专题03 一元二次方程配方法的应用（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以配方法为核心，通过分层题型构建从代数到几何再到新定义的完整应用体系，突出方法迁移与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|4类题型（每类4-5题）|配方转化完全平方式，利用非负性解决最值、大小比较等问题|从代数式配方法原理，到几何动点坐标转化，再到新定义问题建模，形成"原理-应用-拓展"逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|选择6题+解答9题|结合阅读材料强化方法应用，渗透分类讨论与转化思想|整合跨模块知识，通过综合题提升运算能力与推理意识，对接中考命题趋势|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3配方法的应用 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用配方法求代数式的最值 题型2利用配方法比较代数式的大小 题型3利用配方法求几何动点的最值 题型4利用配方法求新定义型的综合问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用配方法求代数式的最值 1. 13 2.(1)x-7川x-1 (2)当x=-1时，最大值为7. . 6)4x、-4X、16 3.-20 4.(1)x+3x-9 (2)当x=-3时，多项式有最小值，最小值为4 5.(1)当x=1时，多项式-3x2+6x+10取得最大值为13 (②)当x=1,y=2时，多项式x2-2xy+2y2+2x-6y+8的最小值为3 ◆题型2利用配方法比较代数式的大小 6.(1)16:4 (2)-21 (3)M>N,理由见解析 7.(1)-3；1 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)-2 (3)x2-1>2x-3,理由见解析 8.(1)M>N (2)见解析 9.< 10.A ◆题型3利用配方法求几何动点的最值 53 11.2 12.(1)-3 (2)3x2-X+1>2x2+3x-5,理由见解析 (3)20 50 14.V3 15.(1)a+2a-6 (2)-8 (3)8 ◆题型4利用配方法求新定义型的综合问题 16.-6 17.A 18.(1)是 (2)±12 (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： M=a2+4ab+5b2-6b+k =(a2+4ab+4b2)+b2-6b+k =(a+2b)2+b2-6b+k, 当k=9时，b2-6b+9=(b-3)2, ∴，M=(a+2b)2+(b-3)2, 214 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,a,b是整数， .a+2b和b-3都是整数， .M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (④)当x=3时，y-x的最小值为1 19.(1)41=42+52 (2)mn=-30 (3)k=13 20.-2023 综合攻坚·知能拔高 1.A 2.B 3.A 4.B 5.A 6.B 7.见解析 8.(1)2,-1 (2)代数式-x2+14x+10有最大值59，相应的x的值为7 9.(1)x为-1或-3时，代数式A的值比B的值大2 (2) 解：A-B=2x2+5x-3-x2+x-8 =2x2+5x-3-x2-x+8 =x2+4x+5 =x+22+1 x+22≥0， ∴.x+2+1>0, ..A>B. .对于任意x的值，代数式A的值恒大于B的值. 10.(1)3 (2)-2 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③4 11.(1)8,10 (2)6 (3)k=2 (4) 解：设M=a+b2,N=c2+d(a、b、c、d为整数)， ..M.N=a2+b2lc2+d2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2, =a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c2-2abcd =ac+bd+bc-ad. 又.a、b、c、d为整数， .ac+bd,bc-ad均为整数， ∴M·N是“雅美数” 12.(1) 证明：x2-4x+5 =x22X2422+5-22 =x-22+1, .x-22≥0 .x-22+1≥1>0， ∴无论x取何值，代数式x2-4x+5的值恒为正数： (2)k=±3 13.1)x+5川x-7列 (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 14.(1)1 ②疹数的植为1成号 (3)最大值为2 15.(1)-5;x+12-4:x+3x-1 (2)1<c<5 (3)8 414 专题03 配方法的应用 常考题型·精准突破 题型1 利用配方法求代数式的最值 题型2 利用配方法比较代数式的大小 题型3 利用配方法求几何动点的最值 题型4 利用配方法求新定义型的综合问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用配方法求代数式的最值 1．若，当________时，的最大值是________． 【答案】 【分析】先根据已知等式用含的代数式表示，再代入得到关于的代数式，利用完全平方公式及偶次幂的非负性进行求解即可． 【详解】解：由可得：， 将代入得， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 2．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 3．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 4．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最值？判断是最大值还是最小值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最小值，最小值为 【分析】（1）仿照题干所给方法计算即可得出结果； （2）利用配方法将所求式子变形为，再结合，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为． 5．我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，多项式取得最大值为 (2)当，时，多项式的最小值为 【分析】（1）对进行配方，即可得出结果； （2）对进行配方，即可得出结果． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为； （2）解： ， ∵，， ∴，当且仅当且时等号成立， 由可得，， 将代入可得， 故当，时，多项式的最小值为． ◆题型2 利用配方法比较代数式的大小 6．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，．因为不论取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查配方法，完全平方公式，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可得到答案； （2）先将变形为的形式 （3）根据，进行判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：；； （2）解：， ， ， 故最小值为； （3）解： ，， ， ， ， ， ． 7．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 8．数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 9．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 10．已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出，，再利用完全平方公式判断出，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， 解得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：A． ◆题型3 利用配方法求几何动点的最值 11．如图，已知，为线段上的一个动点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形，点在一条直线上，，分别是对角线的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为______． 【答案】 【分析】连接、．首先证明，设，则，，，根据勾股定理和完全平方公式求出，然后根据非负数的性质即可解决问题． 【详解】解：连接、．    四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设， 则，， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 即时，有最小值，最小值为． 12．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3） ，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 13．在中，，P是所在平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中的最小值，勾股定理、配方法的应用等知识，过作于D，过作于，延长交于，延长交于，设，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于D，过作于，延长交于，延长交于， ∵，，， ∴四边形是矩形， 设， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴，时，的值最小，最小值为． 14．如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则 ， ， ，， 由勾股定理得 ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 15．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． ◆题型4 利用配方法求新定义型的综合问题 16．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 17．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 18．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 19．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 20．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴， ∴， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键． 对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围． 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 3．（25-26九年级上·四川南充·期末）代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，通过完成平方将代数式变形，利用平方的非负性判断其值恒为正数． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的值一定为正数， 故选：A． 4．（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 去括号整理得：， 即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即， ∴． 5．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【答案】A 【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可． 【详解】∵当时，该多项式的值为， ∴， 整理得，即 ∵， ∴，即， ∴， ∴， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 6．（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 【答案】B 【详解】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可． 【分析】解：∵，， ∴ ； ∴当时，有最小值； 当时，即：， ∴， ∴， ∴，即是非正数； 故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选B． 二、解答题 7．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）请证明无论、为任何值时，的值都是正数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，非负数的应用，将式子写成完全平方式，再判断式子的取值范围即可，解题的关键是将多项式分组，写成非负数的和的形式． 【详解】证明： ， ∵，， ∴，即， ∴的值是正数， 8．（25-26九年级上·吉林四平·期中）阅读理解并解答： (1)【方法呈现】把一个多项式进行配方，可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则代数式的最小值是______，这时相应的x的值是______； (2)【尝试应用】求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 【答案】(1)2， (2)代数式有最大值59，相应的x的值为7 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题干过程，则当时，则，即可作答． （2）模仿题干过程，则，因为，则．当时，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，． 当时，则， 则代数式的最小值是2，这时相应的x的值是， 故答案为：，； （2）解： ， ∵， ∴， ∴． 当时，则， 则代数式的最大值是59，这时相应的x的值是． 9．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知代数式，． (1)当x为何值时，代数式A的值比B的值大2； (2)求证：对于任意x的值，代数式A的值恒大于B的值． 【答案】(1)x为-1或-3时，代数式A的值比B的值大2 (2) 解： ∵， ∴， ∴， ∴对于任意的值，代数式A的值恒大于B的值． 【分析】本题考查了解一元二次方程，配方法的运用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）由题意得，得到，解一元二次方程即可求解； （2）由题意得，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由题意得， 去括号得， 整理得， 解得或， 当或时，代数式A比B的值大2； （2）略 10．（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于的多项式．关于对称，求的值； (3)整式关于______对称． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，灵活运用配方法以及新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可解答； （3）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：，则多项式关于对称． 故答案为：3． （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∵关于的多项式，关于对称， ∴， ∴． （3）解： ∴关于对称． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)8，10 (2)6 (3) (4) 解：设，（a、b、c、d为整数）， ∴， ． 又∵a、b、c、d为整数， ∴，均为整数， ∴是“雅美数”． 【分析】本题主要考查了配方法的应用、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后比较，即可求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，再根据“雅美数”的定义列式计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论即可． 【详解】（1）解：8是“雅美数”，理由：因为； 10是“雅美数”，理由：因为． 故答案为：8，10． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：6． （3）解：， 又∵，， ∴ ∴， ∴． （4）略 12．（25-26八年级下·广西贺州·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，代数式的值恒为正数； (2) 【分析】（1）仿照题意可得，可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可推出，得到的最小值为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵代数式的最小值为， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·河南·期中）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 14．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 15．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03配方法的应用 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用配方法求代数式的最值 题型2利用配方法比较代数式的大小 题型3利用配方法求几何动点的最值 题型4利用配方法求新定义型的综合问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用配方法求代数式的最值 1.若2x2-3x+y=1,当x= 时，x+y的最大值是 2.【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解 因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题， 例如：分解因式x2+2x-3=x2+2x+1-4=x+12-22=x+1+2x+1-2=x+3川x-1.又如，求代数 式2x2+4x-6的最小值，我们可以通过配方得到： 2x2+4x-6=2x2+2x-3=2x2+2x+1-4=2x+12-8.因为x+1P≥0，所以2x+12≥0，则 2x+12-8≥-8，当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-8x+7: (2)当x为何值时，多项式-2x2-4x+5有最大值？并求出这个最大值. (3)若多项式x+4与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式 3.将代数式x2-10x+5配方后，发现它的最小值为 4.阅读材料：我们把多项式a2+2b+b及a-2b+b这样的式子叫做完全平方式.如果一个多项式不是 完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整 个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似 1/9 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等. 例如：分解因式x2+2x-3. 原式=x2+2x+1-1-3=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(X-1): 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题， (1)利用配方法分解因式：x2-6x-27: (2)当x为何值时，多项式2x2+12X+22有最值？判断是最大值还是最小值，并求出这个最值. 5.我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全 平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值。 对于含字母参数α的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： x2-2a-1x+2a2-8a+12 原式=x2-2a-1x+a-12-a-12+2a2-8a+12 =x-a-1P-a2+2a-1+2a2-8a+12 =x-a+12+a2-6a+9+2 =x-a+12+a-32+2 所以，当a=3,x=2时，此式的最小值为2. 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)-3x2+6x+10: (2)x2-2xy+2y2+2x-6y+8. ◆题型2利用配方法比较代数式的大小 6.把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这 种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用， 例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8. 原式=a2+6a+9-1=a+32-1=a+3+1川a+3-1=a+4ja+2. ②利用配方法求最小值：求a+6a+8最小值. 解：a2+6a+8=a2+2a3+32-32+8=(a+3)-1,a+32.因为不论a取何值，a+3}总是非负数，即 a+32≥0.所以a+32-1≥-1，所以当x=-3时，a2+6a+8有最小值，最小值是-1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：x2-8x+=(x-): (2)将x2-10x+4变形为x+mP+n的形式，并求出x2-10x+4的最小值： 219 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若M=7a2+17a+10,N=5a2+25a,其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由. 7.阅读下列材料： 材料一“a≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如： x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)+1 .(x+2)2≥0，∴.(x+2)+1≥1，∴.x2+4x+5≥1 解决下列问题： (1)填空：x2-6x+10=(x)2+. (2)已知x2-2xy+2y2+2y+1=0,求x+y的值. (3)比较代数式x2-1与2x-3的大小，并说明理由 8.数学课上，老师在黑板上书写了M,N两个整式；M=-2a+4a,N=-2a2-2a+2. (1)比较M,N的大小： (2)若P+2N=M-5,证明：P不可能小于0. 9.已知，M=12m-33,N=2m2-4m,则MW.(填“>”，“<”或“=”) 10.己知x,y,z为实数，且y+z=5-4x+3x2,z-y=1-2x+x2,则x,y,Z之间的大小关系是 () A.X<y≤z B.y<X≤z C.y≤z<x D.z<x≤y ◆题型3利用配方法求几何动点的最值 I1.如图，已知AB=10,P为线段AB上的一个动点，分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱 形PBFE,点P,C,E在一条直线上，∠DAP=6O°，M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P在线段 AB上移动时，点MN之间的距离最短为 D P B 12.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式 x2+4x+5最小值. 解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22+1, .x+22≥0，x+22+1≥1， .x2+4x+5≥1，即x2+4X+5的最小值是1. 319 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式-2x2+4x-5,求它的最大值. (2)比较代数式2x2+3x-5与3x2-x+1的大小，并说明理由. (3)知识迁移： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移 动，点Q在CB边上以1Cm/s的速度从点C向点B移动.若点P,Q同时出发，且当一点移动到终点时，另 一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2,运动时间为t秒，求S的最小值. 0 A 13.在△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB+PC的最小 值是 14.如图，在△ABC中，AB=AC,P为△ABC内一点，∠APB=∠BAC=120°.若AP+BP=2,则 PC的最小值为 A 15.【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条 件，这种解题方法叫作配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在 几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量 应用一 应用二 用配方法求代数式2x2+12x+22的最小值. 用配方法分解因式：a+6a+8 解：2x2+12x+22 解：a2+6a+8 =2x2+6x+9+2 =a2+6a+9-1 =2(x+3)2+4 =(a+3)2-1 .(x+3)≥0 =a+3-1川a+3+1 ∴.2(x+3)2+4≥4 =a+2ja+4. .2x2+12x+22的最小值为4 请根据上述阅读材料，解决下列问题： 419 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)因式分解：a2-4a-12= (2)若M=2x2-8X,运用配方法可求出M的最小值为 (3)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,点D为AB边上一点（不与点A、点B重合）， 连接CD,以CD为边在CD上方构造正方形CDFE,连接BF.则△BDF面积的最大值为 ◆题型4利用配方法求新定义型的综合问题 16.把关于x的一元二次方程a1x-m'+n=0与a2x-m+n=0称为“同构二次方程”.比如 2x-22-4=0与3x-22-4=0就是“同构二次方程”.已知两个关于x的一元二次方程2x-1}-1=0与 a+1x2+b-2x-2=0是“同构二次方程”，则a-b= 17.定义：关于x的一元二次方程a1x-h2+k=0与a2x-hP+k=0称为“同形二次方程”(a1a20). 现有关于x的方程3x+22-5=0与方程2a+1x2+b+4x+3=0是“同形二次方程”.则代数式 -2ax2+bx-2026的最大值是() A.-2022 B.-2024 C.-2026 D.-2028 18.配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结 合非负数的意义来解决一些问题.我们规定：一个整数能表示成a+b2(,b是整数)的形式，则称这个 数为“和谐数”.例如，10是“和谐数”，理由：因为10=32+12，所以10是“和谐数” 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数” (填“是”或“否”) 【探究问题】 (2)若a2-8a+25可配方成a-m?+n2(m,n为常数)，则mn的值 (3)已知M=a2+4ab+5b2-6b+k(a,b是整数，k是常数)，要使M为“和谐数”，试求出符合条件的 一个k值，并说明理由， 【拓展应用】 (④)已知实数x,y满足y=x2-5X+10,当x为多少时，y-x能取得最小值，并求出最小值， 19.配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形 化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 来解决问题.定义：若一个整数能表示成a2+b2(,b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如， 13是“完美数”，理由：因为13=2+3，所以13是“完美数”。 解决问题： (1)已知41是“完美数”，请将它写成a2+b(a,b为整数)的形式： (2)若x2-6X-1可配方成X-m+n,n为常数)，求m的值； (3)已知S=x2+4y2+4x-12y+k(x,y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值 20.新定义：关于x的一元二次方程a1X-c2+k=0与a2x-c2+k=0称为“同族二次方程”.例如： 5x-6+7=0与6x-6+7=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程2x-1+1=0与 ax2-bx+2029=0是“同族二次方程”，则代数式ax2+bx+5的最小值是， 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.不论x、y为何实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值() A.总不小于2B.总不小于7 C.可为任何实数 D.可能为负数 2.(24-25八年级上北京期末)通过配方，可以求得代数式a2-6a+10的最小值是() A.0 B.1 C.9 D.10 3.(25-26九年级上四川南充期末)代数式x2-2x+2的值() A.一定是正数 B.可能是负数 C.可能为零 D.不能确定取值范围 4.(2026江苏宿迁.二模)已知m为实数，P=2m-3,Q=m2-1,则P与Q的大小关系为() A.P>Q B.P<Q C.P≥Q D.P≤Q 5.(23-24八年级下·浙江嘉兴，期末)已知关于x的多项式ax-2bx+ca≠0，当x=时，该多项式的值 为c-a,则多项式a2+b2+3的值可以是() A.3.5 B.3.25 C.3 D.2.75 6.(2023河北石家庄.一模)已知A=x2+6x+n2,B=2x2+4x+n2,下列结论正确的是() A.B-A的最大值是0 B.B-A的最小值是-1 C.当B=2A时，X为正数 D.当B=2A时，X为负数 二、解答题 7.(25-26九年级上山东淄博·阶段检测)请证明无论x、y为任何值时，x2+y-2x+12y+40的值都是 正数. 619 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26九年级上·吉林四平期中)阅读理解并解答： ()【方法呈现】把一个多项式进行配方，可以解决代数式值的最小（或最大）问题. 例如：x2+2x+3=x2+2x+1+2=x+12+2, .x+1≥0， ∴.x+12+2≥2. 则代数式x2+2x+3的最小值是一，这时相应的x的值是 (2)【尝试应用】求代数式-x2+14x+10的最大值，并写出相应的x的值. 9.(25-26九年级上四川绵阳期中)已知代数式A=2x2+5x-3,B=x2+X-8. (1)当x为何值时，代数式A的值比B的值大2： (2)求证：对于任意x的值，代数式A的值恒大于B的值. 10.(24-25八年级上·北京期中)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多 项式x2-2x+3,由于x2-2x+3=X-1'+2,所以当x-1取任意一对互为相反数的数时，多项式 x2-2x+3的值是相等的.例如，当x-1=±1，即x=2或0时，x2-2x+3的值均为3：当X-1=±2，即x=3 或-1时，x2-2x+3的值均为6. 于是小明给出一个定义： 对于关于x的多项式，若当x一t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于 x=t对称.例如x2-2x+3关于x=1对称. 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式x2-6x+4关于x=对称： (2)若关于x的多项式x+2bx+3.关于x=2对称，求b的值： (3)整式x2+8x+164x2-4x+1关于x= 对称. 11.(25-26九年级上·广东深圳阶段检测)[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一 个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的 变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题. 例如，把二次三项式x2-2X+3进行配方. 解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=x2-2x+1+2=x-12+2 我们定义：一个整数能表示成a+b2(a,b是整数)的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅 美数”例如，5是“雅美数”.理由：因为5=2+12.再如，M=x2+2Xy+2y2=x+y+y2(x,y是整 数)，所以M也是“雅美数”. (1)儿问题解决]6,7,8,10四个数中的“雅美数”是_ 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若二次三项式x2-6x+13(x是整数)是“雅美数”，可配方成x-m+n2(m,n为常数)，则mn 的值为： 3 3问题探究]已知S=x2+4y2+8x-12y+k(x,y是整数，k是常数且x-4,y2)，要使S为“雅美 数”，试求出符合条件的k值. (4[问题拓展]已知实数M,N是“雅美数”，求证：M·N是“雅美数”， 12.(25-26八年级下·广西贺州·期中)阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x+6x+5的最小 值. .x2+6x+5=x2+2×x×3+32-32+5=x+32-4,且，x+32≥0 ∴当X=-3时，x2+6X+5有最小值-4. 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论x取何值，代数式x-4x+5的值恒为正数： (2)若代数式x2-2kx+4的最小值为-5，求k的值： 13.(25-26七年级下·河南·期中)【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代 数式最值等问题中都有广泛应用， 例如：将x2-6x+8先利用配方法变形为ax+m2+n的形式，再分解因式. 配方：x2-6x+8 =x2-6x+32-32+8 =x-32-1 分解因式：x-6x+8 =x-32-1 =x-3+1川x-3-1 =x-2川x-4 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把x2-2x-35分解因式， (2)代数式x2+y2+4x-6y+15的最小值是 (直接写答案) (3)若a、b、c分别是△ABC的三边，且a+2b2+3c2-2ab-2b-6c+4=0,试判断△ABC的形状，并说 明理由、 14.(25-26八年级下·浙江宁波·期末)配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部 分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结 合非负数的意义来解决一些问题.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题， 819 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例：求代数式y+4y+6的最小值， 解：y2+4y+6=y2+4y+4+2=y+22+2 因为y+22≥0，所以y+22+2≥2，所以y2+4y+6的最小值是2. (1)代数式x2-4x+3的最小值为. (2)关于x的二次多项式x2-4ax+2a2+a-6(a为常数)有最小值为-9，求常数a的值. 实数x,y满足-x+)x+y-3=0,求x-2y自 15.(25-26八年级下山东烟台·期末)综合与实践 【项目主题】配方法的应用. 【项目准备】 D B (1)利用完全平方公式将多项式ax2+bx+ca0变形为ax+mP+n的形式，我们把这样的变形方法叫做 多项式ax2+bx+ca0的配方法.配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值.例如：求代 数式x2+4x-1的最小值，x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=x+22-5可知，当x=-2时，x2+4x-1有最小值， 最小值是 ·配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式x+2X-3,原式 =x2+2x+1-1-3= (2)【项目解决】当a,b,c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b-4a-6b+13=0时，直接写出c的取 值范围。 (3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD.若AC+BD=8,求四边形ABCD面积的最大值. 919