2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 二次函数与一元二次方程、不等式同步练，分基础全面练（10题）和综合应用练（5题），45分钟/90分，通过分层梯度设计实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|不等式求解、解集判断、二次函数与不等式关系|选择/填空/解答题结合，巩固一元二次不等式解法，如含参数不等式解集（题4）、二次函数图象应用（题8），培养运算能力| |综合应用练|含参数不等式、开放探究、实际情境应用|多选+解答题，深化参数讨论（题14）、开放探究（题15），培养推理意识与创新意识，如解集不可能情况分析（题12）|

二次函数与一元二次方程、不等式 (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)(2026·成都高一检测)不等式-x2+3x+4>0的解集为 (　　) A.{x|-1<x<4} B.{x|x<-1或x>4} C.{x|-4<x<1} D.{x|x<-4或x>1} 2.(5分)下列不等式解集为R的是 (　　) A.3x2-7x≤10 B.-x2+x-≤0 C.(x+2)(x-3)>0 D.-2x2+x<-3 3.(5分)若0<t<1,则关于x的不等式(t-x)(x-)>0的解集为 (　　) A. {x|<x<t B. {x|x<或x>t C. {x|t<x< D. {x|x<t或x> 4.(5分)(2025·湛江高一检测)关于x的不等式-x2+mx+n>0的解集为{x|-1<x<2},则m+n的值为 (　　) A.- B.- C. D. 5.(5分)(2026·丽水高一检测)对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,如[π]=3,[-2.1]=-3,那么不等式4[x]2-16[x]+7<0成立的一个充分不必要条件是 (　　) A.{x|1≤x≤3} B.{x|0≤x≤4} C.{x|1≤x≤4} D.{x|2≤x≤4} 6.(5分)(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是 (　　) A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.a+b+c>0 7.(5分)不等式3+5x-2x2≤0的解集为　　.  8.(5分)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　.  9.(5分)在R上定义运算⊗:a⊗b=ab-a+b,则满足x⊗ (2x-1)>0的实数x的取值范围为　　.  10.(10分)求下列一元二次不等式的解集: (1)x2-3x+5>0; (2)-6x2-x+2≥0; (3)-4x2≥1-4x; (4)2x2-4x+7<0. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)下列四个不等式中,解集为⌀的是 (　　) A.-x2+x+1≤0 B.2x2-3x+4<0 C.x2+6x+9≤0 D.-x2+4x-(a+)>0(a>0) 12.(5分)(多选)对于给定的实数a,关于实数x的不等式a(x-a)(ax+a)≥0的解集不可能为(　　) A.⌀ B.{x|a≤x≤-1} C.{x|x≤a或x≥-1} D.R 13.(5分)(2026·六安高一检测)若关于x的不等式ax2-(3a+1)x+3<0恰有3个整数解,则实数a的取值范围是　　.  14.(10分)解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R). 15.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(1,0)与(3,0)两点,则不等式ax2+bx+c>0的解集是否确定?若确定,求出其解集;若不确定,请给出一个条件,使其解集确定. 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)(2026·成都高一检测)不等式-x2+3x+4>0的解集为 (　　) A.{x|-1<x<4} B.{x|x<-1或x>4} C.{x|-4<x<1} D.{x|x<-4或x>1} 【解析】选A.由-x2+3x+4>0得x2-3x-4<0,即(x-4)(x+1)<0,解得-1<x<4, 故原不等式的解集为{x|-1<x<4}. 2.(5分)下列不等式解集为R的是 (　　) A.3x2-7x≤10 B.-x2+x-≤0 C.(x+2)(x-3)>0 D.-2x2+x<-3 【解析】选B.3x2-7x≤10可化为(x+1)(3x-10)≤0,解得-1≤x≤,A错; -x2+x-≤0可化为(x-1)2≥0,解集为R,B对; (x+2)(x-3)>0,解得x<-2或x>3,C错; -2x2+x<-3可化为(x+1)(2x-3)>0,解得x<-1或x>,D错. 3.(5分)若0<t<1,则关于x的不等式(t-x)(x-)>0的解集为 (　　) A. {x|<x<t B. {x|x<或x>t C. {x|t<x< D. {x|x<t或x> 【解析】选C.因为0<t<1,所以>t,故(t-x)(x-)>0的解集为{x|t<x<. 4.(5分)(2025·湛江高一检测)关于x的不等式-x2+mx+n>0的解集为{x|-1<x<2},则m+n的值为 (　　) A.- B.- C. D. 【解析】选C.因为不等式-x2+mx+n>0的解集为{x|-1<x<2},所以x=-1,x=2是方程-x2+mx+n=0的两个实根,所以解得所以m+n=. 5.(5分)(2026·丽水高一检测)对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,如[π]=3,[-2.1]=-3,那么不等式4[x]2-16[x]+7<0成立的一个充分不必要条件是 (　　) A.{x|1≤x≤3} B.{x|0≤x≤4} C.{x|1≤x≤4} D.{x|2≤x≤4} 【解析】选A.由4[x]2-16[x]+7<0,得(2[x]-1)(2[x]-7)<0,解得<[x]<, 因此[x]=1,[x]=2或[x]=3, 又因为[x]表示不大于x的最大整数,所以1≤x<4,即不等式4[x]2-16[x]+7<0的解集为{x|1≤x<4}. 因为{x|1≤x≤3}和{x|2≤x≤4}是{x|1≤x<4}的真子集,故它们是{x|1≤x<4}的充分不必要条件; 因为{x|1≤x<4}是{x|0≤x≤4}的真子集,故{x|0≤x≤4}是{x|1≤x<4}的必要不充分条件. 6.(5分)(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是 (　　) A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.a+b+c>0 【解析】选BCD.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为,所以相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-是方程ax2+bx+c=0的两个根,则有=-1<0,->0,又a<0,故b>0,c>0,故B,C正确;由二次函数的图象(图略)可知,当x=1时,y=a+b+c>0,故D正确. 7.(5分)不等式3+5x-2x2≤0的解集为　　.  【解析】3+5x-2x2≤0⇒2x2-5x-3≥0⇒(x-3)(2x+1)≥0⇒x≥3或x≤-. 8.(5分)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　{x|x<-2或x>3}　.  【解析】根据题表可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图,如图所示. 由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}. 9.(5分)在R上定义运算⊗:a⊗b=ab-a+b,则满足x⊗ (2x-1)>0的实数x的取值范围为　{x|x>或x<-　.  【解析】依题意得x⊗ (2x-1)=x(2x-1)-x+(2x-1)=2x2-1>0, 所以2x2>1⇒x2>, 解得x>或x<-. 10.(10分)求下列一元二次不等式的解集: (1)x2-3x+5>0; 【解析】(1)因为Δ=(-3)2-4×5=-11<0, 所以x2-3x+5>0的解集为R. (2)-6x2-x+2≥0; 【解析】(2)原不等式可化为6x2+x-2≤0, 因为Δ=12-4×6×(-2)=49>0, 所以方程6x2+x-2=0有两个不相等实根, 即x1=-,x2=, 所以原不等式的解集为{x|-≤x≤. (3)-4x2≥1-4x; 【解析】(3)原不等式可化为4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0. 所以原不等式的解集为{x|x=. (4)2x2-4x+7<0. 【解析】(4)因为Δ=(-4)2-4×2×7=-40<0,所以不等式2x2-4x+7<0的解集为⌀. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)下列四个不等式中,解集为⌀的是 (　　) A.-x2+x+1≤0 B.2x2-3x+4<0 C.x2+6x+9≤0 D.-x2+4x-(a+)>0(a>0) 【解析】选BD.A选项,Δ=12-4×(-1)×1=5>0,所以-x2+x+1≤0的解集不可能为⌀; B选项,Δ=(-3)2-4×2×4=-23<0,而f(x)=2x2-3x+4的图象开口向上,所以2x2-3x+4<0的解集为⌀; C选项,x2+6x+9=(x+3)2≤0的解集为x=-3,所以不为⌀; D选项,Δ=42-4×(-1)×[-(a+)]=42-4×(a+)≤16-8=16-16=0(a>0),当且仅当 a = 2时等号成立,而f(x)=-x2+4x-(a+)的图象开口向下,所以-x2+4x-(a+)>0的解集为⌀. 12.(5分)(多选)对于给定的实数a,关于实数x的不等式a(x-a)(ax+a)≥0的解集不可能为(　　) A.⌀ B.{x|a≤x≤-1} C.{x|x≤a或x≥-1} D.R 【解析】选AB.a(x-a)(ax+a)≥0,则a2(x-a)(x+1)≥0, 当a=0时,不等式的解集为R,当a≠0时,不等式变形为(x-a)(x+1)≥0, 方程(x-a)(x+1)=0的根为x=a或x=-1, 当a<-1时,不等式的解集为{x|x≤a或x≥-1}, 当a=-1时,不等式的解集为R, 当a>-1且a≠0时,不等式的解集为{x|x≤-1或x≥a}. 13.(5分)(2026·六安高一检测)若关于x的不等式ax2-(3a+1)x+3<0恰有3个整数解,则实数a的取值范围是　{a|≤a<　.  【解析】显然当a≤0时,不等式有无数个整数解,不符合题意; 当a>0时,原不等式可化为a(x-)(x-3)<0; 当a=时,不等式的解集为⌀,不符合题意; 当0<<3,即a>时,解不等式得<x<3, 则该不等式最多有2个整数解,不符合题意; 当>3,即0<a<时,解不等式得3<x<, 则满足题意的3个整数解为4,5,6,所以6<≤7,所以≤a<. 14.(10分)解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R). 【解析】由于x2+3ax-4a2<0可化为(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a. 当a=-4a,即a=0时,不等式的解集为⌀; 当a>-4a,即a>0时,解不等式为-4a<x<a; 当a<-4a,即a<0时,解不等式为a<x<-4a. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为⌀; 当a>0时,不等式的解集为{x|-4a<x<a}; 当a<0时,不等式的解集为{x|a<x<-4a}. 15.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(1,0)与(3,0)两点,则不等式ax2+bx+c>0的解集是否确定?若确定,求出其解集;若不确定,请给出一个条件,使其解集确定. 【解析】不确定.由二次函数的图象与一元二次不等式的关系可知: 当a>0时,ax2+bx+c>0的解集为{x|x<1或x>3}; 当a<0时,ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<3}. 故只需要给a一个具体值或确定a的符号,不等式ax2+bx+c>0的解集就是确定的.如给定a>0,则其解集为{x|x<1或x>3}. 学科网（北京）股份有限公司 $