6 22.3.2 第2课时 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦相似三角形判定定理2（两边成比例且夹角相等）和定理3（三边对应成比例），通过自主学习中画图比较、猜想验证的方式，衔接全等三角形判定旧知，搭建从具体操作到抽象定理的学习支架。 资料以“自主探究—合作论证—应用检测”为主线，自主学习环节通过画图操作培养几何直观，合作探究的典例与针对训练强化推理意识，分层习题设计提升应用能力，全方位发展学生用数学眼光观察、用数学思维推理、用数学语言表达的核心素养。

22.3 相似三角形 2. 相似三角形的判定 第2课时 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似 学习目标： 1. 理解判定定理2，3的意义.（重点） 2. 会运用相似三角形的判定定理2，3解决问题.（难点） 自主学习 一、新知预习 1.如图1，画出△ABC和△A'B'C'，使∠A'=∠A,=2. (1) 比较∠C'、∠C（或∠B'、∠B）的大小； 答：______________________. (2) 由比较的结果，能判定△ABC和△A'B'C'相似吗？ 答：________. 【猜想】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形_______. 图1 图2 2.如图2，在半透明的纸上画一个△ABC，使AB=1.5cm，AC=2.5cm，BC=2cm，再画一个△A'B'C',使得A'B'=3cm，A'C'=5cm，B'C'=4cm. 比较△ABC和△A'B'C'各个角，它们对应相等吗？这两个三角形相似吗？ 答：_________________________________. 我们可以初步确定猜想：三边对应成比例的两个三角形________. 合作探究 一、探究过程 探究点1：利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 【典例精析】 例1如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE. 【归纳总结】条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角. 【针对训练】 1.如图，D,E分别在△ABC的边AC,AB上，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长. 探究点2：利用三边的关系判定相似三角形 【典例精析】 例2已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，试判断△ABC与△DEF是否相似. 【归纳总结】已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系. 【针对训练】 2.如图，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由. 3.如图，在△ABC和△ADE中，== ，∠BAD=20°，求∠CAE的度数. 二、课堂小结 相似三角形的判定定理2 所需条件 图例 斜交型 图1中，∠A为公共角，若_____=_____,△ACB∽△AED. 图2中，∠A为公共角，若_____=_____,△ADC∽△ACB. 图3中，∠A为公共角，若_____=_____,△ACB∽△AED. 图4中，∠1和∠2为对顶角，若_____=_____,△ABE∽△DCE. 旋转型 如图，已知∠1=∠2，则∠_____=∠_____.若_______=_______,△ABC∽△A´B´C´. 相似三角形的判定定理3 三条边对应成比例的两个三角形相似. 当堂检测 1. 已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下面哪一组时，这两个三角形相似（ ） A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 2.如图，线段AC和BD相交于点O，且OA=12，OC=54，OB=18，OD=36，则△ABO与△DCO_________相似（填“一定”或“不”）. 第2题图 第3题图 3.如图，BD平分∠ABC,AB=4,BC=6,当BD=_______时，△ABD∽△DBC. 4.一个三角形三边长是3、5、7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其他两边之和是_______. 5.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？ 参考答案 自主学习 一、新知预习 1.（1）∠C'=∠C（或∠B'=∠B） （2）能 【猜想】相似 2. △ABC和△A'B'C'的各个角对应相等.这两个三角形相似 相似 合作探究 一、探究过程 【典例精析】 例1 证明：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE.即∠DAE=∠BAC.∵AD=AE，AB=AC，∴，∴△ABC∽△ADE． 【针对训练】 1.解：∵AE=1.5，AC=2，∴，且∠EAD=∠CAB.∴△AED∽△ACB，∴,即，解得DE=． 【典例精析】 例2 解：△ABC与△DEF相似.理由如下：∵△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，∴，， .即三角形的三组对应边的比相等，∴这两个三角形相似． 【针对训练】 2. 解：相等，理由如下：∵AD=3，AE=6，DE=5，BD=15，CE=3，BC=15， ∴AC=AE+EC=9，AB=AD+BD=3+15=18. ∴,,,即. ∴△ADE∽△ACB.∴∠B=∠AED． 3. 解：∵在△ABC和△ADE中， = = ，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠CAE=∠BAD=20°． 二、课堂小结 B´AC´ BAC 当堂检测 1.C 2.一定 3. 4.24 5.解：设经过t s时，△PBQ与△ABC相似. （1）当＝时，△PBQ∽△ABC.此时＝，解得t＝4. 即经过4s后△PBQ与△ABC相似. （2）当＝时，△PBQ∽△CBA.此时＝，解得t＝1.6. 即经过1.6s后△PBQ与△ABC相似. 综上可知，点P，Q同时出发，经过1.6s或4s时△PBQ与△ABC相似. 学科网（北京）股份有限公司 $