 __________． 6．如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有________个． 知识清单：相反数及其多重符号的化简 1、相反数 1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 2）相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 2、多重符号的化简 1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 巩固基础 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．的相反数是（    ） A． B． C．2026 D． 3．0的相反数是_________． 4．（1）_______；（2）_______；（3）_______． 5．化简符号：___________． 6．若与互为相反数，则___． 知识清单：绝对值及比较大小 1、绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：， 或， 或。 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 2、绝对值比较大小 1）正数＞0负数 2）正数之间比较大小：绝对值大的大 3）负数之间比较大小：绝对值大的反而小 归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ； ②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ； ④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ； ⑥绝对值最小的负整数是： -1 。 巩固基础 1．绝对值等于5的数是（    ） A．5 B． C．5或 D．0 2．的相反数是（     ） A． B． C．7 D． 3．若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 4．________． 5．若，则 ____． 6．已知，，则x的值为______，y的值为______． 7．比较大小：_____． 8．用“”号连接：，，；________． 知识清单：有理数的大小比较方法 1、有理数的大小比较方法 1）数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小。 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2）法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 其他数与0 正数与0：正数＞0 负数与0：负数＜0 注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： 1）分别计算两数的绝对值；2）比较绝对值的大小；3）判定两数的大小． 巩固基础 1．下列各数中，比小的数是（     ） A． B．0 C． D． 2．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 3．比较大小：______（填“”或“”）． 4．比较大小：______（用“>或＝或<”填空）． 5．比较大小：______（填“”“”或“”）． 6．比较大小： _____（填“”、“”或“”）． 7．比较大小：__________．(用，“”或“”填空) 直击考点 【考点1：有理数的相关概念】 例1．下列说法正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．整数和分数统称有理数 C．一个数的绝对值一定是正数 D．绝对值等于它本身的数是,0和1 例2．王叔叔只记得李叔叔的电话号码是76045□□，还记得最大数字是7，各个数字又不重复．王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打______次． 变式1．在π，，，，这几个数中，有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．中国古代用算筹来记数，算筹的摆放有纵横两种形式（如下表）： 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，以此类推．在个位数算筹上面斜着放一支算筹表示负数．例如：“”表示＋238，“”表示．由此可知“”表示的数是（    ） A．6028 B． C．6208 D． 变式3．在，5，，，，中，有理数有_____个 变式4．最大的负整数是________；最小的自然数是_______． 【考点2：有理数的分类】 例1.将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                  } 整数集合：{                  } 负有理数集合：{                  } 正分数集合：{                  } 例2.将下列各数填在相应的括号里： 、5、、、、0、102、、、 分数集合：{ }； 非正有理数集合：{ }； 负数集合：{ } 例3.把下列各数填在相应的集合中：，，，，，，，，0，，， 正数集合{                                   } 负分数集合{                                   } 非负整数集合{                                  } 有理数集合{                                   } 变式1.把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶ ． 正数：{_____________________________}； 负分数∶ {____________________________________} 负整数：{______________________}； 整数∶ {____________________________________} 变式2.把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ } ； 负分数：{ }； 正有理数：{ } ． 变式3.把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 变式4.把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 变式5.把下列各数填入它所在的集合内： ． 正有理数集合：{                      …}； 负有理数集合：{                      …}； 整数集合：{                      …}； 负分数集合：{                      …}． 【考点3：有理数中的新定义集合】 例1．我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 例2. 把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（　　） A．23 B．24 C．24或25 D．26 变式1. 把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 变式2. 阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合． 例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合． （1）集合{﹣4，8}　 　（填“是”或“不是”）对偶集合． （2）集合是否是完美对偶集合？请说明理由. 【考点4：数轴的三要素及其画法】 例1.下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 例2.下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有__________个． 变式1.下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 变式2.下列关于数轴的图示，画法正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3.关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 变式4.在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【考点5：数轴上的点与有理数】 例1.如图，在数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 变式1.如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ） A．0.5 B． C． D． 变式2.一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨渍盖住的整数个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式3.写出数轴上在与之间的所有整数_______． 【考点6：数轴上两点之间的距离】 例1.在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是（   ） A．5 B． C．1 D． 例2.已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 变式1.在数轴上 ，若点A表示的数是 ，则与点A相距2个单位长度的点B表示的数是 （ ） A．5或 B．1或 C．1或 5 D．或 变式2.已知数轴上，两点分别表示，6．若在数轴上找一点，使得点与点的距离为4；找一点，使得点与点的距离为1．下列不可能为点与点的距离的是（    ） A． B． C． D． 变式3.将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上，以长作为该数轴的单位长度，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上“”和“”，则的值为___________． 变式4.在数轴上有三个点A、B、C，且点A到点B的距离是5个单位长度，若点B表示的数是，点C表示的数是，则点A到点C的距离为______． 【考点7：数轴上的动点问题】 例1.数轴上的点表示，将点向右平移个单位后，再向左平移个单位到点，那么点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 变式1.在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 变式2.如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 变式3.在数轴上，点所表示的数是，将点向左平移5个单位长度得到点，则点所表示的数是________． 【考点8：求一个数的相反数】 例1.的相反数是（ ） A． B． C． D． 例2.a的相反数是，则________． 变式1.如果实数与互为相反数，那么是（　　） A． B． C． D． 变式2.下列各组数中，互为相反数的有（    ） ①与；②与；③与． A．组 B．组 C．组 D．组 变式3.据史料记载，最早认识和使用负数的国家是中国，这比西方早了一千多年．负数的相反数是（   ） A． B． C．或 D． 变式4.6的相反数是__________． 变式5.的相反数是________． 【考点9：相反数的性质】 例1.两个有理数的和为0，则这两个数（　　） A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个为0 D．一正一负 变式1.如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式2.若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 变式3.如果和互为相反数，且，那么为______． 【考点10：相反数的几何意义】 例1.数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 例2.数轴上，若A，B表示互为相反数的两个数且A在B的右侧，并且这两点的距离为9，则点B表示的数是____． 变式1.小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 变式2.如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 变式3.如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是_____个．   【考点11：相反数中多重符号化简】 例1.的相反数是（   ） A． B． C． D． 例2.___________． 变式1.下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2.的值是______． 变式3.若，则______． 变式4.化简_______． 【考点12：求一个数的绝对值】 例1.的绝对值是（　　） A． B．5 C． D． 例2.绝对值为3的数是________． 变式1.2024相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 变式2.的运算结果等于（    ） A．2024 B． C． D． 变式3.如果，那么_____． 变式4.已知，，且，则__________． 【考点13：绝对值的非负性】 例1.若，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2024 例2.若，则______． 变式1.如果，那么的值是（    ）． A． B． C．1 D．或1 变式2.如果，则_______． 变式3.已知，求式子的值． 变式4.已知，求的值． 【考点14：绝对值的几何意义】 例1.如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若点B到点A，C的距离相等，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（    ） A．上，更靠近点A B．上，更靠近点B C．上，更靠近点B D．上，更靠近点C 例2.数轴上到原点距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点共有________个． 变式1.有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在1到2之间的是（   ） A． B． C． D． 变式2.已知是最小的正整数，是最大的负整数，是相反数等于它本身的有理数，是到原点的距离为0的有理数，求的值为______． 变式3.在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记做． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离可记做______，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做______； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做______；如果这两点之间的距离为2，那么x为______； (3)找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． 【考点15：绝对值中求最值问题】 例1.有最________值，为________． 例2.用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0．根据这个结论完成下列问题： (1)有最______值______；有最______值______； (2)当a为何值时，有最值，并求出这个最值； (3)若，求的值． 变式1.若a是绝对值最小的数，b是的倒数，则______． 变式2.（1）若有最小值，则当__________时，取最小值，最小值为____________． （2）若，则___________，__________． （3）有最_________（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是____________． 变式3.用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0，根据这个结论完成下列问题： (1)有最 值 ； (2)有最 值 ； (3)当a的值为 时，有最 值 ； (4)若，求ab的值． 【考点16：利用数轴比较有理数的大小】 例1.在数轴上表示出下列各数：，，0，，，并将各数按从小到大的顺序排列，用“”号连接． 变式1.把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来． 变式2.已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小： (1)c___0； (2)a___c； (3)___b； (4)___； (5)用“”把a，b，c，连接起来． 变式3.把下列各数表示在数轴上，并用“>”连接3，，，0，， 变式4.在数轴上画出表示下列各数的点，，，，并用“”排列大小． 【考点17：利用法则比较有理数的大小】 例1.比较大小：____(填“”“”或“”)． 例2.比较大小： _____． 变式1.比较大小： ___ （填“”或“”）． 变式2.比较大小：_______（填“>”“<”或“=”）． 变式3.比较大小： _________．（填“>”“<”或“=”） 变式4.比较大小，用“”“”或“”填空 ： ______ ． 变式5.比较下列每组数的大小，用、或填空 （1）___；    （2）0_______． 课后作业 1．（2026·贵州遵义·一模）下列四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 2．（2026·山西太原·一模）下列各数中最小的是（   ） A． B． C． D．1 3．（2026·河北石家庄·一模）为保障石家庄冬季供暖，某供暖公司记录了一周内的最低室外气温，分别为，，，，，，，其中气温最低一天的温度是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北黄石·一模）如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．0.5 5．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北·模拟预测）衡量手机信号强弱的标准是（参考信号接收功率），其单位的数值范围在至．绝对值越小表示信号越强，则下列信号最强的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 8．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 12．（25-26七年级上·山西大同·月考）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 13．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 14．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列语句： ①一个数的绝对值一定是正数；②一定是一个负数；③没有绝对值是的数； ④若，则a是一个正数；⑤在原点左边离原点越近的数就越大； 正确的有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 15．（2026·河南商丘·一模）的相反数是______． 16．（2026·广东广州·二模）化简________． 17．（2026·辽宁葫芦岛·一模）比较大小：_____（请用“>”“=”“﹤”填写）． 18．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 19．（25-26七年级上·河南开封·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 20．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 21．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 22．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    24．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）解决下列问题： (1)把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤；⑥；⑦；⑧；⑨； ⑩0.618． 负数集合{___________ } 分数集合{_________ } 正有理数集合{_______ }； (2)在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 25．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 26．（25-26七年级上·山东日照·月考）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{____________ …}； 分数集合：{_____________ …}； 负有理数集合：{_____________ …}； 有理数集合：{________________ …}． 27．（25-26七年级上·贵州·期末）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． (1)有理数集合：{_____ …}； (2)非正整数集合：{______ …}； (3)正分数集合：{______ …}． 28．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）按要求画数轴，并回答问题． (1)画出数轴，并在数轴上表示这些数，0，，，，，将这些数用“”连接起来； (2)将这些数填入相应的数集圈里． 29．（25-26七年级上·河北张家口·月考）如图所示为一个不完整的数轴． (1)请将该数轴补充完整，并将数表示在数轴上； (2)将（1）中的各数按从小到大的顺序用“”连接起来． 30．（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 31．（25-26七年级上·重庆·期中）把这些数在数轴上表示出来： 0，，，，，，再将这些数用“”连接起来． 32．（25-26七年级上·福建龙岩·月考）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 33．（25-26七年级上·全国·期中）如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 34．（25-26七年级上·山西晋中·月考）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 幸福中心 【概念理解】定义：在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． 【问题解决】 （1）若点A表示的数是，则点A的“幸福点”点C表示的数是________； （2）已知点M表示的数是m，点N表示的数是n，且，．若点C为点M，N的“幸福中心”，求出点C表示的数． 35．（25-26七年级上·陕西汉中·月考）如图，点在数轴上表示的数分别为，且满足． (1)___________，___________； (2)为数轴上点左侧一点，且点到点的距离之和为10，求点在数轴上对应的数； (3)在（2）的条件下，若点分别以4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度沿数轴同时向右运动，设运动的时间为秒，在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点到点的距离相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．两点间的距离可表示为） 36．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【知识解读】数轴是数学学习中的一个重要工具．用数轴不只是可以将任何有理数在数轴上用点加以表示，还可以利用其中蕴含的数形结合思想解决很多较复杂问题． 【应用1：数与数的转化】（1）如图，小丽借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度的和11对齐，则刻度尺上的1对应数轴上的点A表示的有理数为 ； 【应用2：数与数量关系的刻画】（2）在下面的网格中，表示数，的点均在格点上，请按要求画图． ①已知，请在图2中的数轴上标出原点的位置； ②已知表示数的点也在格点上，请在图3中的数轴上表述原点的位置； 【应用3：数学变换的演示】（3）如图4，已知点，，将点绕着点旋转，得到点，我们称点是点关于点的反演点，记作，亦可记作； 将点、分别绕着同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，则称点是点关于线段的反演点，记作，亦可记作 在数轴上，若已知点表示的数为，点与点的距离为6，点是数轴上一动点，且，，则在点的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，直接写出这个定值；如果不是，请求出它的范围． 37．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 1 / 100 学科网（北京）股份有限公司 $