9 21.3 第2课时 平均变化率、销售问题（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的平均变化率与利润问题，通过自主学习中汽车保有量增长、商品利润计算等预习题目，衔接方程解法旧知，为合作探究的赈灾捐款增长率、核桃销售利润等实际问题搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以生活实例引导学生用数学眼光观察现实问题，合作探究环节通过问题链培养抽象数学模型的数学思维，课堂小结与分层检测强化用数学语言表达数量关系的模型意识，助力学生掌握建模方法，提升应用能力。

第21章 一元二次方程 21.3 实践与探索 第2课时 平均变化率、销售问题 学习目标： 1.学会用一元二次方程解决平均变化率和利润问题（重点）； 2.从实际结合问题中抽象出数学模型（难点）. 自主学习 一、新知预习 1.列方程 随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高，汽车已将越来越多的进入普通家庭，某市交通部门统计，2027年底，该市汽车保有量为15万辆，截止到2029年底，汽车保有量已经达到21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增加率相同，设这个增长率为x.根据题意，可列出方程_____________. 2.填空： （1）某商品每件进价10元，售价15元，每件可得利润__________元. ①若涨价2元，则售价___________元, 每件可得利润为___________元； ②若涨价x元，则售价___________元, 每件可得利润为___________元. （2） 某商品原来每天可销售100件，后来进行价格调整,市场调查发现： 若该商品每降价1元，则该商品平均每天可多销售2件. ①如果降价2元，那么多卖______件，每天销售量为_______件； ②如果降价x元，那么多卖______件，每天销售量为_______件. （3）若该商品每涨价3元，则该商品平均每天少销售5件. ①如果涨价6元，那么少卖______件，每天销售量为________件； ②如果涨价x元，那么少卖_______件，每天销售量为________件. 合作探究 一、探究过程 探究点1：列一元二次方程解决增长率问题 【问题】西藏地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12 100元． (1)如果第二天、第三天收到捐款数额的增长率相同，求捐款增长率； 解：设捐款增长率为x， 根据题意，可列出方程________________. 解方程得x1= ，x2= . 检验：当x1＝_____时,_____题意.当x2＝______时,____ ___题意. 答：捐款的增长率为______. (2) 按照(1)中收到捐款数额的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【归纳总结】1.常见增长率问题一般公式为“原来的量×（1±变化率）n=后来的量”，其中增长用“﹢”，减少用“-”，“n”表示增长或减少的次数. 2.得出一元二次方程的解后，一定要注意检验，使一元二次方程的解符合实际意义. 【针对训练】 1.某商品原售价为100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确的是(　 　) A．100(1－x%)2＝120 B．100(1＋x%)2＝120 C．100(1＋2x%)2＝120 D．100(1＋x2%)2＝120 2. 某渔船出海捕鱼，2027年平均每次捕鱼量为10吨，2029年平均每次捕鱼量为8.1吨，求 该渔船2027年～2029年平均每次捕鱼量的年平均下降率． 探究点2：列一元二次方程解决利润率问题 【问题】山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？ 解：设每千克核桃降价x元，根据题意，可列出方程______________________. 解方程得x1= ，x2= . 检验：当x1＝______时,_______题意.当x2＝______时,________题意. 答：每千克核桃应降价___________. (2) 在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【归纳总结】利润问题中常用的关系式：①利润=售价-进价;②利润率=. 【针对训练】 3.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元(x为整数)．据此规律，请回答： (1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利_________元(用含x的代数式表示)； (2)若上述条件不变，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？ 二、课堂小结 一元一次方程的应用 内容 运用策略 增长率问题 原来的量×（1±变化率）n=后来的量,其中“n”表示增长或减少的________. 解题时要理清原来的数，后来的数以及变化情况. 利润问题 利润问题中常用的关系式：①利润=___________;②利润率=________=______________. 关键要弄清标价、售价、成本价的实际意义以及利润的相关等量关系. 当堂检测 1.某地区1月初疫情感染人数为6万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至1万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（　 　） A．6（1-2x）=1 B．6（1-x）2=1 C．6（1+2x）=1 D．6（1+x）2=1 2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元.若设该校今明两年在实验器材投资的平均增长率是x,则可列方程为__________. 3.某种文化衫每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多销售10件，如果每天要盈利950元，设每件应该降价x元，那么可列方程为__________________ . 4.某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是前年人数的64%,那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少? 5.菜农李伟种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率. 参考答案 自主学习 一、新知预习 1.15（1+x）²=21.6 2.（1）5 ①17 7 ②（15+x） （5+x） （2）①4 104 ②2x （100+2x） （3）①10 90 ② （100-） 合作探究 一、探究过程 探究点1： 【问题】 （1）10000（1+x）²=12100 0.1 -2.1 0.1 符合 -2.1 不符 10％ （2）12100×1.1=13310（元）.答：第四天能收到13310元捐款. 【针对训练】 1. B 2.解：设该渔船2027-2029年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为x，根据题意，列方程得10×（1-x）2=8.1，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）． 答：2027-2029年该渔船每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%． 探究点2： 【问题】 （1）（60-x-40）（100+×20）=2240 4 6 4 符合 6 符合 4元或6元 （2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为60-6=54（元），×100%=90%． 答：该店应按原售价的九折出售． 【针对训练】 3. 解：（1）2x （50-x） （2）根据题意得：（50-x）（30+2x）=2100，整理得x2-35x+300=0，解得x1=15，x2=20.因为为了尽快减少库存，所以x应该取20，若上述条件不变，则每件商品降20元时，商场日盈利可达到2100元． 答：每件商品降20元时，商场日盈利可达到2100元． 二、课堂小结 次数 售价-进价 利润÷进价 （售价-进价）÷进价 当堂检测 1.B 2.2（1+x)+2(1+x)2=8 3.（20-x）（40+10x）=950 4. 解：设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x, 前年近视人数为“1”，则今年近视人数为（1 - x）2. 由题意，得(1 – x )2 = 0.64 . 解得 x1 = 0.2= 20%, x2 = 1.8（不合题意，舍去）. 答：这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为20%. 5. 解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2=3.2.解得 x1=0.2=20%，x2=1.8 （舍去）.∴平均每次下调的百分率为20%. 学科网（北京）股份有限公司 $