22.1.1 成比例线段（Word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该教案聚焦成比例线段的概念、性质、判定及黄金分割，通过情景导入展示形状相同的图片，引导学生观察对应线段关系，搭建从具体图形到抽象概念的学习支架，衔接图形相似的预备知识。 该资料以合作探究为主线，设置求线段比、判断成比例线段等探究点，通过比例尺计算、乐器弦长黄金分割应用等实例，培养学生数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理意识）和数学语言（应用意识）。分类讨论第四比例项求法等环节提升学生逻辑思维，为教师提供结构化教学资源，助力高效课堂。

22.1 成比例线段 1.成比例线段 1.学习并掌握比例线段的相关概念及其性质；（重点） 2.掌握成比例线段的判定方法.（难点） 3.了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值． 一、情景导入 请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ 这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同. 二、合作探究 探究点一：线段的比 【类型一】 求线段的比 已知线段AB＝2.5m，线段CD＝400cm，求线段AB与CD的比. 解析：要求AB和CD的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB和CD的单位统一. 解：∵AB＝2.5m＝250cm， ∴＝＝. 　　方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 【类型二】 比例尺 在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是　　　　m. 　　解析：根据“比例尺＝”可求解. 设甲、乙两地的实际距离为xcm，则有1：50 000＝3：x，解得x＝150 000. 150 000cm＝1500m.故答案为1500. 方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化. 探究点二：成比例线段 【类型一】 判断线段成比例 下列四组线段中，是成比例线段的是（　　） A.3cm，4cm，5cm，6cm B.4cm，8cm，3cm，5cm C.5cm，15cm，2cm，6cm D.8cm，4cm，1cm，3cm 　　解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C项排列后有＝.故选C. 　　方法总结：判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【类型二】 由线段成比例求线段的长 已知：四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm. （1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度； （2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度. 解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解. 解：（1）由a、b、c、d是成比例线段，得 ＝，即＝，解得d＝16. 故线段d的长度为16cm； （2）由b、a、c、d是成比例线段，得 ＝，即＝，解得d＝. 故线段d的长度为cm. 　　方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长. 已知三条线段长分别为1cm，cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式. 解析：因为本题中没有明确告知是求1，，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论. 解：若x：1＝：2，则x＝；若1：x＝：2，则x＝；若1：＝x：2，则x＝；若1：＝2：x，则x＝2. 　　所以所添加的线段的长有三种可能，可以是cm，cm，或2cm. 　　方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积. 探究点三：黄金分割 【类型一】 利用黄金分割进行计算 如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，BC＝mAB，求m的值． 解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴＝＝.又∵BC＝mAB，∴AC＝(1－m)AB，∴＝，即1－m＝，∴m＝. 方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC，BC，AB之间的表达式，再利用BC＝mAB变形，求出m的值． 【类型二】 黄金分割的实际应用 如图所示，乐器上有一根弦AB，两个端点A、B固定在乐器的面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，若DC的长度为d，试求这根弦AB的长度． 解：根据黄金分割的定义，可知＝＝，∴AC＝BD＝AB，∴AD＝AB－BD＝AB－AB. ∴CD＝AC－AD＝AB－(AB－AB)＝(－2)AB＝d. ∴AB＝d＝(＋2)d. 三、板书设计 1.成比例线段 比例中项：AP2=AB·PB，则AP为AB和PB的比例中项 2.黄金分割 黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点 黄金比：较长线段∶原线段=较短线段∶较长线段=∶1≈0.618 从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力. 学科网（北京）股份有限公司 $